Зарождение основных геометрических понятий. «Начала Евклида»

Известно что Начала Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строго дедуктивного изложения геометрии. после открытия геометрии Лобачевского Бойя а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром и перестройкой основ математического анализа предпринятого Больцано Коши Абелем Гауссом и другими учеными логическое построение Начал Евклида стало подвергаться критике. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений. При дедуктивном построении геометрии как и любой другой науки следует...

2015-01-27

35.49 KB

16 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция № 7

Тема: Зарождение основных геометрических понятий. «Начала Евклида»

  1.  Зарождение основных геометрических понятий.
    1.  Аксиоматическое построение математики в период эллинизма.
    2.  «Начала Евклида».
    3.  Геометрические построения и преобразования.

1.1. ЗАРОЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ.

Известно, что «Начала» Евклида служили на протяжении более 2000 лет образцом строго дедуктивного изложения геометрии. Однако в XIX в. после открытия геометрии Лобачевского - Бойя, а затем геометрии Римана и в связи с пересмотром и перестройкой основ математического анализа, предпринятого Больцано, Коши, Абелем, Гауссом и другими учеными, логическое построение «Начал» Евклида стало подвергаться критике. В системе построения было обнаружено много логических недостатков, часть которых была замечена еще в древности. Это касается в первую очередь основных понятий геометрии и евклидовых определений.

Определение нового понятия состоит в раскрытии его содержания, в перечислении его существенных признаков (свойств) с помощью других ранее определенных понятий, которые в свою очередь были еще ранее определены с помощью других понятий и т. д. В конце концов мы должны дойти до некоторых, обычно самых простых и немногих понятий, которые, являясь исходными, уже логически прямо не определяются, а принимают за основные понятия. Без выделения основных понятий операция логического определения всех других понятий вообще была бы бессмысленной.

Определения, изложенные в «Началах» Евклида, не удовлетворяют требованиям современной науки. Вот некоторые из 23 определений, которыми начинается  1 книга «Начал»:

I. Точка есть то, что не имеет частей (такое атомистическое определение точки, по-видимому, заимствовано Евклидом у предшественников и восходит к Демокриту).

II. Линия есть длина без ширины.

III. Границы линии суть точки.

IV. Прямая есть такая линия, которая одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам.

V. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

VI. Границы поверхности суть линии.

VII. Плоскость есть поверхность, которая одинаково расположена по отношению ко всем прямым, на ней лежащим.

VIII. Плоский угол есть взаимное наклонение двух встречающихся линий, расположенных в одной плоскости.

Такие определения нельзя считать логически корректными. Во-первых, в этих определениях употребляются такие понятия (часть, длина, ширина, граница и др.), которые сами должны быть определены. Во-вторых, идея основных понятий (в современном смысле) у Евклида вообще отсутствует. В-третьих, некоторые его определения туманны и непонятны, например IV и VII. Вообще же определения Евклида являются лишь описаниями геометрических образов, и,   как правило,   для доказательства теорем он ими не пользовался.

При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределяемых понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, т. е. недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же  аксиомами, с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, т. е. доказать все другие предложения, называемые уже теоремами.

1.2.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ В ПЕРИОД ЭЛЛИНИЗМА.

Первые математические теории, абстрагированные из конкретных задач или из совокупностей однотипных задач, создали необходимые и достаточные предпосылки для осознания самостоятельности и своеобразия математики. Это в свою очередь возбудило у античных математиков стремление систематизировать факты математики и логически последовательно изложить ее основы. Подобная работа - необходимый закономерный акт любой науки, служащий отправным пунктом для ее дальнейшего развития. В античной математике процесс систематизации и обобщения дал значительные результаты к IV в. до н. э. Этот процесс по существу являлся частью аналогичного процесса, происходившего во всей системе естественнонаучных знаний и нашедшего яркое выражение в философских взглядах Аристотеля (384-322 гг. до н. э.). Огромное влияние на математику того времени оказали и успехи логики. Сложившиеся основные формы мышления уже были систематизированы и исследованы, были выдвинуты принципы построения дедуктивной науки. Последняя стала рассматриваться как логическая усложняющаяся система, покоящаяся на первых началах- аксиомах. Абстрактность предмета математики и установившиеся приемы математического доказательства были основными причинами того, что математика стала излагаться как дедуктивная наука, представляющая логическую последовательность теорем и задач на построение и использующая минимум исходных положений.

