Метод гармонической линеаризации

Метод гармонической линеаризации Поскольку этот метод является приближённым то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений: Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность; Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот ослабляющий высшие гармоники возникающие в предельном цикле; Метод применим только к автономным системам. Изучается свободное движение системы то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий....

2015-01-19

536.48 KB

142 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


5.11. Метод гармонической линеаризации

    Поскольку этот метод является приближённым, то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений:

  1.  Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность;
  2.  Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот, ослабляющий высшие гармоники, возникающие в предельном цикле;
  3.  Метод применим только к автономным системам.

 

5.11.1.  Назначение и сущность метода; гипотеза фильтра

    Метод позволяет исследовать возможность появления автоколебательных режимов, определить основные параметры автоколебаний (A, ωа),

качественно оценить влияние нелинейностей на устойчивость и переходные процессы в системе, как устранить автоколебания или же как изменить их параметры в желаемом направлении.

    Сущность метода гармонического баланса заключается в замене нелинейного элемента эквивалентным линейным, передаточный коэффициент которого не является постоянным, а зависит в общем случае от амплитуды и частоты искомых автоколебаний.

    Рассматривается замкнутая система с одним НЭ (рис. 5.35). Изучается свободное движение системы, то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий. В системе возможно возникновение автоколебаний. При этом z(t)- периодическая функция, содержащая спектр гармонических составляющих.

         Рис. 5.35. Структурная схема системы с одним нелинейным элементом

             Если при прохождении через линейную часть системы z(t) фильтруется так, что можно пренебречь всеми гармониками выше первой, то анализ системы можно вести методом гармонического баланса. Это предположение- необходимое условие применения метода гармонической линеаризации, его называют гипотезой фильтра, введено Е.П. Поповым. Поскольку высшие гармоники по амплитуде обычно меньше, чем первая гармоника, а линейная часть САУ узкополосная, устойчивая (могут быть нулевые корни характеристического уравнения линейной части), отсутствуют резонансные звенья, |W(a)| >>|W(jkωa)| при   k >1, то во многих практических случаях гипотеза фильтра выполняется. Для приближённых расчётов последнее условие может быть смягчено и сформулировано так: наклон ЛАЧХ линейной части должен быть по крайней мере от -20 до -40 дБ/дек на частоте автоколебаний ωа и выполнены неравенства:

при наклоне ЛАЧХ         ,        ,

          -20 дБ/дек

при наклоне ЛАЧХ          ,       .

          -40 дБ/дек

  1.    Гармоническая линеаризация НЭ

    При гармонической линеаризации нелинейные элементы заменяются их линейными моделями, полученными в результате изучения реакций на гармонические входные сигналы.

    На вход нелинейного элемента подаётся гармонический сигнал  ε(t)=A·sinωt , выходная функция z(t)=F(A·sinωt)- периодический (не гармонический) сигнал (рис. 5.36).

    Ограничимся  рассмотрением безынерционных НЭ с петлевыми нечётносимметричными статическими характеристиками (простейшие НЭ).

 

                                                                                                                      

Рис.5.36. Преобразование входного гармонического

                                                                           сигнала простейшим НЭ     

Разложим z(t) в ряд Фурье

                                                                                  (5.72)

где при усреднении по фазе и замене

  - постоянная составляющая выходной функции,                                     

 - амплитуда синфазной составляющей z(t),

- амплитуда квадратурной составляющей z(t).

Выходной сигнал НЭ может быть представлен своей первой гармоникой, так как статическая характеристика НЭ нечетная  () и выполняется гипотеза фильтра:

   ,                                                                            (5.73)

где ,     .

Сделав замену            получим

                  , где  - оператор           (5.74) дифференцирования по времени,

   - коэффициенты гармонической линеаризации НЭ.

Преобразования по Лапласу выходной функции и входного воздействия имеют вид

         

                                    ,               (5.75)

                                    , где р – оператор Лапласа.

По аналогии с линейным звеном свойства нелинейного элемента можно представить передаточным коэффициентом, называемым эквивалентным комплексным передаточным коэффициентом НЭ (эквивалентной передаточной функцией, описывающей функцией).

Определим эквивалентную передаточную функцию:

                  ,                                            (5.76)

преобразование Фурье       - эквивалентная частотная функция, которая зависит от амплитуды входного сигнала.

Таким образом, нелинейный элемент может быть заменен линейным; этот прием получил название гармонической линеаризации нелинейностей.

Эквивалентная структурная схема НЭ приведена на рис. 5.37.

                                                     

                                  Рис. 5.37. Эквивалентная структурная схема НЭ

Если статическая характеристика НЭ однозначная (не петлевая), то .

Наряду с рассмотренными встречаются такие нелинейные элементы, у которых выходной сигнал является функцией входного воздействия и его производной, т.е. z=F(Asinψ, Aωcosψ). В таких случаях первая гармоника периодических колебаний на выходе зависит не только от амплитуды, но и от частоты синусоидальных колебаний на входе.

