Формирование представлений о методах решения прикладных задач с помощью средств вычислительной техники

Наличие погрешности обусловлено рядом причин. Исходные данные как правило содержат погрешности поскольку они либо получаются в результате экспериментов измерений либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Полная погрешность результата решения задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих: неустранимой погрешности погрешности метода и вычислительной погрешности: .

2015-01-27

29.54 KB

5 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция первая

План

  1.  Предмет, цели и задачи курса;
  2.  Численное исследование прикладных задач;
  3.  Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи; 
  4.  Абсолютная и относительная погрешности; 
  5.  Сложение и вычитание приближенных чисел

Введение

Предмет, цели и задачи курса

Цель курса: формирование представлений о методах решения прикладных задач с помощью средств вычислительной техники. 

Основные задачи курса - углубление математического образования и развитие практических навыков в области прикладной математики.

Курс включает в себя изучение элементов теории погрешностей и теории приближений, основные численные методы алгебры и математического анализа. В курсе подробно рассмотрены различные методы построения интерполяционных многочленов вопросы численного дифференцирования и интегрирования, а также численного решения дифференциальных уравнений и интегральных.

Численное исследование прикладных задач

Практическая потребность или просто любознательность всегда ставили перед человеком трудные вопросы, на которые нужно было получать ответы. Строится высотное задание в опасной зоне. Выдержит ли оно сильные ветровые нагрузки и колебания почвы? Проектируется новый тип самолета. Как он будет вести себя при различных режимах полета? Уже сейчас зафиксировано потепление климата на нашей планете и отмечены негативные последствия этого явления. А каким будет климат через сто и более лет?

Подобного рода вопросы сотнями и тысячами возникают в каждой области. Уже давно разработаны общие принципы поиска ответов.

Первым этапом решения прикладных задач с помощью средств вычислительной техники является построение математической модели, адекватно отражающей изучаемое явление или объект. Математическая модель представляет собой некоторую совокупность дифференциальных, алгебраических или каких-то других соотношений, определенных в области, так или иначе связанной с предметом исследований. Решения этих соотношений и должны давать ответы на поставленные вопросы.

Если математическая модель построена – следующим этапом решения задачи является разработка алгоритма решения. Довольно часто в его основе лежит принцип дискретизации (декомпозиции). Исследуемый объект разбивается на отдельные элементы и на эти элементы переносятся связи, диктуемые математической моделью. Уровень дискретизации зачастую определяется возможностью компьютера решить получившуюся систему уравнений за разумное время. Скорость решения задач при этом может зависеть от вычислительной техники (архитектура, технические характеристики) и степени согласованности структуры алгоритмов с архитектурой вычислительной техники (насколько эффективно в алгоритме заложено использование вычислительной мощности).

Развитие математического моделирования приводит к появлению более сложных описаний моделей. Дискретизация задач приводит к системам уравнений с огромным числом неизвестных. Прежние методы их решения не всегда оказываются пригодными по соображениям точности, скорости, требуемой памяти, структуре алгоритмов и т. п. Возникают и реализуются новые более совершенные численные методы. Систематизация наиболее эффективных из них, а также потребность в постоянном развитии и появлении более эффективных и надежных методов привели к появлению курса под названием вычислительная математика.

Основы теории погрешностей

Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, важно понимать, что получить точное значение решения практически невозможно. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаев) содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограниченной разрядности вычислительной машины.

 Определения: приближение, погрешность, абсолютная погрешность, относительная погрешность

Источники и классификация погрешностей результата численного решения задачи

Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.

Наличие погрешности обусловлено рядом причин.

  1.  Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
  2.   Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.
  3.  Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.
  4.  При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.

Полная погрешность  результата решения задачи на ЭВМ складывается из трех составляющих: неустранимой погрешности, погрешности метода и вычислительной погрешности: .