Геометрическая форма системы математики в античной Греции ведет свое происхождение в основном от установления факта большей полноты множества отрезков по сравнению с множеством рациональных чисел. Сочинения, в которых в то время излагались первые системы математики, назывались "Началами". Первые "Начала", о которых дошли до нас сведения, были написаны Гиппократом Хиосским. Встречаются упоминания и о "Началах", принадлежащих другим авторам. Однако все эти сочинения забыты и утеряны практически с тех пор, как появились "Начала" Евклида, Последние получили всеобщее признание как система математических знаний, логическая, строгость которой оставалась непревзойденной в течение свыше двадцати веков. Все это время люди изучали геометрию по Евклиду. Его "Начала" до сих пор лежат в основе, всех систематических школьных курсов геометрии. Научные исследования по математике, в особенности элементарной, в очень большой степени опираются на систему Евклида, иногда подражая даже форме его изложения.,

Об авторе "Начал" Евклиде сохранилось очень мало сведений. Известно, что он жил в Александрии, входившей в то время в состав египетского царства, '"Последнее образовалось в результате распада мировой державы Александра Македонского. Выгодное положение Александрии как торгового центра и центра технических усовершенствований побудило правителей Египта Птолемеев к организации научно-учебного центра - Музейона (что означает прибежище муз). В Музейоне было собрано свыше 500 тысяч рукописей научного характера. Научную работу в Музейоне. на условиях государственного обеспечения постоянно или временно вели почти все крупнейшие ученые эллинистической эпохи, в том числе Евклид, Архимед, Аполлоний, Эратосфен и др. Благоприятное влияние Музейона на развитие науки сохранялось около 700 лет. Оно стало падать в начале нашей эры в результате завоевательных войн римлян, а затем прекратилось, когда под влиянием реакционного христианства "языческие" ученые были изгнаны или убиты, а сам Музейон разорен.

При написании "Начал" Евклид, по-видимому, не руководствовался целью составить энциклопедию математических знаний своего времени. Он, вероятно, стремился

изложить только основы математики в виде логически совершенной математической теории, исходящей из минимума исходных положений. В этом смысле "Начала" являются ранним предшественником современного способа аксиоматического построения математических наук. "Начала" состоят из тринадцати книг, каждая из которых состоит из

последовательности теорем. Иногда к этим книгам добавляют книги 14 и 15, принадлежащие другим авторам и близкие по содержанию к последним книгам Евклида. Первой книге предпосланы определения, аксиомы и постулаты. Определения имеются и в некоторых других книгах (2-7, 10, 11). Аксиом и постулатов в других книгах "Начал" нет. Определения - это предложения, с помощью которых автор вводит математические понятия, поясняя - их. Например, "точка есть то, что не имеет частей", "куб есть телесная фигура, заключающаяся между шестью равными квадратами", и т. п. Эти предложения Евклида в ходе истории много раз подвергались критике, с точки зрения их полноты и логической определенности. Однако равноценной или более совершенной системы определений предложено не было. Дело свелось к тому, что в наше время, при аксиоматическом построении математической теории единственным способом описания объектов этой теории и их свойств является сама система аксиом, а объекты вводятся как первичные неразъясняемые сущности. Что же касается определений. Евклида, то их следует рассматривать как исторически сложившиеся к его времени абстракции реальных вещей, введение которых в математику освящено традицией. Это - не такой уж редкий, если не сказать наиболее часто встречающийся в истории, способ введения математических определений.

Аксиомы, или общие понятия, у Евклида - это предложения, вводящие отношения равенства или неравенства величин. Аксиом в "Началах" пять:

1. Равные одному и тому же, равны и между собой.

2. Если к равным, прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. Если от равных отнять равные, то и остатки будут равны.

4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

5. Целое больше части.

В число исходных положений "Начал" входят постулаты, т. е" утверждения о возможности геометрических построений. С их помощью Евклид обосновывает все геометрические построения и алгоритмические операции. Постулатов тоже пять:

1. Через две точки можно провести прямую.

2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно.

3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность.

4.  Все прямые углы равны между собой.

5.  Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних   односторонних   углов   меньше двух прямых, то прямые пересекутся с той стороны, где это имеет место.

В различных изданиях "Начал", а ранее того переписчиками и комментаторами, система аксиом и постулатов Евклида видоизменялась и дополнялась, причем чаще всего неудачно. Разумеется, критика постепенно вскрывала логические пробелы системы исходных положений Евклида: логическую перегруженность определений, необеспеченность возможности наложения фигур, отсутствие критериев пересечений окружностей и прямых (теорем существования) и другие более мелкие недостатки. Однако первые реальные успехи в создании системы аксиом геометрии, более соответствующей возрастающим требованиям математической строгости, были достигнуты только к концу XIX в. в работах Паша (1882), Пеано (1889) и Пиери (1899). Наиболее распространенная в настоящее время и общепризнанная система аксиом Д. Гильберта в первой редакции появилась в 1899 г. в сочинении "Основания геометрии". Позднее Гильберт внес в свою систему немало дополнений и усовершенствований. В наше время она состоит из следующих пяти групп аксиом:

а)   восемь аксиом соединения или принадлежности;

б)   четыре аксиомы порядка;                                                            

в)   пять аксиом конгруэнтности или движения;                             

г)   аксиома параллельности;

д)   две  аксиомы  непрерывности:  Архимеда  и  линейной  полноты.