Приведём операторную запись во временной области, используя эквивалентный оператор нелинейного элемента:

                                                z=[q(A,ω) + q´(A,ω)··p] ·ε  ,  где p≡.                             (5.77)

Такие элементы называются непростейшими. Коэффициенты гармонической линеаризации оказываются зависимыми не только от амплитуды, но и от частоты и в случае нескольких простейших нелинейных элементов, между которыми располагаются инерционные звенья.

           

           5.11.3 Вычисление комплексных передаточных коэффициентов

                      нелинейных элементов (описывающих функций)

   В общем случае для динамических нелинейных элементов выходной установившийся периодический сигнал при гармоническом входном воздействии с конкретными значениями A и  определяется путём численного решения дифференциального уравнения. Затем находят значения коэффициентов гармонической линеаризации нелинейного элемента по формулам усреднения по времени (табл. 5.1):

                                          ;                                                (5.78)

                                          .

Эти формулы означают, что гармоническая линеаризация даёт усреднённые за период свойства нелинейного элемента по преобразованию гармонического сигнала. Повторяя эту операцию, можно получить таблицу значений коэффициента гармонической линеаризации.

       В частном случае безынерционных нелинейных элементов коэффициенты гармонической линеаризации от частоты  не зависят. Описывающая функция нелинейного элемента (эквивалентный оператор нелинейного элемента, эквивалентная передаточная функция) в этом случае имеют вид

                                                                                                  (5.79)

эквивалентная частотная функция

                               

модуль и аргумент которой вычисляются так:

                             , .

1. Нелинейность кубического типа.

       Пусть безынерционный нелинейный элемент имеет статическую характеристику, которую можно аппроксимировать кубической функцией

                                                       .

 Входной сигнал нелинейности считаем синусоидальным:

                                                       .

Следовательно,

поскольку  и .

    Если выполняется гипотеза фильтра, то можно пренебречь третьей гармоникой и записать:  

                                          .

Поэтому для данной нелинейности описывающая функция имеет выражение

                                 .

Поскольку эта функция играет роль коэффициента усиления, то последний возрастает с увеличением амплитуды сигнала. Тогда нелинейная система может стать неустойчивой при большой амплитуде сигнала на входе нелинейности, даже если этот сигнал и не будет  синусоидальным.

2. Идеальный релейный элемент.

      Так как нелинейный элемент безынерционный (рис. 5.38), то коэффициенты гармонической линеаризации от  не зависят и от усреднения по времени можно перейти к усреднению по фазе.

         

             Рис.5.38. Преобразование входного синусоидального воздействия идеальным

                              релейным элементом

 

Вычислим коэффициенты гармонической линеаризации:

,

,

.

Эквивалентная амплитудная характеристика идеального реле равна :

                                                           ,

а фазовые сдвиги , т.е. фаза первой гармонической составляющей выхода совпадает с фазой входа.

    График  эквивалентной амплитудной характеристики показан на рис.5.39, из которого видно, что малые по амплитуде сигналы проходят с большим усилением, а большие – с малым (дискриминация сигналов по уровню, рис.5.40).

                                            

  Рис. 5.39. График зависимости эквивалентного усиления идеального  реле от

                   амплитуды гармонического сигнала

           

           Рис. 5.40. Отображение модели идеального релейного элемента в модель звена с

                             дискриминацией сигналов по уровню

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых безынерционных нелинейных элементов приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Коэффициенты гармонической линеаризации типовых безынерционных нелинейных элементов

п.п.

Нелинейный элемент

Коэффициенты гармонической линеаризации

Название

График

1

Релейный элемент

0

2

Релейный элемент с зоной нечувстви-тельности

, ;

,  

0

3

Зона насыщения

,

0

4

Элемент  с зоной нечувстви-тельности

,; ,

0

5

Элемент с зоной нечувстви-тельности и ограниче-нием

0

6

Элемент с петлёй гистерезиса

, ; ,

,  ;

,

7

Элемент с зонами нечувстви-тельности и неодно-

значности

,

; ,

                       ;          ,

8

Люфт (зона возврата)

 

9

Элемент с зоной неоднознач-ности

10

     

  1.    Определение условия автоколебаний в системе с одним

             простейшим НЭ

Пусть  необходимые условия применимости метода выполнены,

тогда сигнал на выходе линейной части в форме преобразований Фурье:

    .                                                                 (5.80)

Если рассматривается свободное движение и в замкнутой системе возникли автоколебания, то      

     , где    =0,

отсюда   , то есть условие возникновения автоколебаний

- уравнение Л.С.Гольдфарба.                                                               (5.81)

В результате преобразований

, k=0,1,2,3…                 

получим    - баланс амплитуд;  (5.82)

  1.    Анализ работы нелинейной системы по методу

            Л.С.Гольдфарба

По этому методу условие (5.81) записывается в виде

                                                                                                         (5.83)

     Строятся на комплексной плоскости два годографа: АФХ линейной части  и инверсная характеристика НЭ (рис. 5.41). Каждый из годографов зависит только от одного из параметров. Точка пересечения годографов отвечает границе устойчивости. Частота колебаний определяется по меткам на АФХ  , а амплитуда по меткам на инверсной характеристике.

 

Пример 5.11.

