Учет временной стоимости денег

Для ее решения необходимо верное понимание стоимости денег во времени time vlue of money и метода дисконтирования денежных потоков csh flow. Таким образом для принятия финансовых решений эффективных во времени необходимо использование соответствующих методов позволяющих учитывать временной аспект стоимости денег. Приведенные формулы входят в число базовых в финансовых вычислениях поэтому для удобства пользования значения множителей FM1in= 1in и FM2in=1 1in табулированы для различных значений i и п эту и другие...

2015-05-02

296.73 KB

24 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


PAGE  1

[1] Учет временной стоимости денег

[1.1] Простые и сложные проценты

[1.2] Задачи и решения

[1.3] Частота начисления сложных процентов

[1.4] Текущая стоимость денег

[1.5] Оценка денежных потоков

[1.6] Аннуитет

[1.7] Амортизация кредитов

[1.8] Влияние инфляции

[2] ЦЕННЫЕ БУМАГИ

[2.1] Цена облигаций

[2.2] 3.6. Доходность облигаций

[2.3] Цена и доходность депозитных сертификатов и векселей

[2.4] Доходность акции

[2.5] Анализ рисков

[2.6] Риск вложений в ценные бумаги

[2.6.1] Риск и его виды

[2.6.2] Измерение риска

[2.7] Мера риска

[2.8] Соотношение риска и доходности ценных бумаг

[2.9] Рейтинги ценных бумаг

[3] Доходность и риск портфеля ценных бумаг

[3.1] Основные понятия и цель формирования портфеля

[3.2] Снижение риска посредством диверсификации

[3.3] Портфельный анализ

[3.4] Взаимосвязь между ковариацией и стандартным отклонением портфеля

[3.5] Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг

[3.6] Оптимизация портфеля по Марковицу

[3.7] МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ КАПИТАЛЬНЫХ АКТИВОВ

[4] Опционы

[4.1] Сущность опциона, основные понятия

[4.2] Цена опциона, модель Блека—Шоулза


Учет временной стоимости денег

Простые и сложные проценты

Принятие решения о вложении капитала определяется в большинстве случаев величиной дохода, который инвестор предполагает получить в будущем, При принятии таких решений весьма важную, если не решающую, роль играет фактор времени. В связи с этим возникает задача учета разнесенных во времени расходов и доходов. Для ее решения необходимо верное понимание стоимости денег во времени (time value of money) и метода дисконтирования денежных потоков (cash flow).

Концепцию стоимости денег во времени можно сформулировать следующим образом: деньги сегодня стоят больше чем такая же сумма, которую мы получим в будущем. Данный факт обусловлен следующими обстоятельствами.

  1.  Сегодняшние деньги можно инвестировать и получить дополнительные деньги в виде процентов.
  2.  Покупательная способность денег со временем может упасть из-за инфляции.
  3.  В получении денег в будущем нельзя быть до конца уверенным.

Таким образом, для принятия финансовых решений эффективных во времени, необходимо использование соответствующих методов, позволяющих учитывать временной аспект стоимости денег.

Преобразования элементов денежного потока осуществляются путем применения операций накопления и дисконтирования. Накопление – процесс определения будущей стоимости денег. Дисконтирование – процесс приведения денег к их текущей стоимости. В первом случае движутся от «настоящего» к будущему, во втором — наоборот, от будущего к настоящему. В обоих случаях с помощью схемы сложных процентов удается получить оценку денежного потока с позиции будущего или «настоящего».

Будущая стоимость денег FV (future value), представляет собой будущую стоимость суммы средств, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемой ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов. Оценка будущей стоимости денег связана с процессом накопления, который представляет собой постепенное увеличение первоначальной стоимости путем присоединения к ней дохода, рассчитанного с учетом нормы доходности.

Текущая стоимость (present value) денежных средств PV в инвестиционных расчетах рассматривается как текущая стоимость будущих денежных поступлений. Взаимосвязь текущей и будущей стоимости денег определяется соотношением:

где  PV – текущая стоимость денег,

FV – будущая стоимость денег,

n – число периодов начисления процентов,

i – процентная ставка.

