Предмет и метод истории математики

Все отрасли математики, какими бы разными они ни казались, объединены общностью предмета. Этим предметом являются, по определению Ф. Энгельса, количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Различные математические науки имеют дело с частными, отдельными видами этих количественных отношений и пространственных форм или же выделяются своеобразием своих методов.

2015-01-27

16.24 KB

7 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


ЛЕКЦИЯ № 1

Тема: Предмет и метод истории математики

1.1. Специфика математики как науки. Природа математики.

1.2. Движущие силы развития математики.

1.3. Основные периоды развития математики.

1.4. Возникновение математических понятий в период первобытнообщественного строя.

1.5. Возникновение практической математики (страны Востока).

1.1. СПЕЦИФИКА МАТЕМАТИКИ КАК НАУКИ. ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ

Все отрасли математики, какими бы разными они ни казались, объединены общностью предмета. Этим предметом являются, по определению Ф. Энгельса, количественные отношения и пространственные формы действительного мира. Различные математические науки имеют дело с частными, отдельными видами этих количественных отношений и пространственных форм или же выделяются своеобразием своих методов.

Состав математики, как и всякой другой науки, включает в себя:

а) факты, накопленные в ходе ее развития;

б) гипотезы, т. е. основанные на фактах научные предположения, подвергающиеся в дальнейшем проверке опытом;

в) результаты обобщения фактического материала, выраженные в математических, в данном случае, теориях и законах;

г) методология математики, т. е. общетеоретические истолкования математических законов и теорий, характеризующие общий подход к изучению предмета математики. Все эти элементы взаимосвязаны и постоянно находятся в развитии. Выяснение того, как происходит это развитие в изучаемый исторический период и куда оно ведет, и является предметом истории математики, одной из математических дисциплин. История математики есть наука об объективных законах развития математики. В соответствии с этим на историю математики возлагается решение большого круга задач.

Дадим суммарные характеристики направлений историко-математических исследований.

Во-первых, в работах историко-математического характера воссоздается богатство

фактического содержания исторического развития математики. В них освещается, как возникли математические методы, понятия и идеи, как исторически складывались отдельные математические теории. Выясняются характер и особенности развития математики у отдельных народов в определенные исторические периоды, вклад, внесенный в математику великими учеными прошлого.

Во-вторых, историко-математические работы раскрывают многообразные связи математики. Среди них: связи математики с практическими потребностями и деятельностью людей, с развитием других наук, влияние экономической и социальной структуры общества и классовой борьбы (особенно в области идеологии) на содержание и характер развития математики, роль народа, личности ученых и коллективов ученых и т. п.

В-третьих, историко-математические исследования вскрывают историческую обусловленность логической структуры современной математики, диалектику ее развития, помогают правильно понять соотношение частей математики и до известной степени ее перспективы.

В ходе развития математики рассматриваются все более абстрактные объекты, входящие в класс количественных отношений и пространственных форм. В современных математических теориях эти формы и отношения часто предстают в весьма отвлеченном виде. В них говорится о множествах элементов, свойства которых и правила оперирования с которыми задаются с помощью системы аксиом.

Абстрактность предмета математики иногда воспринимается как исходный, самодовлеющий элемент в ее содержании. В таких случаях элементы исследуемых множеств представляются принципиально отделенными от вещей действительного мира, а системы аксиом; определений и операций оказываются вводимыми по произволу.

I

1.2. ДВИЖУЩИЕ СИЛЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ.

Математика - одна из самых древних наук. Математические познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии развития под влиянием даже самой несовершенной трудовой деятельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и разрасталась совокупность факторов, влияющих на развитие математики.

