Взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости

1 Параллельность прямой и плоскости При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости если она параллельна одной из прямых лежащих в этой плоскости. Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости представленных на рис. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 12 сравнение которых с проекциями прямой показывает что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

2015-01-27

206.98 KB

10 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция 6

 

Взаимное расположение плоскостей, прямой и плоскости

 

 

6.1 Параллельность прямой и плоскости

 

При решении вопроса параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Оценим взаимное положение прямой АВ и плоскости, представленных на рис. 6.1.

 

Рис.6.1

 

Для этого проведем через прямую АВ вспомогательную плоскость Q (Q^П1).

В данном случае через прямую проведена горизонтально-проецирующая плоскость, горизонтальный след которой сливается с одноименной проекцией прямой А1В1. Далее построены проекции линии пересечения плоскостей 1-2 сравнение которых с проекциями прямой показывает, что прямая АВ не параллельна плоскости треугольника ВСD.

На рис. 6.2 показано построение прямой параллельной заданной плоскости треугольника АВС и проходящей через точку К. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий параллельных заданной плоскости. Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, искомая прямая должна быть параллельна плоскости треугольника АВС и параллельна плоскости проекций П1 (дополнительное условие).

 

Рис. 6.2

 

Для решения задачи в плоскости треугольника АВС проведена одна из горизонталей и затем через точку К проведена прямая, параллельная этой горизонтали.

 

6.2 Перпендикулярность прямой и плоскости

 

Из стереометрии известна теорема об условии  перпендикулярности прямой к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости. Известно также, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости, в том числе к её линиям уровня.

Рис. 6.3

 

При построении проекций прямой перпендикулярной к плоскости, в качестве пересекающихся прямых этой плоскости берутся её линии уровня или следы плоскости, а не случайные прямые.

Пусть прямая К^Р (рис. 6.3). Проведем через точку А горизонталь h (АС) плоскости Р. Эти прямые образуют прямой угол (КА^АС), одна сторона которого АС параллельна плоскости П1. Такой угол спроецируется на плоскость П1 без искажения А1К1^h11С1). Но так как h1||Р1, то А1К1^Р1. Проведем фронталь f(АВ) плоскости Р: АК^f(АВ) и А2К2^f22В2), так как f||П2. Но f22В2) || Р2, поэтому А2К2^Р2.

Итак условие построения модели взаимно перпендикулярных прямых и плоскости: если АК^Р и (h, f)ÎР, то А1К1^h1 и А2К2^f2.

Выводы: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция её перпендикулярна к горизонтальным проекциям горизонталей, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальным проекциям фронталей этой плоскости.

Приведенное положение дает возможность решать ряд задач и, в частности, опустить или восстановить перпендикуляр к плоскости, решить обратную задачу – провести плоскость перпендикулярно прямой, определить расстояние от точки до плоскости (см. пример 7.8)

 

6.3 Параллельность плоскостей

 Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости параллельны, то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости (рис. 6.4,а).

 

Рис. 6.4

 

Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например, следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой (3.17, б, где Р1||Q1, P2||Q2).

На рис. 6.5 показано построение плоскости, параллельной заданной плоскости Р.

В первом случае (рис. 6.5,а) искомая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, проходящими через точку А и являющимися главными линиями плоскости – горизонталью и фронталью. На рис. 6.5 б показано построение следов искомой плоскости Т, проходящей через заданную точку А.

Решение начато с построения горизонтали искомой плоскости и её фронтального следа N, через который проведен фронтальный след плоскости Т(Т12). Через точку схода следов Тх прошел горизонтальный след искомой плоскости Т1||Р1.

 

Рис. 6.5

 

6.4 Перпендикулярность плоскостей

 

Из стереометрии известно условие перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через перпендикуляр к данной плоскости (или параллельна этому перпендикуляру), то она перпендикулярна к данной плоскости.

 

Рис. 6.6

 

Через данную точку А можно провести бесчисленное множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости Р (рис. 6.6). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на плоскость Р.

На эпюре (рис. 6.7) показано построение одной из плоскостей этого пучка. Прежде всего через проекции точки А проведены проекции перпендикуляра АК к данной плоскости. Построение А1К1 и А2К2 не вызывает затруднений, так как плоскость Р задана главными линиями. Затем через проекции той же точки А проведены проекции произвольной линии АD. Эти две пересекающиеся линии АК и АD и определяют искомую плоскость Р.

Рис. 6.7

Примеры позиционных и метрических задач на плоскость

 

Пример 1. В плоскости, заданной треугольником АВС, построить точку D (рис. 3.21).

Решение.