Приведенные формулы входят в число базовых в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителей FM1(i,n)= (1+i)n и FM2(i,n)=1/(1+i)n табулированы для различных значений i и п (эту и другие финансовые таблицы, упоминаемые в данном разделе, можно найти в литературе по финансовому менеджменту и анализу).

Множитель РМ1(i,п) называется мультиплицирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл состоит в следующем: он показывает, чему будет равна стоимость одной денежной единицы (один рубль, один доллар и т. п.) через п периодов при заданной процентной ставке i. Подчеркнем, что при пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

Множитель РМ2(i,п) называется дисконтирующим множителем для единичного платежа, а его экономический смысл заключается в следующем: он показывает «сегодняшнюю» цену одной денежной единицы будущего, т. е. чему с позиции текущего момента равна стоимость одной денежной единицы (например, один рубль), которая будет получена или уплачена через п периодов от момента расчета, при заданных процентной ставке (доходности) i. Термин «сегодняшняя стоимость» не следует понимать буквально, поскольку дисконтирование может быть выполнено на любой момент времени, не обязательно совпадающий с текущим моментом.

Важнейшим параметром, определяющим настоящую и будущую стоимость денег, является процентная ставка. Под процентной ставкой понимается отношение величины дохода за фиксированный отрезок времени к сумме долга. Интервал времени, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Чаще всего на практике используют годовые ставки. Однако в качестве периода начисления может использоваться и полугодие, квартал, месяц и даже день. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме основного долга. В последнем случае говорят о капитализации процентов. Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением.

Размер процентной ставки по любому виду кредита или инструмента с фиксированным доходом зависит от целого ряда факторов, наиболее важными из которых являются расчетная денежная единица, срок платежа и риск невыполнения заемщиком условий кредитного соглашения.

Абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг называют процентом (interest). В данном случае процент является абсолютной величиной, выраженной в денежных единицах, а не сотой частью числа.

Если обозначить за I – процент, i - процентную ставку и P – сумму долга, то взаимосвязь между величинами определяется следующим соотношением:

i = I / P.

Простой и сложный процент

Простой процент – это такой процент при котором его величина начисляется на первоначально вложенную сумму средств. При этом сумма процента, начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчет в процессе последующего наращения.

В случае сложного процента процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды. Он применяются в тех случаях, когда процент по кредитам (депозитам) выплачивается не сразу, а присоединяется к сумме основного долга. Такая процедура носит название капитализации.

Величины (1+n*i) и (1+i)n называются коэффициентами (множителями) наращения простых и сложных процентов соответственно.

Пример. Предположим, что вы положили на банковский счет 1000 руб. (PV) Процентная ставка равна 10% годовых. Необходимо рассчитать сумму, которую вы получите через 5 лет при условии, что не будите изымать проценты.

Рассчитаем будущую стоимость поэтапно. В конце первого года у вас на счете будет сумма равная

FV1= 1000* (1+0.1) = 1100 руб.

Полученная сумма складывается из 1000 рублей, с которых начиналась данная финансовая операция, плюс проценты в размере 100 руб. Будущая стоимость 1000 руб. к концу первого года составила 1100 руб.

Если вы оставите 1100 руб. еще на один год, то по окончании второго года вы будите иметь сумму

FV2= 1100* (1+0.1) = 1210 руб.

Данную сумму можно представить в виде трех составляющих. Исходные деньги – 1000 рублей, проценты за первый год 100 руб. и за второй год – 100 руб. Проценты, начисленные на основную сумму вклада, называются простыми процентами. Третья составляющая равна 10 руб. и представляет проценты, полученные во второй год, которые были начислены на 100 рублей, полученные в виде процентов за первый год. Проценты, начисленные на уже начисленные ранее проценты, называются сложными процентами. Общая сумма процентных начислений 210 руб. состоит из простых процентов (200 руб.) и сложных процентов (10 руб.).

Продолжая представленную цепочку вычислений, мы можем рассчитать сумму на счете через 5 лет.

FV5= 1000* (1+0.1)5 = 1610.51 руб.

Таким образом, будущая стоимость 1000 руб. через пять лет при ставке ссудного процента 10% годовых составляет 1610.51 руб. Общая сумма процентных начислений за пять лет составляет 610.51 руб., из которых 500 руб. являются простыми процентами и 110.51 – сложными.