Эти пять групп аксиом вводят основные объекты геометрии: точку, прямую и плоскость, и отношения между объектами, выражаемыми словами: принадлежит, между и конгруэнтен. Определений и постулатов система современных основных положений не имеет.

Широко пользуясь идеей изоморфизма, аксиоматическая геометрия отвлекается от качественных особенностей изучаемых объектов и исследует лишь возможные виды логических связей между ними. При этом словами точка, прямая, плоскость могут быть названы объекты, не только непохожие на то, что они обозначали в течение всей истории, но и объекты совсем негеометрической, казалось бы, природы. "Начала" Евклида далеки от такой постановки задач геометрии. В них рассматриваются более низкие, первые, ступени абстракции пространственных и количественных свойств предметов материального мира.

1.3. «НАЧАЛА ЕВКЛИДА».

Перейдем к обзору содержания евклидовых "Начал". Первые шесть книг - планиметрические, из них книги 1-4 содержат ту часть планиметрии, которая не требует применения теории пропорций. Первая книга вводит основные построения, действия над отрезками и углами, свойства треугольников, прямоугольников и параллелограммов, сравнение площадей этих фигур. Завершают первую книгу теорема Пифагора и обратная ей теорема.

Некоторые характерные особенности метода математического суждения и формы

изложения Евклида видны уже из первой книги:

а) Метод рассуждений Евклида всегда синтетический. Для доказательства какой-либо теоремы он исходит из заведомо справедливого утверждения, в конечном счете опирающегося на систему основных положений. Из этого последнего он развивает последовательность следствий, приводящих к искомому утверждению. Обратный путь

рассуждений: приняв искомую теорему за доказанную, вывести из нее последовательность следствий, вплоть до того как будет получено заведомо верное утверждение - в "Началах" в качестве доказательств не употребляется. В противоположность синтезу древние называли этот метод анализом.

б)   Доказательства строятся    по единой схеме,   состоящей из следующих частей:   формулировка  задачи,  или теоремы   (предложение); введение чертежа для формулировки данных задачи  (изложение); формулировка, по чертежу искомого (определение); введение вспомогательных линий (построение); доказательство в собственном смысле - доказательство); объявление того, что доказано и что доказанное решает задачу или адекватно поставленной теореме (заключение). В несколько упрощенной форме эта схема стала традиционной и дошла до наших дней как классический образец математического рассуждения, в известном, смысле обязательный для математиков.

в)   Средства геометрического построения - циркуль и линейка - принципиально не употребляются как средства   измерения. Линейка не имеет мерных делений. Поэтому в "Началах" не идет речь об измерении длин отрезков, площадей фигур и объемов тел, а лишь об их отношениях.

Во второй книге рассматриваются соотношения между площадями прямоугольников и квадратов, подобранные таким образом, что они образуют геометрический аппарат для интерпретации алгебраических тождеств и для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям, т. е. геометрическая: алгебра.

Третья книга трактует свойства круга и окружности, хорд и касательных, центральных и вписанных углов.

Четвертая, книга посвящена свойствам: правильных многоугольников: вписанных и описанных, а также, построению правильных 3-, 4-, 5-, 6- и 15-угольников.

В пятой книге "Начал" развивается общая теория отношений величин, являющаяся прообразом теории действительного числа в форме, соответствующей дедекиндовым сечениям. Упоминалось об этой теории как о теории Евдокса, введенной в античную математику в качестве общей теории, равно пригодной как для чисел, так и для отрезков прямой.

Геометрические приложения теории отношений включены в шестую книгу. В ней, например, доказаны теоремы об отношении площадей прямоугольников и параллелограммов, имеющих общую высоту, о пропорциональности отрезков, отсекаемых на сторонах угла парой параллельных прямых, о подобии фигур и отношении площадей подобных фигур  т. п. Здесь же находится группа теорем об эллиптическом и гиперболическом приложении площадей, обобщенном на параллелограммы.

Следующая группа книг (книги 7-9) содержит некоторый эквивалент теории рациональных чисел. Казалось бы, в этих книгах следовало излагать систему пространственных представлений - стереометрию. Однако непоследовательность только кажущаяся. Дело в том, что в конце "Начал" Евклид исследует правильные многогранники и определяет отношения их ребер к диаметру описанного шара. Эти отношения выражаются, как известно, квадратичными и биквадратичными иррациональностями. Поэтому Евклиду пришлось предварительно рассмотреть построение и классификацию подобных иррациональностей. Чтобы выполнить эту задачу, он опирался на ряд предложений из теории рациональных чисел (соизмеримых отрезков). Рациональные числа в свою очередь, Евклид представляет как отношения целых чисел; последние он понимает как собрание единиц. Поэтому так называемые арифметические книги "Начал" (книга 7-9) содержат учение о целых числах и их отношениях, взятое в основном из пифагорейской математики. Сохранение принципиально различного смысла понятий числа и общей величины послужило причиной повторения в арифметических книгах многих фактов теории чисел, уже полученных в пятой книге "Начал". Первая из арифметических книг - седьмая - начинается с изложения алгоритма попеременного вычитания. Затем следует ряд предложений теории делимости. Наконец, книга содержит теорию пропорций для рациональных чисел. Последняя продолжается в восьмой книге, где рассматриваются непрерывные числовые пропорции, и заканчивается в девятой книге. В этой теории по существу вводятся геометрические целочисленные прогрессии, показывается, что отношение членов непрерывной пропорции является древней формой степеней чисел, находится среднее пропорциональное, дается способ отыскания суммы геометрической прогрессии. Значительную часть девятой книги составляет учение о простых числах, причем доказывается, что простых чисел бесконечно много. Доказательство проводится тем же способом, что и сейчас: предположение конечности числа простых чисел опровергается построением еще одного числа, на единицу превышающего произведение всех простых чисел. В ряде теорем рассматриваются свойства четности и нечетности чисел.

