Умножение и деление приближенных чисел

Умножение и деление приближенных чисел Правило 1: При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности. Если у одного из чисел относительная погрешность значительно выше остальных то относительная погрешность выражения считается равной этой наибольшей погрешности. Правило 2: Абсолютная погрешность результата умножения или деления приближенных чисел вычисляется по его относительной погрешности.

2015-01-27

118.38 KB

31 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция вторая

План

  1.  Умножение и деление приближенных чисел;
  2.  Погрешность вычисления значения функций. Функции одной переменной.
  3.  Функции нескольких переменных;
  4.  Прямая и обратная задачи теории погрешности;
  5.  Особенности машинной арифметики.

  

Умножение и деление приближенных чисел

Правило 1: При умножении и делении приближенных чисел складываются их относительные погрешности.

При большом m+n принято пользоваться статистической оценкой относительной погрешности

При такой оценке предполагается, что числа , имеют примерно одинаковую относительную погрешность. Если у одного из чисел относительная погрешность значительно выше остальных, то относительная погрешность выражения считается равной этой наибольшей погрешности.

Правило 2: Абсолютная погрешность результата умножения или деления приближенных чисел вычисляется по его относительной погрешности.

Погрешность вычисления значения функций

Функция одной переменной

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции y=f(x), вызываемая погрешностью аргумента оценивается величиной

Для относительной погрешности имеет место оценка

В частности для основных элементарных функций получаем следующие оценки:

  1.  

 

 

  1.  

 

 

 

 

 

  1.  

 

 

Функции нескольких переменных

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции , вызываемая погрешностями аргументов, оценивается величиной Для отнотельной погрешности имеет место оценка:  

Прямая и обратная задачи теории погрешности

При выполнении арифметических действий с приближенными числами возникают две взаимнообратные задачи:

  1.  По известным погрешностям входных данных оценить погрешность результата (прямая задача теории погрешности)
  2.  Определить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата (обратная задача)

Обратная задача имеет однозначное решение только для функций одной переменной при условии, что эта функция дифференциируема  и производная отлична от нуля Для функйий нескольких переменных задача решается только при введении дополнительных ограничений. Если значение всех аргументов можно одинаково легко определить с любой точностью, то обычно применяют принцип равных влияний. Все слагаемые вида равны между собой. Это дает формулу  ,

Особенности машинной арифметики

 Система счисления — символический метод представления чисел с помощью знаков. Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых один и тот же числовой знак в записи числа имеет различные значения в зависимости от номера позиции(разряда), в которой он расположен. Пример позиционной системы счисления — десятичная, двоичная, непозиционная — римская.

В десятичной системе счисления вещественное число x представляет собой цепочку десятичных цмфр, разделенных десятичной точкой, перед которой стоит знак. Здесь каждой позиции(разряду) соответствует определнная степень числа 10.

 

 

 

 Пример:

 Для представления десятичных чисел в ЭВМ используется позиционная двоичная система счисления. Это вызвано способом хранения чисел в памяти ЭВМ, каждое из которых можно рассматривать как набор однотипных элементов, способных находится только в одном из двух устойчивых состояниях.

 

 Пример:      

Для хранения числа в памяти отводится поле стандартной длины (машинное слово), в котором число записывается в виде двоичных цифр. По форме представления, способу хранения, реализации арифметических операций различают два типа чисел – целые и вещественные.

Представление целых чисел

, где L – число, определенное для конкретной ЭВМ. Всего для хранения чисел отводится L+2 разряда. Таким образом максимальное по модулю целое число - Операция сложения, вычитания и умножения над целыми числами реализована так, что результат по модулю не превышает

Представление вещественных чисел

Для представления вещественных чисел используется форма представления с плавающей точкой.

  

Так выглядит число в форме представления с плавающей точкой. Число нормализуется таким образом, что в памяти ЭВМ сохраняются только значащие цифры, где - двоичные цифры, , - мантисса, t – разрядность мантиссы, зависит от конкретной ЭВМ, p – это число, которое называется двоичным порядком. В памяти ЭВМ порядок записывается как двоичное число

 

Для хранения отводится  двоичных разряда. Поскольку 0 – ненормализируемое число для его хранения предусмотрен особый способ записи

 Пример:

 На основании имеющихся сведений можно сделать ряд выводов:

  1.  На ЭВМ представимы не все числа, а конечный набор рациональных чисел специального вида. Эти числа образуют представимое множество вычислительной машины. Для остальных чисел возможны лишь приближенные представления с ошибкой, которую называют ошибкой представления(округления). Если производится по дополнению, то относительная погрешность по представлению равна , т.е. единице первого отброшенного разряда мантиссы. Если округление происходит с усечением, то , величина - относительная точность ЭВМ(машинная точность)
  2.  Диапазон изменения чисел ограничен.

- для мантиссы. Поскольку для хранения порядка  используется  двоичных цифр, то для представления чисел в ЭВМ имеем  , , , -

величина, которая называется машинным нулем, - машинная бесконечность. Все числа, которые попадают в этот интервал, для машины становятся неразличимыми.