1. Необходимо в данной плоскости провести прямую. Зададим для этого две точки, заведомо лежащие в данной плоскости. Одной из таких точек может быть вершина А(А12) треугольника. Вторую точку Е(Е12) зададим на стороне ВС. Через одноименные проекции А1 и Е1, А2 и Е2 проведем прямые. Эти прямые являются проекциями прямой,  лежащей в данной плоскости.

2. На построенной прямой АЕ зададим точку D. Для этого построим D1ÎА1Е1 и D2ÎА2Е2. Точка D лежит в заданной плоскости, т.к. она принадлежит прямой АЕ, лежащей в этой плоскости

 

Рис. 3.21

 

            Пример 2. Построить линию наибольшего уклона плоскости, заданной параллельными прямыми а(а1; а2) и b(b1; b2) и определить угол a между этой плоскостью и горизонтальной плоскостью проекций (рис. 3.22)

 

Рис. 3.22

             Решение

  1.  Проведем горизонталь h данной плоскости (см. гл.3 рис. 3.3, в). Проекциями этой горизонтали будут прямые h1 и h2.
  2.  Проведем прямую, перпендикулярную к горизонтальной проекции горизонтали, и отметим точки С1 - пересечения её с h1 D1 – са1. Прямая С1D1 является горизонтальной проекцией линии наибольшего ската.
  3.  Построим фронтальные проекции С2 и D2. Для этого из С1 и D1 проведем вертикальные линии связи до пересечения соответственно с h2 и а2.
  4.  Прямая, соединяющая точки С2 и D2, является фронтальной проекцией линии наибольшего уклона.
  5.  Угол a определяем из прямоугольного треугольника D1C1E0, построенного на С 1D1 как на катете. Второй катет D0D1 = E2D2. Искомый угол a=ÐD0C1D1 

 Пример 3. Задана плоскость пересекающимися прямыми АВ и CD. Определить, лежит ли прямая KL в этой плоскости.

 

Рис. 3.23

 

Решение.

1.      Обозначим точки пересечения фронтальных проекций прямых АВ и KL через 12 и прямых CD и KL через 22.

2.      Строим их горизонтальные проекции – точки 11 и 22 на горизонтальной проекции (K1L1) прямой KL. Из построения видно, что точки 1(1112) и 2(2122) прямая KL на заданной плоскости не лежат. Следовательно, прямая KL в плоскости не лежит. Решение этой задачи можно начать и с пересечения горизонтальных проекций.

 

Пример 4. В плоскости, заданной двумя параллельными прямыми АВ и CD, провести фронталь на расстоянии 15 мм от фронтальной плоскости проекций (рис. 3.24)

Рис. 3.24

 

Решение. Проводим на расстоянии 15 мм от оси проекций параллельную  ей горизонтальную проекцию (11-22) фронтали, которая пересекает прямые А1В1 и C1D1 в точках 11 и 22.

Затем находим точки 11 и 22 на прямых А2В2 и C2D2 и проводим через них фронтальную проекцию (1222) фронтали.

 

Пример 5. Найти прямую пересечения плоскостей Р и Q.

 

Рис. 3.25

 

Решение. Плоскость Р и Q пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (М12) пересечения горизонтальных следов плоскостей. Точка-след (N1;N2) пересечения фронтальных следов плоскостей недоступна, т.к. эти следы плоскостей по заданию, в пределах чертежа не пересекаются.

Вместо точки (N1;N2) необходимо найти другую произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого вводим вспомогательную плоскость R, например параллельную П которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по горизонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (К12), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (К12) прямой, проводим её проекцию: горизонтальную – через точки М1 и К1 и фронтальную через точки М2 и К2.

 

 

 

 

Пример 6. Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р (рис. 3.26) 

 

Рис. 3.26

 

Решение. Обозначим искомую точку через точку К. Так как точка К (К12) лежит на профильно-проецирующей плоскости. То её профильная проекция (К3) должна лежать на профильном следе (Р3) плоскости. Вместе с тем, так как эта же точка лежит и на прямой АВ, то её профильная проекция (К3) должна лежать так же где-то на профильной проекции (А3В3) прямой. Следовательно искомая точка должна лежать на их пересечении. Найдя профильный след плоскости и профильную проекцию прямой, получаем на их пересечении профильную проекцию (К3) искомой точки. Зная профильную проекцию (К3) искомой точки, находим две другие её проекции на одноименных проекциях прямой.

 

Пример 7. Даны плоскость Р и точка А. Определить расстояние то точки до плоскости (рис. 3.27)

 

 

Рис. 3.27

 

Решение. Опускаем из точки А (А12) перпендикуляр на плоскость Р и находим его основание на этой плоскости, для чего ищем точку К (К12) пересечения перпендикуляра с плоскостью. Имея проекции (А1К12К2) отрезка перпендикуляра, определим его действительную величину методом прямоугольного треугольника.