Десятая книга "Начал" интересна в первую очередь громоздкой и сложной классификацией всех 25 возможных видов биквадратичных иррациональностей. В десятой книге в качестве лемм выведены различные, сами по себе важные, предложения. Прежде всего, это основная лемма метода исчерпывания о том, что если от данной величины отнять часть, большую ее половины, с остатком повторить то же и т. д., то при достаточно большом числе шагов можно получить величину, меньшую любой заданной. Кроме того, в десятой книге даны способ нахождения неограниченного числа "пифагоровых троек" целых чисел, критерий соизмеримости двух величин, основанный на алгоритме попеременного вычитания, отыскание общей наибольшей меры двух и трех рациональных чисел (соизмеримых величин) и др.

Последние три книги (11 -13) "Начал" - стереометрические. Первая из них открывается большим числом определений, что вполне естественно, так как в предыдущих книгах вопросы стереометрии не рассматривались. Затем следует ряд теорем о взаимных расположениях прямых и плоскостей в пространстве и теоремы о многогранных углах. Последнюю треть книги составляет рассмотрение отношений объемов параллелепипедов и призм. Исследование объемов других элементарных тел (пирамид, цилиндров, конусов и шаров) требует обязательного выполнения предельного по существу перехода.

В двенадцатой книге "Начал" отношения объемов всех этих тел найдены с помощью метода, получившего впоследствии (в XVII в.) название метода исчерпывания. Идея этого метода, представляющего своеобразную античную форму метода пределов, состоит в следующем: Евклид устанавливает, что подобные правильные

многоугольники, вписанные в круги, относятся как квадраты диаметров. Затем круги "исчерпываются" последовательностями правильных вписанных 2n-угольников (n = 2, 3, 4, ...). Отношения последних при увеличении числа сторон остаются неизменными. После неявного перехода к пределу доказывается методом от противного, что и площади кругов относятся как квадраты их диаметров. Аналогичные суждения предельного характера проводятся во всех случаях отыскания отношений упомянутых выше тел.

Последняя, тринадцатая книга "Начал" содержит построение пяти правильных многогранников: тетраэдра (4-гранника), гексаэдра (6-гранника), октаэдра (8-гранника), додекаэдра (12-гранника), икосаэдра (20-гранника); там же находятся отношения объемов шаров. В заключение доказывается, что других правильных многогранников не существует.

Обзор содержания "Начал" показывает, что это сочинение представляет собой систему основ античной математики. В нее входят: элементарная геометрия, основы теории рациональных чисел, общая теория отношений величин и опирающиеся на нее теория пропорций и теория квадратичных и биквадратичных иррациональностей, элементы алгебры в геометрической форме и метод исчерпывания. Самое характерное в "Началах" то, что дана система, позволяющая видеть в них античного предшественника современного аксиоматического построения математических теорий. В то же время логическая структура "Начал" отражает исторический путь формирования математических теорий от простейших, типа геометрической алгебры, до более сложных: теории отношений, метода исчерпывания, классификации иррациональностей.

Мы уже упоминали, что "Начала" Евклида оставили неизгладимый след в истории математики и в течение многих веков служили классическим образцом математической строгости и последовательности. Однако некоторые особенности "Начал" отражают ряд неблагоприятных для дальнейшего развития математики условий, сложившихся ко времени их написания. Изложение - геометрическое, даже числа представлены как отрезки. Средства геометрического построения по существу ограничены только циркулем и линейкой. Поэтому в "Началах" нет теории конических сечений, алгебраических и трансцендентных кривых. Наконец, в "Началах" совершенно отсутствуют вычислительные методы. Все эти недостатки "Начал" можно было бы до известной степени оправдать специфическими целями составителя. Однако в условиях античности этот первый опыт аксиоматического изложения математики мог иметь столь резко выраженные ограничительные тенденции только под влиянием общих ограничительных тенденций идеалистической философии. Поэтому можно сказать, что "Начала" Евклида отражают как высокий уровень теоретического развития математики, так и неблагоприятную для ее дальнейшего развития общественно-экономическую и идеологическую обстановку конца Греческой античности.