Со времени возникновения математики как особой науки со своим собственным предметом наибольшее влияние на формирование новых понятий и методов математики оказывало математическое естествознание. Под математическим естествознанием мы понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной ступени развития оказывается возможным приложение, математических методов. На прогресс математики ранее других наук оказали влияние астрономия, механика, физика. Непосредственное воздействие задач математического естествознания на развитие математики можно проследить на протяжении всей ее истории. Так, например, дифференциальное и интегральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским академиком П. Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими геодезическими работами, проводившимися под руководством К. Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственным влиянием запросов новых областей техники получают бурное развитие многие области математики: комбинаторный анализ, методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, теория конечных групп и т. д. Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно в отношении любой области математики. Все они показывают, что математика возникла из трудовой деятельности людей и формулировала новые понятия и методы в основном под влиянием математического естествознания.

Выход математики в естествознание происходит в результате приложения существующих математических теорий к практическим проблемам и разработки новых методов их решения. Вопрос о приложимости к практике той или иной математической теории не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его решения проходят зачастую годы и десятилетия.

В свою, очередь практика, и в частности техника, входит в математику как незаменимое вспомогательное средство научного исследования, во многом: меняющее лицо математики. Электронные вычислительные устройства открыли неограниченные возможности для расширения класса задач, решаемых средствами математики и изменили соотношение между методами нахождения точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспомогательный характер. Никакая, даже самая совершенная вычислительная электронная машина не может приобрести всех свойств мыслящей материи - человеческого мозга, и существенно заменить его.

трудящихся.

1.3. ОСНОВНЫЕ ПЕРИОДЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

В истории математики можно различить отдельные периоды, отличающиеся друг от друга рядом характерных особенностей. Периодизация необходима, чтобы легче было разобраться во всем богатстве фактов исторического развития математики. Существует много попыток периодизации истории математики. Периодизация проводится по странам, по социально-экономическим формациям, по выдающимся открытиям, определившим на известное время характер развития математики, и т. п. Мы придерживаемся периодизации, установленной А. Н. Колмогоровым. Эта периодизация представляется наиболее точной потому, что в ее основу положена оценка содержания математики: ее важнейших методов, идей и результатов. В истории математики А. Н. Колмогоров различает следующие периоды:

а) З а р о ж д е н и е   м а т е м а т и к и. Этот период продолжается до VI-V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика становится самостоятельной наукой, имеющей собственный предмет и методы., Начало периода теряется в глубине истории первобытного человечества, Характерным, для этого периода является накопление фактического материала математики в рамках общей неразделенной науки.

б) П е р и о д   э л е м е н т а р н о й   м а т е м а т и к и. Продолжается от VI-V вв. до н. э. до XVI в. н. э. включительно. В этот период были достигнуты успехи в изучении постоянных величин. Некоторое представление об этих достижениях может дать математика, изучаемая ныне в средней школе. Период заканчивается, когда главным объектом задач математики делаются процессы, движения и начинают развиваться аналитическая геометрия и анализ бесконечно малых. Понятие элементарной математики спорно, и в настоящее время не существует его общепризнанного определения, однако выделение во времени такого периода представляется вполне оправданным.

в) П е р и о д   с о з д а н и я    м а т е м а т и к и   п е р е м. е н н ы х   в е л и ч и н. Начало этого периода знаменуется введением переменных величин в аналитической геометрии Декарта и созданием дифференциального и интегрального исчисления в трудах И.Ньютона и Г.В. Лейбница. Конец периода, относится к середине XIX в., когда в математике произошли те  изменения, которые привели к современному ее состоянию.

г) П е р и о д   с о в р е м е н н о й   м. а т е м а т и к и. Понятие современности в математике, очевидно, постоянно смещается. Вероятно, между периодом создания математики переменных величин и современностью уже можно выделить новый период. В XIX и XX вв. объем пространственных форм и количественных отношений, охватываемых методами математики, чрезвычайно расширился. Появилось много новых математических теорий, невиданно расширились приложения математики. Содержание предмета математики настолько обогатилось, что это привело к перестройке и замене совокупности ее важнейших проблем. Наряду с другими первостепенными проблемами необычайное значение приобрели проблемы оснований математики. Под основаниями математики понимается система исторических, логических и философских проблем и теорий математики. В частности, речь идет о критическом пересмотре системы аксиом математики и совокупности логических приемов математических доказательств. Критический пересмотр имеет целью построение строгой системы оснований математики, соответствующей накопленному передовому опыту человеческой мысли.

1.4. ВОЗНИКНОВЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ В ПЕРИОД ПЕРВОБЫТНООБЩЕСТВЕННОГО СТРОЯ

Процесс формирования математических понятий и регулярных приемов решения определенных классов элементарных задач охватывает огромный промежуток времени. Его начало, по всей вероятности, относится к далекому времени, когда человек перешел к использованию орудий для добывания средств существования, а затем и к обмену продуктов труда. Завершается этот период с появлением качественно новых форм математического мышления, т. е. тогда, когда совокупность этих понятий и методов и их содержание делаются достаточно богатыми, чтобы образовать логически связанные системы - начальные формы математических теорий. Последние возникают в математике около VI-V вв. до н. э.

Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при всем своеобразии путей развития общим для всех народов является то, что все основные понятия математики: понятие числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающегося натурального ряда и т. д. - возникли из практики и прошли длинный путь совершенствования,

Например, понятие числа возникло вследствие практической необходимости пересчета предметов. Вначале считали с помощью подручных средств: пальцев, камней, еловых шишек и т.д. Следы этого сохранились в названии математических исчислений: например, calculus в переводе с латинского означает счет камешками. Запас чисел на ранних ступенях весьма ограничен. Ряд известных и используемых натуральных чисел был конечен-и удлинялся лишь постепенно. Сознание неограниченной продолжимости натурального ряда является признаком высокого уровня знаний и культуры. Наряду с употреблением все больших и больших чисел возникали и развивались их символы, а сами числа образовывали системы. Для ранних периодов истории материальной культуры характерно разнообразие числовых систем. Постепенно совершенствовались и унифицировались системы счисления. Употребляемая ныне во всех странах десятичная позиционная система нумерации - итог длительного исторического развития. Ей предшествовали:

1. Различные иероглифические непозиционные.системы. В каждой из них строится система так называемых узловых чисел (чаще всего 1, 10, 100, 1000,...). Каждое такое число имеет индивидуальный символ - иероглиф. Остальные числа (их называют алгоритмическими) образуются приписыванием с той или другой стороны узлового числа других узловых, чисел и повторением их. Примерами таких систем являются египетская, финикийская, пальмирская, критская, сирийская, аттическая (или Геродианова), старокитайская, староиндусская (карошти), ацтекская, римская. Последняя имеет систему узловых чисел: I, V, X, L, С, D, М, построенную по десятичному признаку с заметным влиянием пятиричной системы.

2. Алфавитные системы счисления. В этих системах буквы алфавита, взятые по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков, сотен. Каждой букве при этом дается отличительный знак, указывающий, что она используется как число. В случае, если букв алфавита недостаточно, привлекаются дополнительные буквы и знаки. Типичный пример алфавитной системы - греческая ионическая.

Алфавитные системы удобнее из-за краткости записи, однако они малопригодны для оперирования с большими числами и требуют больших усилий для запоминания. Примерами алфавитной системы являются также древнеславянская (кириллица и глаголица), еврейская, арабская, грузинская, армянская и др.

3. Позиционные недесятичные, а затем десятичная система. К позиционным недесятичным системам относятся вавилонская, индейская (племени майя на полуострове Юкатан), индийская, современная двоичная.Записи в позиционной десятичной системе с нулем впервые появились около 500 г. до н. э. в Индии.

1.5 ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ (СТРАНЫ ВОСТОКА).

МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ЕГИПТА

Наши познания. о древнеегипетской математике основаны главным образом на двух больших папирусах математического характера и на нескольких небольших, отрывках. Один из больших папирусов называется математическим папирусом Ринда (по имени обнаружившего его ученого) и находится в Лондоне. Он приблизительно 5,5м. длины и 0,32м. ширины. Другой большой папирус, почти такой же длины и 8см. в ширину, находится в .Москве. Содержащиеся в них математические сведения относятся примерно к 2000 г. до н. э.