Появление неустранимой погрешности обусловлено тем, что принятие математической модели и задание исходных данных вносит в решение ошибку, которая не может быть устранена далее. Единственный способ уменьшить эту погрешность — перейти к более точной математической модели и задать более точные исходные данные.

Достоверная информация о порядке величины погрешности метода позволяет осознанно выбрать метод решения задачи и разумно задать его точность. Желательно, чтобы величина погрешности метода была в 2—10 раз меньше неустранимой погрешности. Большее значение ощутимо снижает точность результата, меньшее — обычно требует увеличения затрат, практически уже не влияя на значение полной погрешности.

Величина вычислительной погрешности (при фиксированных модели, входных данных и методе решения) в основном определяется характеристиками используемой ЭВМ. Желательно, чтобы эта величина была хотя бы на порядок меньше величины погрешности метода и совсем не желательна ситуация, когда она существенно ее превышает.

Абсолютная и относительная погрешности

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено a, считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой)  понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: .

Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина  называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.

Абсолютной погрешностью приближенного значения  называют величину , про которую известно, что:

.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:

Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Относительная погрешность приближенного числа связана с количеством его верных знаков. Количество верных знаков числа отсчитывается от первой значащей цифры числа до первой значащей цифры его абсолютной погрешности.

Примечание: Значащие цифры в приближённых вычислениях, все цифры числа, начиная с 1-й слева, отличной от нуля, до последней, за правильность которой можно ручаться. Например, если измерение произведено с точностью до 0.0001 и дало результат 0.0320, то Значащие цифры будут 3, 2 и 0.

Ориентировочно можно считать, что наличие только одного верного знака соответствует относительной погрешности порядка 10%, двух верных знаков – погрешности порядка 1%, трех верных знаков – погрешности порядка 0,1% и т. д.

Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Значащая цифра называется верной в узком смысле если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. В противном случае цифра считается сомнительной.

В литературе по методам вычислений широко используется термин «точность». Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности. Часто используемая фраза «требуется найти решение с заданной точностью » означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины .

Сложение и вычитание приближенных чисел

Правило 1.1: Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел:  равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых: .

При большом количестве слагаемых такая оценка абсолютной погрешности суммы оказывается сильно завышенной, так как обычно происходит частичная компенсация погрешностей разных знаков. Если все слагаемые округлены до m-то десятичного разряда, т. е. их погрешности оцениваются величиной , то статистическая оценка абсолютной погрешности суммы дается правилом Чеботарева:

где n — число слагаемых; это правило применимо в случае, когда количество слагаемых больше десяти .

Если среди слагаемых имеется одно число, абсолютная погрешность которого значительно превосходит абсолютные погрешности остальных слагаемых, то абсолютная погрешность суммы считается равной этой наибольшей погрешности. При этом в сумме целесообразно сохранять столько десятичных знаков, сколько их в слагаемом с наибольшей абсолютной погрешностью.

Правило 1.2:Относительная погрешность  суммы нескольких чисел одного и того же знака заключена между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых:

, ().