В течение всей многовековой истории математики "Начала" являются фундаментом всех геометрических изысканий. Даже решающее изменение всей системы геометрии, вызванное введением в начале XIX в. в работах Н. И. Лобачевского неевклидовой геометрии, в значительной степени связано с попытками усовершенствования "Начал". "Начала" Евклида до нашего времени составляют основу школьных учебников геометрии, число их изданий огромно. Неоднократно они были изданы в России. Первое издание "Начал" на русском языке появилось в 1739 г. Последнее издание вышло в трех томах в течение 1948-1950 гг. Оно обстоятельно комментировано. Знакомство с "Началами" Евклида полезно всякому математику и в наши дни.

1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

Ещё в глубокой древности человек чертил и рисовал на скалах, камнях, стенах и предметах домашнего обихода изображения вещей, деревьев, животных и людей. Он делал это для удовлетворения своих потребностей, в том числе и эстетических. При этом основное требование к таким изображениям заключалось в том, чтобы изображение вызывало правильное зрительное представление о форме изображаемого предмета.

Римский архитектор Витрувий еще в I в. до н. э. применял три проекции - план, фасад и профиль. Витрувий рассказывает в своем труде «Десять книг об архитектуре» (переведенном на русский язык Д. Савицким в 1757 г.), что еще в V в. до н. э. Агафарх, Демокрит и Анаксагор пользовались элементами перспективы при создании декорации для театра, когда исполнялись «Прикованный Прометей» и другие трагедии великого древнегреческого драматурга Эсхила (525—456 гг. до н. э.).

С ростом практических и технических применений изображений (в строительстве зданий и других гражданских и военных сооружений и т. п.) к ним стали предъявлять и такие требования, чтобы по изображению можно было судить о геометрических свойствах, размерах и взаиморасположении отдельных элементов определенного предмета. О таких требованиях можно судить по многим памятникам древности, уцелевшим до наших дней. Однако строгие геометрически обоснованные правила и методы изображения пространственных фигур (с соблюдением перспективы) стали систематически разрабатывать художники, архитекторы и скульпторы лишь в эпоху Возрождения: Леонардо да Винчи, Дюрер, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и др.

Об изображениях, выполненных методами, близкими к аксонометрии, свидетельствуют русские фрески и иконописная живопись XIVXVI вв. Отсутствием перспективы характеризуются многие русские миниатюры с технической тематикой. На миниатюре начала XV в., изображающей литье колокола в Твери, показано устройство плавильных печей.

Основы математической теории перспективы были впервые разработаны Ж.Дезаргом в 1630 г. В русских чертежах XVIII в. применяются, кроме перспективных и аксонометрических, также ортогональные проекции. Последние, в частности, использовались выдающимися русскими изобретателями И. И. Ползуновым и И. П. Кулибиным.

Растущие запросы архитектуры, техники, промышленности, военного дела и живописи привели к формированию специальной математической ветви — начертательной геометрии, завершенной французским математиком Г. Монжем. Труд последнего «Начертательная геометрия», возникший из решений ряда вопросов фортификации и опубликованный в 1798 г., лег в основу проекционного черчения, которое широко используется в современной технике и науке. В своей книге Монж разработал метод ортогонального проектирования пространственных фигур на две взаимно перпендикулярные плоскости («метод Монжа»), получая двойное изображение оригинала - на горизонтальной и на вертикальной плоскостях. Это дает возможность решить и обратную задачу: восстановление пространственной фигуры или изучение ее геометрических свойств по заданным (горизонтальному и вертикальному) изображениям, а также решение различных задач, касающихся пространственных фигур, с помощью их плоских изображений.

Недостатком метода Монжа является малая его наглядность. Поэтому во многих вопросах, в частности в школе, наиболее употребительным является более наглядный, аксонометрический (измерение по осям) метод, основанный на параллельной проекции.

Наиболее наглядное изображение пространственных фигур на плоскости дает центральная проекция - перспектива, требующая, однако, дополнительных условий для решения обратной задачи, о которой говорилось  ранее. Существуют и другие способы изображения пространственных фигур (проекции с числовыми отметками, федоровские проекции и т. д.).

Первая оригинальная русская книга по начертательной геометрии была опубликована в 1821 г. Я. А. Севастьяновым. Разные прикладные вопросы начертательной геометрии разрабатывались академиком И. И. Сомовым и профессором В. И. Курдюмовым. Значительный научный вклад в развитие начертательной геометрии внес крупный русский кристаллограф и геометр Е. С. Федоров (1853-1919). Своими трудами («Начала учения о фигурах», «Новая геометрия как основа черчения» и др.) он способствовал не только развитию теории групп, но и заложению основ многомерной начертательной геометрии. Со второй половины прошлого столетия на развитие начертательной геометрии стала оказывать значительное влияние проективная геометрия. Понятия проективной геометрии для построения начертательной широко использовали А. К. Власов, Н. А. Рынин и другие советские математики.