 Рис.5.41. АФХ линейной части                                                                                           системы и инверсная                                                                                              характеристика НЭ                                                                                                                                  

Устойчивость автоколебаний в системе определяется по следующему правилу: если, перемещаясь по характеристике  в сторону возрастания амплитуд, выходим из контура, охваченного АФХ линейной части, то точке пересечения соответствуют устойчивые автоколебания, иначе неустойчивые.

Метод приближенный, поэтому отсутствие решения уравнения гармонического баланса означает, что используемый метод не позволяет выделить периодические движения у исследуемой системы.

После нахождения частоты и амплитуды периодического движения следует проверить выполнение гипотезы фильтра:

   при k>1.

  1.    Анализ работы нелинейных систем по методу А.А.Вавилова

Условие баланса амплитуд и фаз, записанные в логарифмической форме:

                                                                          (5.84)

позволяют просто и наглядно графически определить частоту и амплитуду автоколебаний в системе, а также их устойчивость.

Пример 5.12.

Рис. 5.42. ЛЧХ линейной

                                                                                                  части системы и  

Условия гармонического баланса могут выполняться лишь в зоне частот, где >0  и  = (рис. 5.42).

При   ( - частота предполагаемых автоколебаний)  = при двух значениях А:  и .Режим автоколебаний  ( , ) – неустойчивый, режим  (, ) – устойчивый.

При исследовании устойчивости периодических решений по ЛЧХ следует пользоваться критерием Найквиста. Если под действием возмущения амплитуда колебаний режима (, ) увеличилась на величину , то, приняв в качестве частоты среза , определяем, что система устойчива, иначе неустойчива   автоколебания рассматриваемого режима устойчивые.

При определённых условиях влияние высших гармоник на входе нелинейных элементов и малых параметров, обусловленных погрешностями идентификации нелинейных элементов и линейной части и малыми вариациями параметров системы в процессе эксплуатации, может приводить к существенному изменению амплитуды и частоты периодических решений.

Наличие звеньев с существенными нелинейностями в САУ, не предусмотренных структурой, может вызвать ухудшение качества управления, а в ряде случаев делает управление невозможным. Это проявляется в росте погрешности управления, увеличении времени , колебательности переходного процесса, потере системой устойчивости в большом, возможности возникновения автоколебательных режимов.

Способы уменьшения влияния нелинейных элементов:

  1.  Улучшение конструкции функциональных элементов;
  2.  Изменение линейной части (изменение параметров и структуры линейной части; введение дополнительных линейных обратных связей-охват нелинейных элементов линейной обратной связью);
  3.  Компенсация влияния нелинейностей (применение специальных компенсирующих нелинейных элементов, обеспечивающих линеаризацию системы; введение дополнительных сигналов управления по отклонению);
  4.  Вибрационная линеаризация нелинейностей.  

5.12.  Метод фазовых траекторий

Метод удобен для исследования нелинейных систем второго порядка, когда рассматривается фазовая траектория на плоскости.

Фаза – составляющая процесса, явления, системы, состояния вещества; составляющая динамического процесса в системе.

В декартовой системе координат в качестве независимой переменной по оси абсцисс откладывается регулируемая величина y, по оси ординат –dy/dt. Для систем второго порядка (y, dy/dt) достаточно для характеристики процесса в системе. При движении системы изображающая точка (y,dy/dt) изменяет своё положение на фазовой плоскости, прочерчивая фазовую траекторию, совокупность которых называется фазовым портретом.

Анализ поведения системы по фазовому портрету:

  1.  Определение возможных режимов работы;
  2.  Суждение об устойчивости системы и ее границах;
  3.  Выявление автоколебательных режимов и определение их амплитуды и частоты;
  4.  Суждение о типе переходного процесса (колебательный или апериодический) для определённой области начальных условий;
  5.  Точное определение переходного процесса в системе для заданной совокупности начальных условий;
  6.  Оценка величины перерегулирования реакции системы на скачкообразное входное воздействие;
  7.  Влияние отдельных нелинейностей (сопоставление с линейными системами и нелинейными с другими нелинейностями);
  8.  Рекомендации по коррекции системы линейными и нелинейными средствами.

Особую точку в начале координат, на которую навёртываются все траектории, называют фокусом. Фазовую траекторию, превращающуюся в замкнутую кривую, называют предельным циклом (в системе устанавливается режим автоколебаний).

Сепаратриссы – особые фазовые траектории, разделяющие фазовый портрет нелинейной системы на области с различным видом фазовых траекторий.На фазовом портрете могут быть устойчивые и неустойчивые узлы, особые отрезки, седла, центры.

Свойства фазовых траекторий :

  1.  В верхней полуплоскости, где dy/dt>0, изображающая точка всегда движется слева направо (в сторону увеличения y), а в нижней – справа налево;
  2.  Фазовые траектории пересекают ось y под прямым углом.

  1.  Построение фазовых траекторий

   САУ называется автономной, если при рассматриваемых процессах она не подвергается внешним воздействиям и не содержит параметров, изменяющихся во времени.

