Система линейных одновременных уравнений

Идентификация модели. Уравнения 1 называются структурной формой модели экономического процесса. Коэффициенты ij и bij называются структурными коэффициентами модели. На практике достаточно часто рассматриваются модели в которых такие члены имеются в наличии.

2015-01-21

40.11 KB

22 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


10

ЛЕКЦИЯ

по дисциплине        «Эконометрика»

Тема № 2.      Элементы теории временных рядов.

Занятие № 2.      Система линейных одновременных уравнений.

Содержание

Введение.

Учебные вопросы:

1. Модель спроса и предложения. Структурная и приведенная форма уравнений.

2. Идентификация модели. Условия идентифицируемости.

3. Косвенный метод наименьших квадратов.

4. Двухшаговый метод наименьших квадратов.

Заключение:

Литература

а) Основная

  1.  Доугерти К. Введение в эконометрику. – М: ИНФРА, 1997. (Гл. 11, с. 322-339.)
  2.  Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2000. (Гл.10, с. 191-209.)

Текст лекции

Введение

В последние годы в экономических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Именно такая одновременность позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Учебные вопросы: (основная часть)

1. МОДЕЛЬ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ. СТРУКТУРНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ

Как известно, две основные категории рыночных отношений – спрос и предложение. И то и другое зависит от многих факторов, среди которых главный – это цена товара. Обозначим цену товара p, объем спроса d, величину предложения s. При малых p имеем d(p)-s(p)>0 (спрос превышает предложение), при больших p, наоборот, d(p)-s(p)<0. Считая d(p) и s(p) непрерывными функциями, приходим к заключению, что существует такая цена b, для которой d(b)=s(b), т.е. спрос равен предложению. Цена b называется равновесной, спрос и предложение при этой цене также называются равновесными.

Установление равновесной цены – одна из главных задач рынка. Рассмотрим простую модель поиска равновесной цены – так называемую паутинную модель. Для этого проанализируем ситуацию, изображенную на рис. 1 (см. последнюю страницу).

Пусть в начальной точке предложение товара имеет значение q1 и выбрано так в зависимости от цены товара p1 в предыдущий период. Поскольку эта цена больше равновесной, то на кривой спроса dd ей соответствует объем покупок q2 Производителю, исходя из такой информации о состоянии рынка, приходится опустить цену товара до p2. Цена p2 ниже равновесной, поэтому на рынке увеличивается спрос до величины q3. На кривой предложения ss этой величине соответствует новая цена, и процесс продолжается. В этом случае спираль сходится к точке равновесия (a, b).

Описанная спираль не всегда «скручивается». Придумайте рисунок, на котором она будет «раскручиваться».

Многие экономические процессы описываются с помощью систем взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Мы будем изучать уравнения вида

 (1)

Характерная черта этих уравнений состоит в том, что эндогенные переменные yi, стоящие в левых частях уравнений, зависят не только от экзогенных переменных xi, не только от случайных факторов , но и от других эндогенных переменных. Легко видеть, что в правой части каждого уравнения стоят все эндогенные переменные, кроме того, которое находится в левой части. Именно в этом состоит взаимная зависимость эндогенных переменных.

Уравнения (1) называются структурной формой модели экономического процесса. Коэффициенты aij и bij называются структурными коэффициентами модели.

В уравнениях (1) отсутствуют постоянные свободные члены. На практике достаточно часто рассматриваются модели, в которых такие члены имеются в наличии.

Попытка применить метод наименьших квадратов (МНК) для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как правило, смещенные и несостоятельные оценки. Чтобы избежать этого, структурная форма модели преобразуется в так называемую приведенную форму модели, т.е. в систему линейных уравнений, в которых эндогенные переменные выражены через экзогенные:

   (2)

Покажем, что коэффициенты приведенной модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной модели. С этой целью рассмотрим следующий пример.

 Пример 1. Пусть C – личное потребление, Y – национальный доход, I – инвестиции, ε – случайная величина. Все величины выражены в постоянных ценах. Модель Кейнса замкнутой экономики без государственного вмешательства имеет

     (3)

Подставив выражение для C из первого уравнения во второе и выразив Y, мы получим, что

    (4)

Подставив полученное выражение для Y в первое уравнение, получим, что

   (5)

Равенства (4) и (5) дают нам приведенную форму модели. Нелинейный характер зависимости коэффициентов приведенной модели от коэффициентов структурной модели виден наглядно.

Обратим внимание на то, что в системе (3) уравнения имеют различный смысл. Первое уравнение описывает эмпирические взаимосвязи между переменными. Такое уравнение называется поведенческим. Второе уравнение представляет собой уравнение-тождество. Единственное практическое различие между ними, с точки зрения эконометриста, состоит в том, что тожества не содержат каких-либо подлежащих оценки параметров, а также не включают случайного члена.