В XIX в. наряду с синтетической развивалась и аналитическая проективная геометрия, виднейшими представителями которой были немецкие математики Август Фердинанд Мёбиус (1790—1868) и Юлиус Плюккер (1801—1868), французский геометр Мишель Шаль (1793—1880) и др. Мёбиус впервые ввел в проективную геометрию систему координат. Его важнейшее произведение, опубликованное в 1827 г., озаглавлено «Барицентрическое исчисление»; название это связано с введением автором барицентрических (барицентр — центр тяжести) координат точек. Если в трех неколлинеарных точках А, В, С помещены массы m1 , m2 , m3 ,то соответствующий центр тяжести М имеет массу , и обратно; числа m1 , m2 , m3  и названы барицентрическими координатами точки М. Увеличивая (уменьшая) массу т точки М в п раз, ее координаты m1 , m2 , m3 также увеличиваются (уменьшаются) в п раз. Поэтому для определения положения точки М на плоскости достаточно знать отношение m1 : m2 : m3. Аналогично рассматриваются такие координаты и в пространстве. Барицентрические координаты являются частным случаем общих однородных координат, введенных Плюккером и с успехом применяемых тогда, когда речь идет о несоответственных элементах прямой, плоскости или пространства.

Мёбиус установил общее понятие проективного преобразования, рассматривая коллинеации. Под коллинеарными преобразованиями, или коллинеациями, понимают общие взаимно однозначные соответствия, установленные между элементами (точками и прямыми) двух плоскостей в пространстве (в частности, совпадающих плоскостей), при которых каждой точке (прямой) одной плоскости соответствует точка (прямая) другой и сохраняется инцидентность соответствующих элементов. Оказывается, что коллинеации обладают проективными свойствами, т. е. проективны соответственные формы первой ступени (ряды, пучки) двух плоскостей, между которыми установлена коллинеация.

Одновременно развивалась аффинная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, инвариантных при любых аффинных преобразованиях, т. е. таких, которые, переводя точку в точку и прямую впрямую, сохраняют при этом простое отношение, трех точек прямой. Сохранение коллинеарности и простого отношения трех точек прямой влечет за собой и ряд других инвариантов аффинных преобразований, в том числе параллелизм прямых, отношение двух параллельных отрезков, отношение площадей двух фигур и т. п.  Известными из средней школы частными случаями аффинных преобразований являются осевая и центральная симметрия, гомотетия, параллельный перенос и др. Отдельные аффинные преобразования встречаются еще в древности (у Аполлония, Паппа).

В связи с развитием перспективы некоторые математики XVIXVII вв. -     С. Стевин, Г. Санкт-Винцент и особенно французский математик П. Никола - применяли в своих работах преобразование, переводящее окружность в эллипс и называемое сжатием. В своих «Геометрических исследованиях конхоид и циссоид» Никола говорит о том, что эллипс является однородной фигурой с окружностью.

В своей «Всеобщей арифметике» (1707) Ньютон пользуется преобразованием подобия. В другом (единственном, специально посвященном геометрии) произведении И. Ньютона - «Перечисление линий третьего порядка» (1704) имеется раздел, озаглавленный «Образование кривых с помощью теней», в котором автор пишет: «Если на бесконечную плоскость отбрасывать от светящейся точки тени фигур, то тенями конических сечений будут всегда тоже конические сечения...» Под «отбрасыванием тени» Ньютон понимал то, что мы теперь выражаем термином «центральное проектирование» («проекция» и происходит от латинского слова projicio - бросаю вперед). Ньютон рассматривает некоторые частные случаи проективных преобразований и называет фигуры (данную и преобразованную из нее) фигурами одного и того же рода. В 22-й лемме своих знаменитых «Математических начал натуральной философии» (1686) Ньютон рассматривает проективные преобразования как отображения плоских фигур. Вообще, ньютоновское понятие пространства в целом как вместилища тел (и точек) послужило первым этапом на пути к формированию современного понятия геометрического преобразования плоскости и пространства.

В 18-й главе 2-го тома «Введения в анализ» Эйлера речь идет о преобразованиях подобия и родства. Здесь Эйлер вводит термин «аффинный» (лат. affinis), буквально означающий «находящийся в свойстве» - родстве по жене; Этим термином Эйлер, который вводит аффинное преобразование как обобщение подобного преобразования, желал подчеркнуть, что степень родства между аффинными фигурами меньше, чем та, которая имеется в случае подобных, фигур. Частным случаем подобия Эйлер считает подобие и равенство, т. е. конгруэнтность. В другой своей работе - «О центре подобия» (1795) Эйлер ввел понятие центра подобия двух подобных фигур и доказал ряд основных теорем о подобии; он также рассматривал случай гомотетичного расположения фигур и подобные тела в пространстве.