Если в дифференциальное уравнение второго порядка автономной системы

                                                                                                                     (5.85)

подставить

то оно может быть записано в форме системы  двух  дифференциальных уравнений первого порядка:

                          

                                                                                                                                                           (5.86)

                                            .

Разделив почленно уравнения, получим

                                         ,                                                                         (5.87)                                                                                 

решение которого-уравнение фазовой траектории.                           

    Фазовая траектория в декартовой системе координат  x1,x2  есть интегральная кривая дифференциального уравнения (5.87) при заданных начальных условиях: x1(t0) и x2(t0).Проинтегрировав это уравнение, находим уравнение интегральной кривой  

x2=f3(x1,c) на фазовой плоскости, где с-постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий.

Точки  (x1,x2) , в которых наклон траектории не определен, называются особыми.

При построении фазовых траекторий удобно пользоваться методом изоклин:

положим наклон

  -

тогда из (5.87) получим                          - уравнение линии, в любой из точек которой фазовая

траектория имеет один и тот же угол наклона, т.е. будет уравнением изоклины.

На фазовой плоскости наносят семейство изоклин для различных значений m, после чего вдоль каждой изоклины вычерчивают ряд параллельных отрезков с углом наклона α (tgα=m). Фазовая траектория получается построением плавной кривой, пересекающей каждую изоклину под соответствующим углом.

Примеры фазовых траекторий; особые линии и особые точки на фазовых портретах приведены на рис. 5.43.

                        Рис. 5.43. Особые линии и особые точки на фазовых портретах

       Если модель системы содержит нелинейный элемент с кусочно-постоянной (или кусочно-линейной) характеристикой, то процесс может быть разбит на ряд интервалов так, что в пределах каждого интервала движение описывается линейными дифференциальными уравнениями. На фазовой плоскости каждому линейному участку такой характеристики нелинейного элемента соответствует отдельная область или лист, в пределах которого правые части дифференциальных уравнений линейны, а фазовые траектории составлены из дуг траекторий линейных систем. Излому или разрыву таких статических характеристик  нелинейных элементов соответствует граница листа фазовой траектории (линия переключения).  

  Пример 5.13. Пусть исходная модель нелинейной системы преобразована к виду, изображенному на рис. 5.44.

Рис. 5.44. Структурная схема релейной САУ

      

     Требуется провести анализ нелинейной системы по методу фазовых траекторий.

     Анализ системы проводится по фазовому портрету, методика построения которого следующая. 

     Запишем дифференциальные уравнения системы в форме Коши. Выберем следующие переменные состояния:

                                                            ;

                                                        .

Дифференциальное уравнение линейной части

                                                       

с учетом запишется так:

                                                       .

Отсюда получаем требуемую систему уравнений состояния:

;

.

Поделим второе уравнение на первое:

                                                    .                                                     (5.88)

Если учесть, что на различных интервалах   функция F() постоянна, то в уравнении (5.88) разделяются переменные, т.е. имеем:

                                                     .

Интегрирование последнего уравнения даёт

                                        ,

где R –постоянная, определяемая начальными условиями.

     Для различных интервалов  получим следующие уравнения для фазовых траекторий:

                                     ,     ;

                                     ,      ;

                                     ,         .    

Для нелинейного элемента типа «реле с зоной нечувствительности» положение равновесия:  на входе интегратора в равновесном состоянии .

Этому режиму работы системы соответствует отрезок равновесия на фазовом портрете.

      Фазовый портрет релейной системы «с зоной нечувствительности» показан на рис. 5.45. Линиям переключения реле соответствуют границы трёх «листов» фазовой плоскости. Движение системы завершается на отрезке равновесия.

                       

                   Рис. 5.45. Фазовый портрет нелинейной системы с нелинейным

                                    элементом типа «реле с зоной нечувствительности»

Пример 5.14. Фазовый портрет системы первого порядка, рассмотренной в примере 5.13, представляет собой единственную кривую:

                                                        ,

проходящую через начало координат и располагающуюся во втором и четвёртом квадрантах при условии  Во втором квадранте () изображающая точка движется в сторону увеличения значений x, а в четвёртом - в сторону уменьшения значений x, т.е. при любых начальных условиях изображающая точка движется к началу координат, поэтому положение равновесия устойчивое асимптотическое в целом (система абсолютно устойчива).  

  1.  Построение кривой переходного процесса по фазовой траектории

     Для построения процессов по интересующему отрезку фазовой траектории требуется определить время движения изображающей точки отрезка фазовой траектории. Зафиксируем интересующий нас отрезок AB фазовой траектории , как это показано на рис. 5.46.

                                               

                            Рис. 5.46. Отрезок AB фазовой траектории

Найдём, за какое время изображающая точка пройдёт от начала отрезка AB  до его конца .

   

По определению имеем   

                                                              ,

отсюда следует

                                                              .

Интегрируя, получим

                                                                                        (5.89)

   Результат имеет простой геометрический смысл – время процесса (перехода системы из одного состояния в другое) пропорционально площади под кривой  Чем выше проходит траектория  в верхней полуплоскости, а значит, чем больше скорость процесса, тем ближе кривая  к оси абсцисс, тем меньше , т.е. быстрее протекает процесс.