Папирус Ринда представляет собой собрание 84 задач прикладного характера. При решении этих задач производятся. действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объемы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

В московском папирусе собраны решения 25 задач. Большинство их такого же типа, как и в папирусе Ринда, Кроме того, в одной из задач (№ 14) правильно вычисляется объем усеченной пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче (№ 10) содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т. е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

При изучении содержания математических папирусов обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

Ко времени написания этих документов уже сложилась определенная система счисления: десятичная иероглифическая. Для узловых чисел вида  () установлены индивидуальные иероглифы. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями, в которых употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат, опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы В силу этого представления употреблялись лишь дроби аликвотные  (вида ) и некоторые индивидуальные, как, например,  и . Все результаты, которые должны были выражаться дробями вида , выражались суммой аликвотных дробей.

Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют утверждать, что за 20 веков до нашей эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти элементы еще только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений еще примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы вообще судить о развитии математики в Египте, еще недостаточно. Мы использовали их поэтому лишь как один из примеров того, в какое время и в какой форме начинает складываться математическая наука.

МАТЕМАТИКА ДРЕВНЕГО ВАВИЛОНА

Другим примером того же рода может, служить математическое наследие древнего

Вавилона. Это название обычно распространяется на совокупность государств, располагавшихся в междуречье Тигра и Евфрата и существовавших в период от 2000 до 200 г. до н. э. До нас дошло около ста тысяч глиняных табличек с клинописными записями. Однако табличек с текстами математического содержания известно только около 50, а математических таблиц без текста - около 200.

Вавилонская система математических символов имеет два основных элемента: «клин» ▼ с числовым значение 1 и «крючок» ◄ с числовым значением 10. Повторением этих знаков можно записать числа от 1 до 59. Таким образом, система счисления оказывается позиционной 60-ричной. Эта система не имеет нуля. Различать числа, написанные в такой системе (она называется неабсолютной), можно лишь исходя из условий задачи.

Содержание табличек показывает, что на основе этой системы были созданы многие единообразные правила арифметических действий как с целыми числами, так и с

дробями. Для облегчения действий существовали таблицы умножения (от 1*1 до 60*60). При перемножении больших чисел с помощью таблицы умножения находились частичные произведения, которые затем складывались. Деление производилось с помощью таблиц обратных значений.

Вавилоняне использовали: таблицу квадратов целых чисел, их кубов, обращенные таблицы (таблицы квадратных корней) и т.д. В ряде вавилонских текстов содержится исчисление процентов за долги, пропорциональное деление. Имеется также ряд текстов, посвященных решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям 1-й, 2-й и даже 3-й степени.

Геометрические знания вавилонян, по-видимому, превышали египетские, так как в текстах помимо общих типов задач встречаются начатки измерения углов и тригонометрических соотношений.

Внимание ряда исследователей привлекает высокая алгоритмичность, проявлявшаяся в математических текстах древнего Вавилона. Это дало повод к высказыванию предположений, что в те времена культивировались общие методы, отвлеченные от конкретных задач и представляющие своеобразную алгебру (Нейгебауер, Фогель). Однако существуют и более осторожные оценки математических достижений вавилонян.

Итак, к. середине первого тысячелетия до н. э. в ряде стран Средиземноморского бассейна сложились такие условия, чтобы математика могла быть осмыслена как самостоятельная наука, чтобы были выделены как самостоятельный объект человеческой мысли ее основные понятия и предложения, чтобы форма этого выделения оказалась достаточно общей и абстрактной для введения логических доказательств. Эта следующая фаза развития математики с наибольшей силой определилась в античной Греции к VI-V вв. до н.э.

Приведенные примеры показывают, как в разных странах происходил процесс накопления большого конкретного математического материала в виде приемов арифметических действий, способов определения площадей и объемов, методы решения некоторых классов задач, вспомогательных таблиц и т. п. Примерно такой же процесс накопления математических знаний происходил в Китае и в Индии.