До Эйлера понятием (но не термином) аффинного преобразования и частного случая этого преобразования - сдвига - пользовался французский математик А. К. Клеро в написанной им в 18-летнем возрасте работе «О кривых, которые образуются пересечением какой-либо кривой поверхности плоскостью, известной по положению» (1733). Аффинные кривые Клеро называл «кривыми того же вида». Этот термин Клеро, как и вышеупомянутый термин Ньютона «кривые того же рода», берет свое начало от Аристотеля, согласно которому логическое определение должно содержать ближайшее родовое понятие и видовое отличие. Уже одни эти термины Ньютона и Клеро в известной мере предвосхитили идею о том, что множество аффинных преобразований - это частный случай множества проективных преобразований. У Эйлера подобие выступает как частный случай аффинного преобразования, а конгруэнтность - как частный случай подобия. Таким образом, в XVIII в. трудами Ньютона, Клеро и особенно работами Эйлера был в большой мере подготовлен расцвет учения о геометрических преобразованиях, наступивший в следующем, XIX столетии,

В прошлом веке много внимания было уделено конформным преобразованиям. Как и подобие, инверсия (от латинского слова inversio - обращение) относительно окружности является одним из видов конформного (от латинского слова conformis - одной и той же формы) преобразования, сохраняющего углы между линиями. В работе «Соображения об ортогональных траекториях» (1769) Л. Эйлер положил начало теории общих конформных отображений (применив их затем в картографических работах), рассматривая конформные преобразования на плоскости. Последние Эйлер определяет как преобразования плоскости комплексного переменного с помощью аналитических функций этого переменного. Конформные преобразования пространства впервые рассматривал в середине XIX в, Ж - Лиувилль, доказавший следующую теорему, носящую его имя: конформные преобразования пространства переводят сферы в сферы или плоскости. Теория конформных преобразований тесно связана с учением о комплексных числах, с теорией аналитических функций. Конформные отображения издавна находят применение в картографии1, а в наш век - в аэро- и гидромеханике, в электростатике и других областях физики и механики.

Известно, что инверсия относительно окружности является круговым преобразованием, переводящим окружности в окружности или прямые. Учение о круговых преобразованиях на плоскости было впервые построено Мёбиусом в его «Теории кругового сродства в чисто геометрическом изложении» (1855). Именно от работ Лиувилля и Мёбиуса (1790 -1868) берет свое начало так называемая конформная геометрия, изучающая свойства фигур, инвариантные при любых конформных преобразованиях.

Мёбиус занимался также аффинными преобразованиями в своем «Барицентрическом исчислении» (1827). Развитию аффинной геометрии в большой мере способствовала работа Г. Грассмана «Учение о протяженности», опубликованная в 1844 г.

К 70-м годам XIX в. уже было накоплено много сведений относительно разных геометрических преобразований. Актуальной стала задача их классификации и общей систематизации. Эту задачу выполнил немецкий математик Феликс Клейн в работе «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований», известной как «Эрлангенская программа» и названной так в честь Эрлангенского университета, где при вступлении в должность профессора этого университета в 1872 г. Клейн впервые изложил содержание этой работы, Еще раньше появился первый систематический труд по теории групп (и теории Галуа), написанный французским математиком Камилом Жорданом (1838 - 1922). Именно понятие группы было положено Клейном в основу классификации геометрических преобразований и соответствующих ветвей геометрии.

С помощью этого понятия Клейн как бы наводит порядок в геометрии. Нетрудно убедиться в том, что группу образует множество всех коллинеаций (т. е. проективных преобразований); это так называемая проективная группа, часто обозначаемая {К}; группу образует также множество всех аффинных преобразований - аффинная группа {А}; множество всех преобразований подобия, называемых  метрическими   преобразованиями,   образует  метрическую группу {М}; группу движений {} образует множество всех геометрических преобразований, названных движениями (симметрия, поворот, перенос). Здесь группы перечислены нами в таком порядке, что каждая последующая группа является, как показали Кэли (1821—1895) и Клейн, подгруппой предыдущей, т. е.

 (1)

       Это и есть групповая классификация Клейна, основные идеи которого сводятся к следующему.

Геометрия есть учение о преобразованиях, образующих группы. Каждую геометрию можно охарактеризовать соответствующей ей группой, предмет же ее состоит в изучении свойств геометрических фигур, инвариантных относительно данной группы преобразований. Так, например, метрическая геометрия изучает свойства фигур, инвариантных при всех преобразованиях группы подобия {М}, названной Клейном также главной группой.

Вышеуказанная классификация (1) позволяет считать как аффинную, так и метрическую геометрию как частные случаи проективной геометрии.

Таким образом, ясно вырисовываются основные черты исторического развития проективной геометрии: появившись еще в древности из недр классической метрической геометрии как незначительная ее часть, она развивается в XVII в. благодаря трудам Дезарга и Паскаля и становится затем в XIX в. автономной ветвью геометрии, независимой от метрической геометрии, чему способствовали исследования Понселе, Штейнера и Штаудта. Труды же Кэли и Клейна выявили, что в действительности метрическая геометрия является лишь частью более широкой проективной геометрии. Частью проективной геометрии оказалась не только евклидова, но и неевклидова геометрия Лобачевского и Римана.