2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ. УСЛОВИЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ

Рассмотрим простейшую структурную модель с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными:

    (6)

Ее приведенная форма имеет вид

     (7)

Нетрудно видеть, что в уравнениях (6) имеется шесть структурных коэффициентов, а в уравнениях (7) количество коэффициентов равно всего лишь четырем. Если мы оценим параметры приведенной модели и захотим восстановить с их помощью параметры структурной модели, то нам придется решить 4 нелинейных уравнения с 6-ю неизвестными. Очевидно, что такая система может оказаться как несовместной, так и совместной, причем в последнем случае она может оказаться как определенной, так и неопределенной. Все зависит от того, принимают ли коэффициенты структурной модели какие-либо специальные значения. Таким образом, мы приходим к проблеме идентификации модели. Дадим точные определения.

 Определение. 1) Структурная модель называется идентифицируемой, если все ее структурные коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной и приведенной формы модели одинаково. 2) Структурная модель называется неидентифицируемой, если ее структурные коэффициенты не могут быть определены по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов. 3) Структурная модель называется сверхидентифицируемой, если по коэффициентам приведенной модели может быть найдено более одного значения какого-либо коэффициента приведенной модели, т.е. если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

 Пример 2. Каждая из нижеследующих структурных моделей имеет уравнения (6) в качестве приведенной модели:

     

Подсчет количества коэффициентов показывает, что первая структурная модель идентифицируема, вторая модель неидентифицируема, а третья модель сверхидентифицируема.

Нетрудно видеть, что модель Кейнса (3) идентифицируема, причем ее параметры a и b однозначно определяются по ее приведенным коэффициентам  и  с помощью равенств  и

Структурная модель всегда представляет собой систему уравнений, каждое из которых нужно проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. Если хотя бы одно из уравнений системы сверхидентифицируемо, а остальные идентифицируемы, то и вся система сверхидентифицируема.

 Необходимым условием идентификации одного уравнения является выполнение так называемого счетного правила. Пусть H – число эндогенных переменных в i-том уравнении, D – число предопределенных (т.е. эндогенных и лаговых) переменных, отсутствующих в i-том уравнении, но присутствующих в системе. Тогда

  •  если H=D+1, то уравнение идентифицируемо;
  •  если H>D+1, то уравнение неидентифицируемо;
  •  если H<D+1, то уравнение сверхидентифицируемо.

 Упражнение. Примените к системам из примера 2 счетное правило.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но не достаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на параметры структурной модели.

 Достаточное условие идентификации: уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях составить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

 Упражнение. Рассмотрим систему

    (8)

Покажите, что согласно счетному правилу для каждого уравнения системы выполняется необходимое условие идентифицируемости, однако для первого и третьего уравнений не выполняются достаточные условия идентифицируемости.

В заключение отметим, что идентификация уравнений достаточно сложна и не ограничивается вышеизложенным.

3. КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Существует несколько методов оценивания структурных коэффициентов. Наибольшее распространение получили косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) и двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

 Косвенный метод наименьших квадратов применяется для оценивания структурных коэффициентов идентифицируемой модели. Он состоит в следующем.

  1.  Структурная модель преобразуется в приведенную.
  2.  Для каждого уравнения приведенной модели ее коэффициенты оцениваются обычным методом наименьших квадратов.
  3.  Коэффициенты приведенной модели трансформируются в коэффициенты структурной модели.

Нижеследующий пример заимствован из книги Елисеева И.И. и др. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2002. (Стр. 195-198.)

Рассмотрим применение КМНК для простейшей идентифицируемой модели с двумя эндогенным и двумя экзогенными переменными:

Пусть для построения модели мы располагаем некоторой информацией по пяти регионам:

Таблица 1

Регион

y1

y2

x1

x2

1

2

5

1

3

2

3

6

2

1

3

4

7

3

2

4

5

8

2

5

5

6

5

4

6

Среднее

4

6,2

2,4

3,4

Приведенная модель имеет вид

     (9)

Для каждого уравнения определим коэффициенты , применяя традиционный МНК. Для упрощения расчетов будем использовать отклонения от средних уровней, т.е. новые переменные  и  Тогда для первого уравнения приведенной модели система нормальных уравнений примет вид

Применительно к нашим данным получим

Находя отсюда коэффициенты , получим, что первое уравнение приведенной модели имеет вид  Проведя аналогичные расчеты для второго уравнения приведенной модели, получим, что  Т.о., приведенная модель имеет вид

   (10)

Для восстановления коэффициентов структурной модели можно использовать разные рассуждения. Одно из них приведено в вышеупомянутой книге И.И. Елисеевой на стр. 197-198. Мы поступим иначе. В уравнениях структурной модели отбросим случайные факторы, перенесем переменные yi в левую часть, выразим переменные yi через xi по правилу Крамера и приравняем найденные буквенные коэффициенты при переменных xi к соответствующим коэффициентам приведенной модели. Получим систему равенств

Поделив третье уравнение на первое, получим, что  Поделив второе уравнение на четвертое, получим что  Из первого уравнения найдем, что  а из четвертого найдем, что . Окончательно, структурная модель имеет вид

4. ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 Двухшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценивания структурных коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Он состоит в следующем.