     

Пусть имеется фазовая траектория системы. Известно, что значение координаты  y  во  времени будет         или   .

Отсюда     .

    

Рис. 5.47. Аппроксимация фазовой траектории прямолинейным отрезком (а) и начальный

                       участок временной характеристики (б)

              

    Фазовая траектория аппроксимируется прямолинейными отрезками и определяются значения  в середине каждого отрезка (рис. 5.47). Проекция этого отрезка на ось  y     даёт .

При этом

   и     .

    Методика аппроксимации фазовой траектории прямолинейными отрезками и построения временной характеристики показаны на рис. 5.49.

        

Рис. 5.48. Фазовая траектория и соответствующая ей    

    временная характеристика системы

Методы вычисления времени по фазовой траектории имеют существенный недостаток: трудность точного считывания координат кривой.

Рассмотрим пример фазовой траектории в виде отрезка прямой, направленной к началу координат (рис. 5.49,а).

                                                

                          Рис. 5.49. Фазовая траектория и переходный процесс

Уравнение отрезка прямой:

                                                       .                                                                         (5.90)

Обратная кривая

                                                      - отрезок гиперболы;

площадь  под ней равна времени переходного процесса – прихода изображающей точки в начало координат.

    Найдём это время:

                                             .

Действительно, прямолинейному отрезку фазовой траектории соответствует экспоненциальное движение (рис. 5.49,б), т.е. решение дифференциального уравнения (5.90) при начальном условии  имеет вид

                                                          .

Такое движение затухает бесконечно долго.

  1.  Применение метода фазовых траекторий для анализа и синтеза

               нелинейных систем управления

Пример 5.15. Под действием возмущающих сил спутник поворачивается относительно оси  вращения. Предположим , что спутник  жёсткий , трение о воздух отсутствует .

Требуется стабилизировать положение спутника относительно оси вращения, применив систему управления положением спутника с обратной связью по скорости (рис. 5.50).

                                                                    - выходная функция

                         спутник  

  

                                                                                      двигатели

                                                                  

                                                                   0 -  ось вращения

                          двигатели

                                            - входное воздействие

Рис. 5.50. Управление положением спутника

Вращающий момент, приложенный к спутнику с целью стабилизации положения в пространстве, создаётся парой двигателей.

Уравнение динамики вращательного движения:

                                                          ,

где   – момент инерции спутника,

“ – “ -   момент направлен в сторону уменьшения рассогласования.

Преобразуем уравнение к виду

                         , обозначим  u(t) =  , тогда .

Передаточная функция спутника  .

                                                                                                    

                                                                                                       

                                                                                Спутник                                     

            

                                                 Мвр/                                                                                                                                                                

            

       g=0                                         u(t)                                  

                         _    _                                             

                                               

                                             -Мвр/

                 

                                Гироскопический  датчик скорости

     

                                                       

                 Рис.5.51.  Структурная схема системы стабилизации положения

                                   спутника

 

 - команда на выключение двигателей системы.

   

Обозначим (t)=y , тогда модель системы (рис. 5.51) в форме переменных состояния  примет вид

                                                                                - уравнение в форме Коши.

Разделив второе уравнение на первое, получим уравнение фазовых траекторий для области А:

                                           , для области Б: .

Следовательно , фазовые траектории представляют собой параболы

(рис. 5.52) :

        для области А:     ,      для области В:  ,

 где C1  определяется из начальных условий :  => ) ,

 аналогично ).

 Корректирующая обратная связь аналогична действию ПД – регулятора прямого канала.

 Скользящий режим не возникает, если характеристика релейного элемента имеет гистерезис.

При скользящем режиме входной сигнал отслеживается аналогично тому, как это происходит в линейных системах.                                        

                                      

                                                                                                   

                                                y           A                              - условие   

                                                                                                                         переключения                                                                                                            

Скользящий режим                                                                                         двигателей   

(дребезг)                                                               Фазовые траектории         системы.

                                                                          .

 

                                                                                                    x                                                

                                                                                                  Линия переключения  y=;            

                                                                                                                                     .                                      

                                                                                                               

Асимптотически                 

устойчивый центр

                                                                                                                   MN – особый  отрезок.  

               Б                            Фазовая  плоскость                  

Рис. 5.52. Фазовые траектории системы

5.13. Имитационное моделирование нелинейных систем

1. Исследование нелинейных систем методом гармонического баланса (методом   описывающей функции).

Условия применения метода:

  1.  Расчетная модель нелинейной системы имеет только одну нелинейность;
  2.  Выполняется гипотеза фильтра – линейная часть системы является фильтром низких частот;
  3.  Система автономна, т.е. стационарна и свободна (входной сигнал системы равен нулю).

  1.  Исследование нелинейной САУ, содержащей идеальное реле (компаратор).

Структурная схема системы приведена на рис. 5.53.

Рис. 5.53. Структурная схема САУ, содержащей идеальное реле

Примем V = 1.

 

  1.  Анализ работы нелинейной системы по методу Л. С. Гольдфарба.