  1.  На машинной числовой оси числа расположены неравномерно. Плотность растет по мере приближения к нулю. Чтобы убедиться в этом, расстояние от одного числа на ЭВМ до другого ближайшего равно единице последнего разряда мантиссы, умноженного на порядок Поскольку t – фиксировано, то расстояние уменьшается с уменьшением порядка.
  2.  Машинные арифметические операции обладают иными свойствами нежели обычные математические.

 Пример:

    

 Предположим, что

 

 



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
6227. ДЕЛЕНИЕ КЛЕТОК 19.38 KB
  Интерфаза Один из постулатов клеточной теории гласит что увеличение числа клеток их размножение происходит путем деления исходной клетки. Многоклеточный организм также начинает свое развитие всего с одной единственной клетки; путем многократных делений образуется огромное количество клеток которые и составляют организм. В многоклеточном организме не все клетки имеют способность к делению по причине их высокой специализации. Время существования клетки как таковой – от деления до деления – обычно называют клеточным циклом.
19628. Административно-территориальное деление Российской Федерации 16.76 KB
  Критерии для определения границ муниципальных образований. Территории муниципальных образований устанавливаются в соответствии с федеральными законами и законами субъектов РФ с учетом исторических и иных местных традиций. Территории муниципальных образований – городов поселков станиц районов уездов сельских округов волостей сельсоветов и других муниципальных образований устанавливаются в соответствии с законами Российской Федерации с учетом исторических и иных местных традиций ч. В данных источниках законодатель исключает...
7339. Создание Тамбовской губернии. Административное деление Тамбовского края в XVIII веке 16.4 KB
  Создание Тамбовской губернии. План: Создание Тамбовской губернии. согласно новому административному делению все губернии разделялись на провинции а провинции – на уезды. В составе Азовской губернии образовывались Воронежская Елецкая Тамбовская Шацкая и Бахмутская провинции.
3691. Социальное деление, система общественных взаимоотношений и воспитание граждан в государстве Платона 6.65 KB
  Во главе этого государства должны стоять философы знающие. Это деление основано на: философы лучше всех познали истину в мире идей поэтому они должны стоять во главе. Именно философы лучше всего познали истину в мире идей...
3369. Переклад чисел у різних системах числення 1.35 MB
  Життя у цивілизованих країнах без комп’ютера уявити дуже складно. Адже комп’тери використовуються повсякденно, як для роботи, так і для відпочинку. Завдяки комп’ютерам ми здатні швидко і точно обробляти інформацію
5616. Устройство для сложения двух чисел с плавающей запятой 21.27 KB
  Основным компонентом ЭВМ, напрямую влияющим на ее характеристики, является процессор или микропроцессор, и в свою очередь одним из основных элементов процессора, непосредственно выполняющим обработку информации является арифметико-логическое устройство
3758. Перевод чисел из одной системы счисления в другие 28.95 KB
  Удобство использования этих чисел состоит в том, что числа соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной системы, а перевод в двоичную систему и наоборот несложен и выполняется простым механическим способом.
9275. Закони великих чисел. Двовимірна випадкова величина 357.52 KB
  Властивості нормального двовимірного розподілу.Vсередній інтеграл невідємне число і в першому та третьому інтегралах V V Це для неперервного розподілу. Функція розподілу двовимірної випадкової величини має вигляд: функція двох змінних t s. Знаючи функцію двовимірного розподілу можна знаходити функції розподілів X i Y: і аналогічно Якщо XY–незалежні випадкові величини то для всіх ts є R тобто функція двовимірного розподілу дорівнює добутку функцій розподілів Х та Y.
3741. ВИКОНАННЯ ОПЕРАЦІЇ ДІЛЕННЯ ДВІЙКОВИХ ЧИСЕЛ БЕЗ ВІДНОВЛЕННЯ ЗАЛИШКІВ 243.58 KB
  ВИКОНАННЯ ОПЕРАЦІЇ ДІЛЕННЯ ДВІЙКОВИХ ЧИСЕЛ БЕЗ ВІДНОВЛЕННЯ ЗАЛИШКІВ 2.Методи ділення двійкових чисел Ділення двійкових чисел багато в чому аналогічно діленню десяткових чисел. Процес ділення полягає в тому що послідовно розряд за розрядом відшукуються цифри частки шляхом підбора наступним множенням цієї цифри на дільник і відніманням цього добутку з діленого. З безлічі різних методів виконання операції ділення розглянемо найпоширеніший алгоритм ділення що полягає в тім що дільник на кожному кроці віднімається стільки разів з діленого...
9814. Регистры сдвига с линейной обратной связью как генераторы псевдослучайных чисел 277.76 KB
  Решение было вскоре найдено. Изучение свойств регистров сдвига позволило установить, что регистры сдвига с обратной связью способны генерировать достаточно стойкие к дешифровке псевдослучайные последовательности, обусловленные их внутренним строением.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.