Системы линейных уравнений

Система уравнений называется линейной если все уравнения входящие в систему являются линейными. Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки например: Определение: Пара значений переменных обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными входящих в систему называется решением системы уравнений. При решении системы линейных уравнений возможны следующие три случая: система не имеет решений; система имеет ровно одно решение; система имеет бесконечно много решений.

2015-05-02

50.64 KB

0 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Системы линейных уравнений.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными.  Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, например:

 

Определение: Пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение с двумя переменными, входящих в систему, называется решением системы уравнений.

Решить систему - значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

При решении  системы линейных уравнений возможны следующие три случая:

система не имеет решений;

система имеет ровно одно решение;

система имеет бесконечно много решений.

I. Решение системы линейных уравнений методом подстановки.

Данный метод также можно назвать «метод подстановки» или методом исключения неизвестных.

Пример 1

Решить систему линейных уравнений:


Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа -5 и -7) расположены в левой части уравнения. Запишем систему в обычном виде.

Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак.

Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают каждое  уравнение системы в верное равенство. Это утверждение справедливо для любых систем уравнений с любым количеством неизвестных.

Решаем.

Из первого уравнения системы выражаем: . Это и есть подстановка.

Полученное выражение   подставляем во второе уравнение системы  вместо переменной

Решим данное уравнение относительно одной переменной.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение :


4) Далее возвращаемся к подстановки  , чтобы вычислить значение   .Значение    нам уже известно, осталось найти:  

5) Пара  – единственное решение заданной системы.

Ответ:  (2,4; 2,2).

После того, как решена любая  система уравнений любым  способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку на черновике. Делается это легко и быстро.

1) Подставляем найденный ответ  первое уравнение :


 – получено верное равенство.

2) Подставляем найденный ответ  во второе уравнение:


 – получено верное равенство.

Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было  выразить , а не .
Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Однако необходимо оценивать подстановку, так чтобы  в ней как можно меньше было дробных выражений. Самый невыгодные из четырех способов – выразить  из второго или  из первого уравнения:

или                            
Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Это  экономит время, а также снижает вероятность допустить ошибку.

Пример 2

Решить систему линейных уравнений

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).

II. Решение системы методом алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы

В ходе решения систем линейных уравнений можно  использовать не метод подстановки, , а метод алгебраического сложения (вычитания) уравнений системы.  Этот метод  экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее.

Пример 3

Решить систему линейных уравнений:

Возьмём  ту же систему, что и первом примере.
1) Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной у одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

  

2) Решим данное уравнение относительно одной переменной.

Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

3) Теперь всё просто:   – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:
 

Ответ: (2,4; 2,2).

Пример 4

Решить систему линейных уравнений:


В данном примере можно использовать  метод подстановки, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. Действия с дробями мало кто любит, а значит это потеря времени , и  велика вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:


Как видим числа в парах (14 и 7), (-9 и –2) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 14 и -14 либо 18 и –18.

Будем рассматривать коэффициенты при переменной .

14х – 9у = 24;

– 2у = 17.

Подбираем такое число, которое делилось бы и на 14 и на 7, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты.

Далее:
Первое уравнение умножаем на 14:14 =1;
Второе уравнение умножаем на  14: 7 =2.

В результате:

     

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе.

                

Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет.

Теперь подставляем найденное значение  в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:

Ответ: (3:2)

Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной  .

14х – 9у = 24;

– 2у = 17.

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (-9 и –3) нам нужно получить 18 и –18.
Для этого первое уравнение умножаем на (-2), второе уравнение  умножаем на 9:
           

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:

Теперь подставляем найденное значение х в какое-нибудь из уравнений системы, например, в первое:

Ответ: (3:2)

Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Чаще всего при решении систем  стремятся  складывать и умножать, а не вычитать и делить.

Пример 5

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).

Пример 6.

Решить систему уравнений

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения а из второго

Ответ: Решений нет.

Пример 7.

решить систему уравнений

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

III. Решение системы c помощью матриц.

Определителем этой системы называется определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных. Этот определитель

     

Если определитель системы не равен нулю, то система  имеет единственное решение, которое находится по формулам

     

В этом случае говорят, что система - совместная или определенная

   

Составим таблицу из коэффициентов при неизвестных ( сама табличка называется матрицей) и найдём значение знаменателя ( принято говорить : вычислим определитель ).

  ;      = 1·1 – (-1)·2 = 3;

Конечно, ясно, что от такой записи нисколько не легче, если не указать, как ею пользоваться.

Умножать надо «по стрелкам», причем если стрелки идут слева — вниз — направо, то произведение надо брать со знаком плюс, если же справа — вниз — налево, то со знаком минус. Запомнить такое правило очень легко.

А теперь остаётся проделать такие же вычисления для  и :

      = -5· 1  - (-7)· (-1) = -12;

      = 1· (-7)  - (-5)· 2 = 3;

Значит,  и

Ответ: ( -4; 1).

Пример 8.

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце лекции).

Ответы для самостоятельного решения:

1)             Ответ: ( -1; 1).

2)                Ответ: ( 4; 2).

3)               Ответ: ( 0,5; -1).



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
8663. Дифференциальные уравнения. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения 60.86 KB
  Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения План. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения. Автономные системы дифференциальных уравнений. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
7509. Система линейных одновременных уравнений 40.11 KB
  Идентификация модели. Уравнения 1 называются структурной формой модели экономического процесса. Коэффициенты ij и bij называются структурными коэффициентами модели. На практике достаточно часто рассматриваются модели в которых такие члены имеются в наличии.
15763. Решение систем линейных уравнений 93.2 KB
  Решить систему линейных уравнений с помощью метода Крамара. Решить эту же систему уравнений методом обратной матрицы.
841. Теоретическая информатика. Решение систем линейных уравнений методом Крамара 90.58 KB
  Информация ее виды и свойства Единицы количества информации: вероятностный и объемный подходы. Теоретическая информатика математическая дисциплина использующая методы математики для построения и изучения моделей обработки передачи и использования информации. Но как правило эти модели наполнены конкретным содержанием связанным со спецификой информации того объекта который нас интересует. В них разрабатываются методы позволяющие использовать достижения логики для анализа процессов переработки информации с помощью...
6217. Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений 284.94 KB
  Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений. Для системы из 2 уравнений это можно сделать графически но для систем высоких порядков удовлетворительных методов отделения корней не существует. Проблема решения системы 1 возникает при решении многих прикладных задач например поиска безусловного экстремума функций многих переменных с помощью необходимых условий...
11097. Переходные процессы в линейных цепях 648.44 KB
  самостоятельный анализ переходных процессов в линейных электрических цепях; расчет электрических цепей с одним и двумя энергоемкими элементами классическим и операторным методами; определение переходной и импульсной характеристик линейных цепей;
13638. Программирование линейных вычислительных процессо 11.12 KB
  Во второй программе использовать операторы потокового ввода-вывода cin и cout.Определить разность между значениями y и z. В программе предусмотреть ввод исходных данных. Предварительно вычислить ожидаемые значения y и z с помощью калькулятора. Убедитесь, что значения, вычисленные с помощью калькулятора, совпадают с результатами, которые получаются в результате работы программы.
19491. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 267.96 KB
  Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
19450. Численные методы решения нелинейных уравнений 156.56 KB
  Видим что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы значит это трансцендентное уравнение для решения которого не существует формул для отыскания корней. Построим график для того чтобы примерно определить промежутки содержащие корни см. Для этого реализуем метод половинного деления. Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт который будет выводить первые пять корней отмечать их на графике а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.