 

Пример 8. Даны треугольник АВС и точка К. Определить расстояние между ними. (рис. 3.28)

 

Рис. 3.28

 

Решение. Опускаем из заданной точки Е (Е12) перпендикуляр на плоскость треугольника: К1Е1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (К1Е1^С1F1), К2Е2 перпендикулярно фронтальной проекции фронтали (К2Е2^А2 D2). Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью треугольника (К12) , определяем натуральную величину отрезка перпендикуляра (К1Е12Е2) методом прямоугольного треугольника.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
7844. Пересечение плоскостея, прямой и плоскости 227.25 KB
  Главные линии плоскости В плоскости можно расположить бесчисленное количество прямых среди которых будут линии уровня плоскости т. прямые параллельные плоскостям проекций и прямые перпендикулярные к этим линиям уровня так называемые линии наибольшего уклона плоскости. Такие прямые называются главными или особыми линиями плоскости.
98. Предложение с прямой речью. Знаки препинания при прямой речи 8.54 KB
  Знаки препинания при прямой речи Прямая речь представляет собой передачу чужого высказывания сопровождаемую авторскими словами. Последние прежде всего устанавливают самый факт чужой речи поясняют кому она принадлежит могут при этом указывать при каких условиях она была сказана к кому обращена давать ей оценку и т. При отсутствии авторских слов можно говорить о чужой речи но не о прямой речи: Все заняли свои места. Таковы конструкции в которых прямая речь связана с глаголами речи.
3447. Твердые зубные отложения, расположение и распознавание. Методы количественной оценки 20.76 KB
  В зависимости от расположения на поверхности зуба различают над и поддесневой зубной камень. Наддесневой камень располагается над гребнем десневого края его легко обнаружить на поверхности зубов. Этот камень обычно белого или беловатожелтого цвета твердой или глинообразной консистенции легко отделяется от зубной поверхности путем соскабливания или скалывания. Этот камень обычно плотный и твердый темнокоричневого или зеленоваточерного цвета и плотно прикреплен к поверхности корня зуба.
7842. Проекции прямой 287.06 KB
  Проецирование прямой на три плоскости проекции. Ограниченная часть прямой называется отрезком. Проецирование прямой сводится к построению проекций двух произвольных ее точек так как две точки полностью определяют положение прямой в пространстве.
7843. Проекции плоскости 126.65 KB
  Способы задания плоскости на эпюре Из курса элементарной геометрии известно что через три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. Таким образом положение плоскости в пространстве логично определить задать тремя точками точки А В С табл. Кроме этого положение плоскости в пространстве определяют: прямая АВ и точка С не лежащая на прямой табл.
8648. Аналитическая геометрия на плоскости 109.61 KB
  Кривая второго порядка может быть задана уравнением Ах2 2Вху Су2 2Dx 2Ey F = 0. Существует система координат не обязательно декартовая прямоугольная в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов приведенных ниже. уравнение эллипса. уравнение “мнимого†эллипса.
13457. Метод фазовой плоскости 892.42 KB
  Метод фазовой плоскости впервые был применен для исследования нелинейных систем французским ученым Анри Пуанкаре. Основное преимущество этого метода – точность и наглядность анализа движений нелинейной системы. Метод является качественным
16798. Решение задачи пространственной конкуренции Хотеллинга на прямой в безопасных стратегиях 60.36 KB
  Хотеллинг в своей статье нашел решение являющееся оптимальным но не исследовал при каких условиях локальное равновесие является глобальным. Большинство последующих работ можно разделить на три группы: 1 поиск равновесий для модели с транспортными издержками модифицированными таким образом что равновесие в игре цен существует при любых расположениях...
14515. Основные направления в теории и практике обучения ИЯ в истории отечественной и зарубежной школ (грамматико-переводной, прямой, аудиолингвальный, аудиовизуальный и ДР) 11.95 KB
  Период применительно к конкретным социально-обусловленным целям и задачам показывающим в каком направлении и как нужно идти к достижению опред. Это основной компонент деятельности учителя и учащихся как путь и способ достижения опред. Говорение на ИЯ мыслилось как постоянный дословный перевод с родного языка на ИЯ и конструирование предложений из отдельных слов по грам. ИЯ усваивался на базе родного и прежде всего как письм.
3227. Математическая модель непропорционального (эксцедентного) перестрахования. Задача минимизации риска разорения. Эффективное множество на плоскости «доход-риск» при разных уровнях удержания 67.34 KB
  Эффективное множество на плоскости доходриск при разных уровнях удержания. Доход страховщика без перестрахования : у=1ηEZ = 1η N Если он передает часть рисков в перестрахование то: у= N1E E y доход цедента =Nη N1 E Как и раньше задача минимизировать вероятность разорения. До перестрахования доход цедента y=NT=1075104 доход цессионария для 1го...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.