Пример. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию. Сколько из этой суммы составят простые и сложные проценты.

FV = 1000 * (1+0.1)40 = 45259.26

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб., простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб. и сложных процентов, равных 40259.26 руб.

Рассмотрим эффект увеличения процентной ставки до 11%.

FV = 1000 * (1+0.11)40 = 65000.87 руб.

В данном примере кажущееся незначительным увеличение процентной ставки на 1% привело к получению дополнительной суммы равной 24741.61 руб.

Наряду с задачами наращения по сложному проценту в практике финансовых вычислений имеют место задачи, требующие наращения по простым процентам. В этом случае проценты начисляются только на основную сумму вклада. К ним относятся задачи определения цены краткосрочных финансовых инструментов, а также долгосрочных инструментов, если проценты не присоединяются к основному долгу, а выплачиваются. Формула для определения будущей стоимости денег для данного случая будет иметь вид:

FV = PV * (1+n*i).

В этой формуле мы использовали ранее принятые обозначения.

Пример. Возвратимся к рассмотренному выше примеру. Вам 20 лет и вы решили положить на счет 1000 руб. сроком на 40 лет при ставке 10% годовых. Сколько денег будет на вашем счете, когда вам будет 60 лет, и вы выйдите на пенсию.

FV = 1000 * (1+40*0.1) = 1000+4000 = 5000

Полученная сумма складывается из первоначальной суммы равной 1000 руб. и простых процентов 1000*0.1*40 = 4000 руб.

Процент может определяться не только при расчетах от настоящего к будущему, но и от будущего к настоящему. В этом случае процент представляет собой скидку с некоторой конечной суммы. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной. Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдает по этому векселю, называется дисконтом.                 

Задачи и решения

1. На депозит на срок два года положены 10000 руб. Какую сумму должен получить вкладчик в конце срока при начислении простых (сложных) процентов по ставке 18% годовых?

Для случая простых процентов получаем:

FV = PV *(1+n*i) = 10000*(1+2*0,18) = 13600 руб.

Для случая сложных процентов:

FV = PV *(1+ i)n= 10000*(1+*0,18)2= 13924 руб.

2. Найти период времени в течение которого первоначальная сумма вклада удвоится для случая простой и сложной процентной ставки равной 10%.

Для случая простой ставки

FV = 2*PV = PV *(1+n*i),

2 = *(1+n*0,1),

n = (2-1)/0,1 =10 лет.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)n

(1+i)n = 2,

n*Ln(1+0,1) =Ln2,

n= Ln2/ Ln(1+0,1) = 0,69/0,095 = 7,26 года.

  1.  Найти процентную ставку (простую и сложную) при которой первоначальная сумма вклада удвоится за десять лет.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n*i),

FV = 2*PV = PV *(1+10*i),

(1+10*i) = 2,

i = 1/10 = 0,1.

Для случая сложной ставки

FV = 2*PV = PV *(1+i)10

i = 2 1/10 – 1 = 0,072.

4. На вашем банковском вкладе проценты начисляются на основе «плавающей» ставки, которая изменяется каждый год. Три года назад вы положили на счет 10000 руб., когда процентная ставка была 15%. В прошлом году она упала до 12%, а в этом году установлена на уровне 10%. Какая сумма будет у вас на счете к концу текущего года? Расчеты произвести для случая простых и сложных ставок.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2 + n3*i3) = 10000*(1+1*0,15+1*0,12+1*0,1) = 13700 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 *(1+ i3)n3 = 10000* *(1+ 0,15)1*(1+ 0,12)1*(1+ 0,1)1 = 10000* 1,15*1,12*1,1 = 14168 руб.

5. В банк на срочный сберегательный счет положено 1000 руб. на два года по ставке 9% годовых, с дальнейшей пролонгацией на следующие три года по ставке 6%. Найти наращенную сумму через пять лет при простых и сложных ставках.

Для случая простой ставки

FV = PV *(1+n1*i1 + n2*i2) = 1000*(1+2*0,09+3*0,06) = 1360 руб.

Для случая сложных ставок

FV = PV *(1+ i1)n1 *(1+ i2)n2 = 1000* *(1+ 0,09)2*(1+ 0,06)3 = 1417 руб.