  •  Составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК.
  •  Выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной модели.
  •  Обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

Нижеследующий пример также заимствован из книги Елисеева И.И. и др. Эконометрика. – М.: Финансы и статистика, 2002. (Стр. 201-203.)

Рассмотрим модель

Ее первое уравнение сверхидентифицируемо, поскольку H = 1 (y1), = 1 (x2) и D+1>H. Второе уравнение идентифицируемо, поскольку H = 2, D = 1 и D+1 = H. Следовательно, модель в целом является сверхидентифицируемой.

Применим к ней ДМНК. При этом в качестве исходных данных для определения параметров будем использовать таблицу 1.

Легко видеть, что изучаемая модель получается из модели пункта 3 благодаря ограничению b12=a11. Очевидно, что ее приведенная форма имеет вид (9). Поскольку используется та же система исходных данных, приведенная модель имеет тот же вид (10).

На основе второго уравнения системы (10) можно найти теоретические значения для эндогенной переменной y2, т.е. . С этой целью в уравнение  подставляем значения x1 и x2 (в нашем примере это отклонения от средних уровней). Оценки для эндогенной переменной y2 приведены в таблице 2, столбец 4.

Таблица 2

Расчетные данные для второго шага ДМНК

x1

x2

y1

y1z

z2

-1,4

-0,4

-2

0,103

-1,297

2,594

1,682

-0,4

-2,4

-1

0,042

-0,358

0,358

0,128

0,6

-1,4

0

-0,035

0,565

0

0,319

-0,4

1,6

1

-,020

-0,380

-0,380

0,144

1,6

2,6

2

-0,130

1,470

2,940

0,161

0

0

0

0

5,512

4,434

После того, как найдены оценки эндогенной переменной y2, обратимся к сверхидентифицируемому структурному уравнению  Заменяя фактические значения y2 их оценкой  найдем значения новой переменной  Далее применим МНК к уравнению y1=b12z. Получим, что  откуда 5,512=b124,434 и b12=1,243. Таки образом, сверхидентифицируемое уравнение примет вид y1=1,243(y2+x1).

Второе структурное уравнение исходной системы не изменилось, поэтому его окончательная форма, полученная при расчете по тем же исходным данным, та же: y2=-0,085y1+0,026x2.

Окончательно, идентифицированная структурная модель имеет вид

В заключение заметим, что ДМНК является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК.

Заключение

Итак, мы рассмотрели ряд понятий, являющихся ключевыми для теории систем линейных одновременных уравнений: структурная модель экономического процесса, приведенная модель, идентификация модели, необходимое условие идентификации, достаточное условие идентификации. Кроме того, мы познакомились с двумя методами идентификации: КМНК, применяемый при работе с идентифицируемыми моделями, и ДМНК, применяемый при работе со сверхидентифицируемыми моделями.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
10314. Системы линейных уравнений 50.64 KB
  Система уравнений называется линейной если все уравнения входящие в систему являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки например: Определение: Пара значений переменных обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными входящих в систему называется решением системы уравнений. При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая: система не имеет решений; система имеет ровно одно решение; система имеет бесконечно много решений.
8653. Решение систем линейных уравнений 91.38 KB
  Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных m=n то система называется квадратной. Решением линейной системы 2.2 называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы а матрица А= называется расширенной матрицей системы Определение.
841. Теоретическая информатика. Решение систем линейных уравнений методом Крамара 90.58 KB
  Информация ее виды и свойства Единицы количества информации: вероятностный и объемный подходы. Теоретическая информатика математическая дисциплина использующая методы математики для построения и изучения моделей обработки передачи и использования информации. Но как правило эти модели наполнены конкретным содержанием связанным со спецификой информации того объекта который нас интересует. В них разрабатываются методы позволяющие использовать достижения логики для анализа процессов переработки информации с помощью...
8663. Дифференциальные уравнения. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения 60.86 KB
  Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения План. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения. Автономные системы дифференциальных уравнений. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
11097. Переходные процессы в линейных цепях 648.44 KB
  самостоятельный анализ переходных процессов в линейных электрических цепях; расчет электрических цепей с одним и двумя энергоемкими элементами классическим и операторным методами; определение переходной и импульсной характеристик линейных цепей;
13638. Программирование линейных вычислительных процессо 11.12 KB
  Во второй программе использовать операторы потокового ввода-вывода cin и cout.Определить разность между значениями y и z. В программе предусмотреть ввод исходных данных. Предварительно вычислить ожидаемые значения y и z с помощью калькулятора. Убедитесь, что значения, вычисленные с помощью калькулятора, совпадают с результатами, которые получаются в результате работы программы.
19450. Численные методы решения нелинейных уравнений 156.56 KB
  Видим что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы значит это трансцендентное уравнение для решения которого не существует формул для отыскания корней. Построим график для того чтобы примерно определить промежутки содержащие корни см. Для этого реализуем метод половинного деления. Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт который будет выводить первые пять корней отмечать их на графике а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.
19491. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 267.96 KB
  Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
6396. Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка 163.25 KB
  Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.