PAGE   \* MERGEFORMAT 1



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
10116. Формирование основных экологических представлений и понятий у учащихся начальных классов при изучении курса «Окружающий мир» 37.44 KB
  На данный момент времени можно сказать без преувеличений что большинство людей на планете не имеют абсолютно никаких знаний и навыков о состоянии окружающей среды. Уничтожая собственную среду обитания люди тем самым заставляют себя задумываться над тем как же в дальнейшем будут существовать их предки и что же останется от природы после деятельности современного человека. Чтобы ответить на эти вопросы требуется экологическая грамотность всего населения. Можно предположить что уничтожение среды обитания зашло столь далеко и так хорошо...
20256. Виды понятий. Логическая характеристика понятий 80.71 KB
  Выделяющие и исключающие суждения. Сложные суждения. В процессе рассуждения общие понятия могут употребляться в разделительном и собирательном смысле. Таким образом логическая характеристика понятий помогает уточнить их содержание и объем что дает возможность более точного употребления данных понятий в процессе рассуждения.
19494. Разработка и реализация программного модуля для трехмерной и двухмерной визуализации геометрических сборок для ПК BRAND 3.22 MB
  Изначально комплекс предназначался для моделирования методом Монте-Карло исключительно нейтронно-физических экспериментов но удачно выбранная структура разбиения на модули позволила очень быстро распространить BRND на задачи расчета защиты от излучений реакторные задачи задачи радиационной медицины и другие охватив моделирование совместного переноса нейтронов фотонов и заряженных частиц. Для программного комплекса был разработан собственный язык построения сложных геометрических объектов с помощью которого с высокой степенью детализации...
9394. Свойства движения общего вида. Основная теорема движений. Равенство геометрических фигур 169.65 KB
  Нам достаточно проверить, что произведение любых двух движений является движением, и обратное преобразование к движению также представляет собой движение плоскости. Рассмотрим два произвольных движения g и h. Тогда для любых двух точек A и B плоскости справедливы соотношения
13173. Анализ этапов развития электротехники конца XIX – начала XX веков 54.58 KB
  Прежде это говорит о том что движущая сила развития техники – производство необходимых обществу материальных благ. Прежде всего под актуальностью данного исследования стоит выделить то что в современной жизни наблюдается всё большая востребованность в устройствах работающих на электроэнергии вопервых это экономично вовторых безопасно для природы экологично в третьих удобно для использования. Электротехника это та наука что позволила воплотить в жизнь все эти устройства. от зарождения до становления самостоятельной наукой...
18093. Использование дидактических игр, как средства развития творческого начала младших школьников 639.42 KB
  Игра в тех формах в каких она существовала в дошкольном детстве в младшем школьном возрасте начинает утрачивать свое развивающее значение и постепенно заменяется учением и трудовой деятельностью суть которых состоит в том что данные виды деятельности в отличие от игры доставляющие просто удовольствие имеют определенную цель. Вопрос о природе и сущности игры волновал и до сих пор продолжает привлекать внимание многих исследователей таких как: Гальперин П. Среди этих подходов можно выделить объяснение природы сущности детской игры как...
15647. Мемуарное наследие государственных деятелей России начала XX в. как исторический источник 95.46 KB
  Либеральные ученые считали установление в России дуалистической монархии закономерным результатом долгого национально-освободительного движения считая что в России должен быть установлен парламентарный строй. анализируя политические программы либеральных партий отмечали что требования Учредительного собрания Государственной думы демократических реформ использовались лишь для обмана народа предотвращения всеобщей стачки и выхода из революционного кризиса мирным путем. Между тем некоторые исследователи склонялись к мысли что этот...
4789. Характер взаимоотношений России и Ногайской Орды в конце XV – начала XVI века 54.16 KB
  Первый этап в изучении взаимоотношений Ногайской Орды Русского государства прежде всего заключался в накоплении материала. Последующим этапом в изучении отношений Ногайской Орды с российским государством можно считать процесс анализа данных полученных из источников.
7982. Зарождение и развитие тригонометрии 2.27 MB
  Зарождение и развитие тригонометрии. Вклад Эйлера в развитие тригонометрии. Последователи Эйлера в развитии тригонометрии.
3054. Зарождение политического радикализма. А.Н.Радищев 32.4 KB
  Между тем сочинения Радищева разнообразны и помимо Путешествия из Петербурга в Москву включают поэзию во многом новаторскую философский трактат О человеке о его смертности и бессмертии юридические сочинения. Радищева получила название концепции восходящее циклического развития общества. Радищева. Имя Радищева окружено ореолом мученичества но кроме этого для последующих поколений русской интеллигенции Радищев стал неким знаменем как яркий и радикальный гуманист как горячий сторонник примата социальной проблемы.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.