PAGE  1



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
11279. Проблемно – визуалистический метод в преподавании истории и обществознания в 5-6-х классах 116.87 KB
  Проблемно визуалистический метод в преподавании истории и обществознания в 56х классах Технология проблемного обучения основанная на теоретических положениях американского психолога и педагога Джона Дьюи 18591952 получила широкое распространение в зарубежной и отечественной школе начиная с 2030х годов. В последнее время возникла система методов обучения в которой создание проблемных ситуаций учителем и решение проблем учащимися стали главным условием развития их мышления. Цель...
10379. Предмет і метод бухгалтерського обліку 15.76 KB
  Предмет і метод бухгалтерського обліку Явища операції ситуації події які відбуваються в господарському житті підприємства – а предмет бухгалтерського обліку б метод бухгалтерського обліку в господарські засоби г джерела господарських засобів Двостороння таблиця призначена для відображення типових господарських операцій – це рахунок подвійний запис баланс звітність Спосіб відображення господарської операції на рахунках обліку при якому суму однієї господарської операції записують двічі: один раз в дебет одного рахунку а...
2229. Предмет, метод и задачи статистики 24.01 KB
  Основные задачи статистики в условиях рыночной экономики. Организация государственной статистики в Российской Федерации. Роль статистики была значительна на разных этапах развития государств но особенно заметно она возросла в XX в.
1988. Предмет и метод институциональной теории 39.44 KB
  Этические нормы выступают как внутренние убеждения человека. Хотя нет сомнения в том, что эти нормы привиты человеку его общественным воспитанием, принуждение к исполнению этих норм осуществляется на основе внутреннего побуждения, невозможности поступить иначе, не потеряв самоидентичности.
3852. Предмет и метод таможенного права 6 KB
  Предмет и метод ТП Таможенное право таможенного союза это комплексная отрасль права представляющая собой систему правовых норм различной отраслевой принадлежности которые устанавливаются государствамичленами таможенного союза и предназначены для регулирования отношений связанных с перемещением товаров через таможенную границу таможенного союза их перевозкой по единой таможенной территории таможенного союза под таможенным контролем временным хранением таможенным декларированием выпуском и использованием в соответствии с таможенными...
7035. Экономическая теория: предмет, метод, функции 26.65 KB
  Предмет экономической теории. Функции экономической науки. Предмет экономической теории. Несмотря на неадекватное отражение теоретические модели полезны с позиций описания общей экономической картины выявления главных факторов получения приближенных представлений ориентиров.
5918. Предмет и метод теории государства и права 39.15 KB
  Предмет и метод теории государства и права Если проанализировать учебную литературу по теории права и государства которая должна отражать программные требования к изучению данной науки то просматривается некий односторонний подход т. отделение теории права от теории государства. Теория права. Теория права.
6350. Понятие, предмет и метод гражданского права 25.17 KB
  Понятие предмет и метод гражданского права Понятие гражданского права и предмет гражданского права. Функции и принципы гражданского права. Система гражданского права и соотношение гражданского права с другими отраслями права. Выражение особенностей предмета советского гражданского права в методе гражданскоправового регулирования.
8585. Предмет, метод та джерела господарського процесу 35.39 KB
  Полягає у вивченні предмета методів та джерел господарського процесу досудового врегулювання господарських спорів правового статусу учасників господарського процесу підвідомчості і підсудності справ господарським судам судових витрат процесуальних строків доказів і доказування у господарському процесі питань щодо позову у господарському процесі вирішення господарських спорів у першій...
6325. Понятие, предмет, метод, источники Гражданского права 24.39 KB
  От гражданского права как системы правовых норм следует отличать понятие гражданского законодательства. Гражданское законодательство – это совокупность законов и иных нормативных актов содержащих нормы гражданского права. Предмет гражданского права – это те общественные отношения которые регулируются нормами гражданского права а именно имущественные и связанные с ними личные неимущественные отношения характеризующиеся равенством автономией воли и имущественной самостоятельностью участников этих отношений.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.