Поэтому методу условие гармонического баланса выражено уравнением               

           Л. С. Гольдфарба

                                     ,                                                                     (5.91)

где Wн(A) – эквивалентный комплексный передаточный коэффициент НЭ (описывающая функция),

                          .                                              (5.92)

  1.   Построим в MATLAB амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы  и  график функции

                                          ,                                                                         (5.93)

так как описывающая функция идеального реле

                                                 .                                                                        (5.94)

Скрипт MATLAB:

% Исследование нелинейной системы по методу Л.С.Гольдфарба

% График АФХ линейной части нелинейной системы

num=[4];den=[1 2 1 0];

sys=tf(num,den);

nyquist(sys)

MATLAB возвращает график, приведенный на рис. 5.54.

                                    

                             Рис. 5.54. График АФХ линейной части нелинейной системы                                                        

1.1.1.2. Определим точку пересечения графиков (в ней выполняется условие гармонического баланса) и рассчитаем частоту, период и амплитуду автоколебаний в системе.

% Расчёт амплитуды и периода автоколебаний

V=1; w=1.01;

d=-1.97;

A=-4*V*d/pi

T=2*pi/w

>>

A =

   2.5083

T =

   6.2210

Таким образом, в системе возникают автоколебания с параметрами: ω=1.01 с-1, A=2.508, Т=  6.2210 с.

1.1.2. Анализ работы нелинейной САУ по методу А.А. Вавилова.

       Условия баланса амплитуд и фаз, записанные в логарифмической форме, имеют вид

 LЛ(ω) = - LH(A);

                  ΘЛ(ω) + ΘН(А) = (2k+1)π, k=0,1,2,…    .                                                        (5.95)

 1.1.2.1. Построим в MATLAB  функции:  ΘЛ(ω) =-π/2-2*arctg(ω),   ΘН(А) =0,

                    и                           (5.96)

Скрипт  MATLAB:

% Исследование нелинейной системы по методу А.А.Вавилова

% Графики ЛЧХ линейной части нелинейной системы; для получения графика –Lн(А)

% строим модель sys1, где ω=А

num=[4];den=[1 2 1 0];

sys=tf(num,den);

V=1;

num1=[-pi/(4*V) 0]; den1=[1];

sys1=tf(num1,den1);

bode(sys,sys1)

MATLAB возвращает графики, приведенные на рис. 5.55.

                                 

Рис. 5.55. Графики ЛЧХ линейной части НС и

 1.1.2.2. Определяем частоту, амплитуду и период предполагаемых автоколебаний по графику:

         ΘЛ(ω) + ΘН(А) = - π     ( здесь k = 0)     ω=1.01 c-1, А=2.5,  Т=6.2210 с.

1.1.3. Аналитическое описание объекта управления в пространстве состояния.

   Составим векторно-матричную форму уравнения состояния  по передаточной функции объекта:

                                                                                                 (5.97)

Скрипт MATLAB:

% Определение параметров матриц уравнения состояния объекта

% по его передаточной функции

num=[4];den=[1 2 1 0];

sys_tf=tf(num,den)

sys_ss=ss(sys)

Результаты расчёта система выводит в «Окно команд»:

>>  

Transfer function:

      4

---------------

s^3 + 2 s^2 + s

a =

        x1    x2    x3

  x1    -2  -0.5     0

  x2     2     0     0

  x3     0     1     0

b =

      u1

  x1   1

  x2   0

  x3   0

 c =

      x1  x2  x3

  y1   0   0   2

 

d =

      u1

  y1   0

Continuous-time model.

>>

1.1.4. Исследование модели системы в Simulink по рис. 5.56.

Производим набор модели системы в Simulink по рис. 5.56.

.Рис. 5.56. Модель системы в Simulink

Вводим параметры матриц, полученные в пункте 1.1.3 и, задав начальные условия

[0;0;1.5], запускаем модель; в окне Scope по графику y(t) (рис. 5.57)

Рис. 5.57. График выходной функции системы

определяем параметры устойчивых автоколебаний:  ω=0,97 c-1, А=2.6,  Т=6.5 с.

Результаты исследования моделей системы различными методами идентичны.

1.2. Исследование нелинейной системы автоматического управления, содержащей нелинейность  типа “люфт”.

1.2.1. Структурная схема САУ с люфтом приведена на рис. 5.58.

Рис. 5.58. Структурная схема САУ с люфтом

Необходимые условия применимости метода гармонического баланса в нелинейной системе при r(t) = 0  выполняются.

1.2.2. Проведём анализ работы нелинейной системы по методу Л. С. Гольдфарба.

Нелинейность типа “люфт” вносит отставание по фазе.

Описывающая функция для “люфта” имеет вид  

      A > C ;                               (5.98)

                                                                   (5.99)

Численные значения частотной передаточной функции

               (5.100)

                                                                                                                                        

и функции  -1/ приведены в таблице 5.2.                                              

Таблица 5.2

Численные значения и

A

-1/

               ω

1

1,11

0,3

1,25

0,41

1,67

0,65

2,50

0,86

3,75

1

5

1,12

100

1,27

     

По табличным данным выявлены режимы автоколебаний, их параметры и устойчивость:

y1(t)=1.25sin0.41t – неустойчивые автоколебания, y2(t)=3.75sint – устойчивые автоколебания.