Правило 1.3: Относительная погрешность разности двух положительных чисел больше относительных погрешностей этих чисел, особенно если эти числа близки между собой (т. е. если их разность мала по сравнению с самими этими числами). Это приводит к потере точности при вычитании близких чисел, что следует учитывать при выборе вычислительных схем.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
8333. История развития вычислительной техники. Классификация компьютеров. Состав вычислительной системы. Аппаратное и программное обеспечение. Классификация служебных и прикладных программных средств 25.49 KB
  Состав вычислительной системы. Состав вычислительной системы Рассматривают аппаратную и программную конфигурацию т. Интерфейсы любой вычислительной системы можно условно разделить на последовательные и параллельные. Системный уровень переходный обеспечивающий взаимодействие прочих программ компьютерной системы как с программами базового уровня так и непосредственно с аппаратным обеспечением в частности с центральным процессором.
167. Общие сведения по эксплуатация средств вычислительной техники 18.21 KB
  Основные понятия Средства вычислительной техники СВТ – это компьютеры к которым относятся персональные компьютеры ПЭВМ сетевые рабочие станции серверы и другие виды компьютеров а также периферийные устройства компьютерная оргтехника и средства межкомпьютерной связи. Эксплуатация СВТ заключается в использовании оборудования по назначению когда ВТ должна выполнять весь комплекс возложенных на нее задач. Для эффективного использования и поддержания СВТ в работоспособном состоянии в процессе эксплуатации проводится...
17084. ИНТЕЛЛЕКТУАЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ В АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ ЕДИНЫМ СЕТЕВЫМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ 182.11 KB
  Новые тенденции развития технологий и общества в конце первого и начале второго десятилетия XXI века свидетельствуют о стремительном развитии интеллектуальности в компьютерных системах. Начальные разработки в сфере автоматизированных транспортных систем с элементами интеллектуальности уже активно применяются в различных профессиональных сферах. Анализ существующих методов оценки интеллектуальности компьютерных систем. Широкое внедрение на транспорте новой техники и современных интеллектуальных технологий в том числе и в рамках единой...
5380. Разработка учебного стенда Устройство и принцип работы принтера как средство повышения качества подготовки учащихся специальности Техническое обслуживание средств вычислительной техники и компьютерных сетей 243.46 KB
  Классифицируются принтеры по пяти основным позициям: принципу работы печатающего механизма, максимальному формату листа бумаги, использованию цветной печати, наличию или отсутствию аппаратной поддержки языка PostScript, а также по рекомендуемой месячной нагрузке.
166. Обеспечение заземления в вычислительной техники 169.06 KB
  Практически каждый блок питания компьютера или иного устройства имеет сетевой фильтр рис. При занулении необходимо быть уверенным в том что этот нуль не станет фазой если ктолибо перевернет какуюнибудь вилку питания. Входные цепи блока питания компьютера Рис. Образование потенциала на корпусе компьютера Конечно мощность этого источника ограничена ток короткого замыкания на землю составляет от единиц до десятков миллиампер причем чем мощнее блок питания тем обычно больше емкость конденсаторов фильтра и следовательно ток:...
13538. Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений 153.35 KB
  Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
13543. Геофизические методы решения геоэкологических задач 2.12 MB
  С помощью магниторазведки изучают особенности распределения магнитного поля вызванного горными породами и рудами различной намагниченности. Гравиразведка основана на изучении поля силы тяжести и ее градиентов отражающих плотностные неоднородности геологического разреза. Так как все геофизические поля проявляются в той или иной мере в оболочках Земли то параметры этих полей возможно регистрировать в искусственных и естественных сооружениях к которым относятся: разведочные скважины горные выработки шахты карьеры кратеры вулканов зоны...
13453. Неоднозначность решения обратных задач в геофизике 561.54 KB
  Это легко показать на примерах моделей с объектами простой геометрической формы когда одинаковые по амплитуде и форме аномалий могут возникать как минимум в 3х случаях рис 1 2 3. Рис. Идентичность геофизических аномалий над объектами различных размеров расположенными на разных глубинах и при одинаковой контрастности по физическим свойствам Рис. Идентичность геофизических аномалий над объектами расположенными на разных глубинах отличающимися по контрастности физических свойств и при одинаковых геометрических размерах Рис.
15274. Формирование представлений об образе семьи у детей старшего дошкольного возраста 36.39 KB
  Формы работы воспитателя с детьми старшего дошкольного возраста по формированию образа семьи. Опыт работы воспитателей по формированию у детей дошкольного возраста образа семьи. Дети должны стать активными участниками в реализации этих важнейших задач направленных на возрождение и укрепление социального института семьи семейных ценностей и традиций основы основ Российского общества и государства. Поэтому сегодня деятельность социальных структур определяется приоритетами государственной политики и...
4278. Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры 6.37 KB
  Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, можно разделить на три группы. Примеры исполнения функций eigenvals, eigenvecs, eigenvec, lsolve
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.