  1.  Вексель стоимостью 100 млн. руб. учтен банком за 2 года до погашения по сложной ставке 20 % годовых. Какую сумму получит векселедержатель по истечении срока договора.

Частота начисления сложных процентов

Процентная ставка задается, как правило, как номинальная годовая процентная ставка – это исходная ставка, которую назначает банк для начисления процентов. Эта ставка может быть также использована для начисления процентов один раз в году. В этом случае, если начисление процента осуществляется чаще, чем 1 раз в год, например, ежеквартально, или ежемесячно, рассчитывается эффективная годовая ставка, которая эквивалентна процентной ставки при условии начисления процентов один раз в год.

Предположим, что годовая процентная ставка составляет, например 6% в год, при этом проценты начисляются ежемесячно. Это означает, что проценты начисляются на ваш счет каждый месяц в сумме 1/12 от 6%, или 0.5%. Эффективная процентная ставка может быть найдена из выражений

FV = (1.005)12 = 1.061678

Iэ = 1.06168-1 = 0.061678 = 6.1678% в год.

Общая формула для вычисления действующей годовой процентной ставки выглядит следующим образом:

Iэ = (1+i/m)m – 1,

I – номинальная годовая ставка, m – число начислений процента в году.

При увеличении частоты начисления процентов эффективная процентная ставка увеличивается. Если проценты начисляются непрерывно, то эффективная процентная ставка определяется из соотношения

Iэ = Lim (1+i/m)m – 1 = ei - 1= 2.71828i -1

m  бесконечности.

В нашем примере e 0.06 - 1= 6.1836 в год.

Пример. Номинальная годовая ставка составляет 12% в год. Начисление процентов производится ежеквартально. Найти годовую эффективную ставку

Iэ = (1+0,12/4)4 – 1 = 12,55%.

Текущая стоимость денег

Процедура расчета текущей (приведенной) стоимости денег противоположна вычислению будущей стоимости. С ее помощью мы можем определить, какую сумму необходимо вложить сегодня для того, чтобы получить определенную сумму в будущем.

Общая формула для вычисления приведенной стоимости 1 руб. через n периодов имеет вид:

где  PV – текущая стоимость денег,

FV – будущая стоимость денег,

n – количество временных интервалов,

i – ставка дисконтирования.

Пример. Какую сумму необходимо положить на счет, чтобы через пять лет получить 1000 руб. (i=10%)

PV = 1000 / (1+0.1)^5 = 620.92 руб.

Таким образом, для расчета текущей стоимости денег мы должны известную их будущую стоимость поделить на величину (1+i)n . Текущая стоимость находится в обратной зависимости от величины ставки дисконтирования. Например, текущая стоимость денежной единицы, получаемой через 1 год  при ставке 8% составляет

PV = 1/(1+0,08)1 = 0,93,

А при ставке 10%

PV = 1/(1+0,1)1 = 0,91.

Текущая стоимость денег находится также в обратной зависимости от числа временных периодов до их получения.

Рассмотренная процедура дисконтирования денежных потоков может быть использована при принятии решений об инвестировании. Наиболее общее правило принятия решений – правило определения чистой приведенной стоимости (NPV). Суть его состоит в том, что участие в инвестиционном проекте целесообразно в том случае, если приведенная стоимость будущих денежных поступлений от его реализации превышает первоначальные инвестиции.

Пример. Имеется возможность купить сберегательную облигацию номиналом 1000 руб. и сроком погашения 5 лет за 750 руб. Другим альтернативным вариантом инвестирования является размещение денег на банковском счету с процентной ставкой 8% годовых. Необходимо оценить целесообразность инвестирования средств в приобретение облигации.

Для расчета NPV в качестве процентной ставки или в более широком смысле ставки доходности, необходимо использовать альтернативную стоимость капитала. Альтернативная стоимость капитала – это та ставка доходности, которую можно получить от других направлений инвестирования. В нашем примере альтернативным видом инвестирования является помещение денег на депозит с доходностью 8%.

Сберегательная облигация обеспечивает денежные поступления в размере 1000 руб. через 5 лет. Текущая стоимость этих денег равна

PV = 1000/1.08^5 = 680.58 руб.