1.2.3. Проведём исследование нелинейной системы в MATLAB.

        1.2.3.1. Определим параметры матриц уравнения состояния объекта управления.

Скрипт MATLAB:

% Определение параметров матриц ОУ

num=[4];den=[1 3 2 0];

sys_tf=tf(num,den)

sys_ss=ss(sys_tf)

Результат расчёта:

>>  

Transfer function:

       4

-----------------

s^3 + 3 s^2 + 2 s

 

 

a =

        x1    x2    x3

  x1    -3  -0.5     0

  x2     4     0     0

  x3     0     8     0

 

b =

        u1

  x1  0.25

  x2     0

  x3     0

 

c =

       x1   x2   x3

  y1    0    0  0.5

 

 

d =

      u1

  y1   0

 

Continuous-time model.

>>

Производим набор схемы моделирования системы с люфтом в Simulink (рис. 5.59).

Рис. 5.59. Схема модели системы с люфтом в Simulink

Вводим в модель параметры элементов и начальные условия [0;0;10]. Результат моделирования в окне Scope имеет вид, приведенный на рис. 5.60.  

                                     

     Рис. 5.60. Реакция модели нелинейной системы на начальные условия [0;0;10]

При вводе в модель начальных условий [0;0;6]  переходный процесс имеет форму расходящихся колебаний до установившегося режима в виде автоколебаний (рис. 5.61).

                                     

Рис. 5.61. Реакция модели нелинейной системы на начальные условия [0;0;6]

Модель иллюстрирует наличие устойчивого предельного цикла y(t)=3.52sin1.01t.

               

       

  1.  Исследование нелинейных САУ методом фазовых траекторий.

  1.  Математическое описание системы стабилизации положения спутника приведено в примере 5.15.

Методика анализа нелинейной системы (рис. 5.51) заключается в построении множества фазовых траекторий движения системы в пространстве состояний с двумя координатами x1 и x2. Фазовый портрет содержит исчерпывающую информацию о поведении системы при различных начальных условиях.

Определим матрицы уравнения состояния спутника по скрипту MATLAB:

% Определение параметров матриц уравнения состояния спутника

num=[1];den=[1 0 0];

sys_tf=tf(num,den)

sys_ss=ss(sys_tf)

>>  

Transfer function:

1

---

s^2

 

 

a =

      x1  x2

  x1   0   0

  x2   1   0

 

 

b =

      u1

  x1   1

  x2   0

 

c =

      x1  x2

  y1   0   1

 

d =

      u1

  y1   0

 

Continuous-time model.

>>

  1.  Построим модель системы в Simulink и введём  в модуль объекта рассчитанные параметры матриц и начальные условия (рис. 5.62).

Рис. 5.62. Модель системы стабилизации спутника в Simulink

При моменте инерции спутника J=150 кгм2 примем u=mвр/J = 0.12 Н/кгм и начальные условия [0.2;-0.05].

  

  1.  Исследование модели системы по фазовым траекториям при величине передаточного коэффициента датчика скорости равном нулю иллюстрируется графиком, приведенным

         на рис. 5.63.

      

Рис. 5.63. График фазовой траектории системы при kдс=0

Если величина передаточного коэффициента датчика скорости kдс=0.278, система работает устойчиво без скользящего режима (рис. 5.64).

Рис. 5.64. График фазовой траектории системы при  kдс=0.278

 

Скользящий режим работы системы наблюдается при kдс1.

Если наклон линии переключения является малым, то по мере приближения траектории к началу координат она всегда стремится пересечь линию переключения независимо от того, по какую сторону от нее находится. Это приводит к тому, что фазовая траектория скользит вдоль линии переключения к началу координат.

График фазовой траектории при kдс=1.01 приведен в окне осциллографа «XY Graph»

(рис. 5.65).

.

Рис. 5.65. График фазовой траектории системы при kдс= 1,01

ЛИТЕРАТУРА

 

  1.  Арнольд В.И. Теория катастроф.-М.: Наука, 1990.
  2.  Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб, Изд-во “Профессия”, 2003.

    3.  Дьяконов В.П.  MATLAB 6/6.1/6.5+Simulink 4/5 в математике и моделировании.-    М.:

         СОЛОН-Пресс, 2003.

  1.  Пантелеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах: Учеб.

     пособие.-М.: Высшая школа, 2003.

  1.  Ротач В.Я. Теория автоматического управления: Учебник для вузов.-    2-е изд., перераб. и доп.- М.: Издательство МЭИ, 2004.
  2.  Теория автоматического управления: Учеб. для вузов/ С.Е. Душин,      Н.С. Зотов,

     Д.Х. Имаев и др.; Под ред. В.Б. Яковлева.-М.: Высшая школа, 2003.

  1.  Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: Учеб. пособие для втузов.-М.: Машиностроение, 1989.
  2.  Филлипс Ч., Харбор Р.  Системы управления с обратной связью.- М.: Лаборатория     Базовых Знаний, 2001.


y(t)

z(t)

r(t)=0

ε(t)

Wл(p)

F(ε)

+

-

Вход  

0          π     2 π

Статическая характерис-

тика нелинейного элемента

 С

u

0            π       2π

 -C

C

Выход

u

A

1

0

q(A),

RH(A)

 c

 -c

u(t)

Asint

Asint

sint

c

с

F()

с

F()

b

-b

-b

b

k

-c

F()

)

-b

b

k

k

-b

b

k

k

hb

k

-c

c

-hb

-c

c

-b

b

F()

c

-c

-b   -rb

  rb   b

A

-A

F()

k

k

bA

-b

-c

c

-b

b

с

F()

k

k

   r

ε

y

u

    

   -

с

b

- b

KC

-KC

x1

x2

b

-b

0

 1

x0

xk

x1

x2

x2(x1)

1/x2(x1)

B

A

     1

     -1       0

1/x2(x1)

x2(x1)

x1

x2

а)

      -1       

     t       

        0

       

x1

б)

Ось стаби-

лизации

Двигатели

u-при уменьшении угла поворота спутника

-u–при увеличении угла поворота спутника

при  Кдс=0

Кдс<1

r

u

y

K=1

       4

p(p+1)(p+2)

-1

1

+

-



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
12947. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ 338.05 KB
  Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации будем считать что исследуемая нелинейная система приведена к виду показанному на. Нелинейный элемент может иметь любую характеристику лишь бы она была интегрируемой без разрывов второго рода. Преобразование данной переменной для примера нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис.
2401. Классификация и Требования, предъявляемые к САР. Линейные и нелинейные САР. Общий метод линеаризации 79.15 KB
  По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса: Системы автоматической стабилизации характеризуются тем что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным. Системы программного регулирования задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону как функция времени и координат системы. Следящие системы задающее воздействие является величиной переменной но математическое описание по времени не может быть установлено т. Адаптивные или самонастраивающиеся системы такие системы автоматически...
8407. Константный метод 17.82 KB
  Говорят, что метод объекта обладает свойством неизменности (константности), если после его выполнения состояние объекта не изменяется.Если не контролировать свойство неизменности, то его обеспечение будет целиком зависеть от квалификации программиста. Если же неизменный метод в процессе выполнения будет производить посторонние эффекты, то результат может быть самым неожиданным,отлаживать и поддерживать такой код очень тяжело.
9035. Метод рекуррентных соотношений 146.69 KB
  Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Основные определения и примеры рекуррентных соотношений Часто решение одной комбинаторной задачи удается свести к решению аналогичных задач меньшей размерности с помощью некоторого соотношения называемого рекуррентным от латинского слова recurrere – возвращаться. Тем самым решение сложной задачи можно получить последовательно находя решение более легких задач и далее пересчитывая по рекуррентным соотношениям находить решение трудной задачи. Рекуррентным соотношением го...
2248. Графический метод решения ЗЛП 219.13 KB
  Точки лежащие внутри и на границе этой области являются допустимыми планами. А именно все точки отрезка АВ являются оптимальными планами задачи на которых достигается максимальное значение линейной формы. Метод последовательного улучшения плана Метод основан на упорядоченном переборе угловых точек множества планов задачи в сторону увеличения или уменьшения линейной формы и содержит три существенных момента. Вопервых указывается способ вычисления опорного плана.
2243. МЕТОД ВОЗМОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ 113.98 KB
  Идея метода возможных направлений МВН заключается в том что в каждой очередной точке находится направление спуска такое что перемещение точки по этому направлению на некоторое расстояние не приводит к нарушению ограничений задачи. Направление определяемое вектором называется возможным направлением в точке если достаточно малое перемещение из в направлении не выводит точку за пределы допустимой области т. Очевидно если является внутренней точкой множества то любое направление в этой точке является возможным. Возможное...
13457. Метод фазовой плоскости 892.42 KB
  Метод фазовой плоскости впервые был применен для исследования нелинейных систем французским ученым Анри Пуанкаре. Основное преимущество этого метода – точность и наглядность анализа движений нелинейной системы. Метод является качественным
12914. Метод наименьших квадратов 308.27 KB
  Пусть из теоретических соображений мы знаем что . Поэтому можно сказать что наша задача состоит и в том чтобы провести прямую наилучшим образом. Будем считать что вся ошибка заключена в . Будем подбирать искомые коэффициенты из соображений чтобы случайная добавка была наименьшей.
10649. Индексный метод анализа 121.13 KB
  Индивидуальные индексы. Общие агрегатные индексы. Средние преобразованные индексы. Индексы переменного и постоянного состава индексы структурных сдвигов.
9870. Сказкотерапия как метод в психологии 39.06 KB
  Однако до сих пор это чарующее слово сказкотерапия понимается психологами очень поразному и смыслы которые в него вкладываются отличаются порой не меньше чем скажем бытовые сказки и волшебные. Постараюсь затем все методы применять на практике читать детям сказки воспитывать тем самым доброе и вечное . Главным средством психологического воздействия в сказкотерапии выступает метафора как ядро любой сказки...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.