Таким образом, текущая стоимость облигации составляет 680.58 руб., в то время как купить ее предлагают за 750 руб. Чистая текущая стоимость инвестиций составит 680.58-750=-69.42, и инвестировать средства в приобретение облигации нецелесообразна.

Экономический смысл показателя NPV состоит в том, что он определяет изменение финансового состояния инвестора в результате реализации проекта. В данном примере в случае приобретения облигации богатство инвестора уменьшится на 69.42 руб.

Показатель NPV может быть также использован для оценки различных вариантов заимствования денежных средств. Например, вам нужно взять в долг 5000 дол. для приобретения автомобиля. В банке вам предлагают заем под 12 % годовых. Ваш друг может одолжить 5000 дол., если вы отдадите ему 9000 дол. через 4 года. Необходимо определить оптимальный вариант заимствования. Рассчитаем текущую стоимость 9000 дол.

PV = 9000/(1+0.12)^4 = 5719.66 дол.

Таким образом, NPV данного проекта составляет 5000-5719.66= -719.66 дол. В данном случае лучшим вариантом заимствования является банковский кредит.

Для расчета эффективности инвестиционных проектов можно использовать также показатель внутренней нормы доходности (internal rate of return) IRR. Внутренняя ставка доходности – это такое значение дисконтной ставки, которое уравнивает приведенную стоимость будущих поступлений и приведенную стоимость затрат. Другими словами, IRR равна процентной ставки, при которой NPV = 0.

В рассмотренном примере приобретения облигации IRR вычисляется из следующего уравнения

750 = 1000/(1+IRR)^5

IRR = 5.92%. Таким образом, доходность облигации при ее погашении составляет 5.92% в год, что существенно меньше доходности банковского депозита.

Оценка денежных потоков

При принятии большинства финансовых решений приходится иметь дело с множественными денежными потоками, т.е. с денежными выплатами или поступлениями, имеющими место в течение ряда временных интервалов. В качестве примера можно рассмотреть приобретение облигации по которой ожидаются периодические процентные платежи, формирование накопительной части пенсии путем периодических отчислений работодателя и работника.

Элементы потока С могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т. е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В большинстве случаев денежные поступления считаются привязанными к концу временного интервала.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач: (а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема накопления); (б) обратной, т. е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т. е. в ее основе лежит будущая стоимость. В частности, если денежный поток представляет собой регулярные начисления процентов на вложенный капитал (Р) по схеме сложных процентов, то в основе суммарной оценки накопленного денежного потока лежит следующая формула.

FV = Ck * (1+i)k

Пример. Вы каждый год кладете 1000 руб. на счет, по которому выплачивается 10% годовых, начиная с момента вклада. Сколько денег будет у вас на счете через два года, если вы не будете изымать проценты. К концу первого года исходная сумма 1000 руб. возрастет до величины

FV1 = 1000* (1+0,1)1 = 1100 руб.

В начале второго года к этой сумме будет добавлена еще 1000 руб. и на счете будет 2100 руб. К концу второго года эта сумма возрастет до величины

FV2 = 2100* (1+0,1)1 = 2310 руб.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Поскольку отдельные элементы денежного потока генерируются в различные временные интервалы, а деньги имеют временную ценность, непосредственное их суммирование невозможно. Приведение элементов денежного потока к одному моменту времени осуществляется с помощью следующей формулы

PV = Ck / (1+i)k

В качестве примера задачи данного вида можно рассмотреть определение текущей стоимости облигации, которая будет погашена через два года с номинальной стоимостью 1000 руб. и купонной ставкой 10%. По данной облигации предполагаются купонные выплаты в размере 100 руб. в конце первого и второго года. Кроме этого в конце второго года выплачивается номинальная стоимость облигации. С учетом этого текущая стоимость денежного потока будет равна

PV = 100 / (1+0,1)1 + 100 / (1+0,1)2. + 1000 / (1+0,1)2  = 8438,01 руб.

Аннуитет

Одним из ключевых понятий в финансовых расчетах является понятие аннуитета. Логика, заложенная в схему аннуитетных платежей, широко используется при оценке долговых и долевых ценных бумаг, в анализе инвестиционных проектов, а также в анализе аренды.

Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока. Известны два подхода к его определению. Согласно первому подходу аннуитет представляет собой однонаправленный денежный поток, элементы которого имеют место через равные временные интервалы. Второй подход накладывает дополнительное ограничение, а именно: элементы денежного потока одинаковы по величине. В дальнейшем изложении материала мы будем придерживаться именно второго подхода. Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет называется срочным. В этом случае:

С1 = Сз = ... = Сп = А.

Для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета можно пользоваться вышеприведенными формулами, вместе с тем благодаря специфике аннуитетов в отношении равенства денежных поступлений они могут быть существенно упрощены.

Формула для расчета текущей стоимости аннуитета имеет вид

PVA = A/(1+i)+A/(1+i)2 A/(1+i)3+…+A/(1+i)n.

Введем следующие обозначения

B=A/(1+i),

C=1/(1+i).

В результате получим

PVA=B*(1+C+C2+C3+… +Cn-1)                                                        *

Умножая левую и правую части уравнения на величину C 

PVA*С = B*(C+C2+C3+… +Cn)                                                        **

Вычитая уравнение ** из * получим

PVA*(1-С) = B*(1-Cn).

Или

PVA*[1-1/(1+i)] = A/(1+i)*[1-1/(1+i)n)].

Умножение обеих частей уравнения на величину (1+i)  дает

PVA*i = A*[1-1/(1+i)n)]

Или

PVA = A*[1/i-1/(i*(1+i)n)].

Аналогичным образом может быть получено выражение для расчета будущей стоимости аннуитета.

FVA = A+A*(1+i)2 A*(1+i)3+…+A*(1+i)n-1.

Введем обозначения B=A*(1+i)/  и получим

FVA = A*(1+B +B2 B3+…+Bn-1).

Умножим обе части уравнения на величину B.

FVA*B = A*(B +B2 B3+…+Bn).

Вычитая данное уравнение из предыдущего получим,

FVA*(1-B) = A*(1-Bn).

Или

FVA = A/i*[(1+i)n-1].

По аналогии с функциями FM1(i,n)= (1+i)n и FM2(i,n)=1/(1+i)n функции FM3(i,n)= 1/i*[(1+i)n-1] FM4(i,n)=[1/i-1/(i*(1+i)n)] и табулированы для различных значений i и п. Экономический смысл FМЗ(i,п), называемого мультиплицирующим множителем для аннуитета, заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FМ4(i,п) показывает текущую стоимость аннуитета в одну денежную единицу при заданных значениях i и n.

При выполнении некоторых инвестиционных расчетов используется техника оценки бессрочного аннуитета. Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).

В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то ее решение может быть получено  на основе формулы

PVA = A*[1/i-1/(i*(1+i)n)]

при n стремящейся к бесконечности.

PVA = A/i

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициента дисконтирования i обычно принимается гарантированная процентная ставка (например процент, предлагаемый государственным банком).

Амортизация кредитов

Многие займы, такие как кредиты на покупку дома и покупку машины, выплачиваются равномерными периодическими платежами. Каждый из них состоит из двух частей: процентов на остаток долга и части его основной суммы. После каждой выплаты оставшаяся сумма долга уменьшается на уже выплаченную величину. Следовательно, в следующих платежах та часть, которая содержит в себе начисленные проценты, меньше, чем проценты за предыдущий период, а часть, приходящаяся на выплату основной суммы займа, больше, чем в предыдущем периоде.

Допустим, вы берете кредит в 100000 долл. на покупку дома под 9% годовых на условиях выплаты всей суммы с процентами тремя ежегодными платежами. Сначала мы рассчитываем годовой платеж, для чего находим A, PVA которого составляет 100000 долл. при условии уплаты 9% годовых на протяжении трех лет:

PVA = A*[1/i-1/(i*(1+i)n)].

A = PVA/[1/i-1/(i*(1+i)n)].

A = 100000/[1/0.09-1/(0.09*(1+0.09)3)].

Таким образом, годовой платеж составляет 39505,48 долл. Далее необходимо определить, какую часть от 39505,48 долл. в первый год составят проценты и сколько придется на долю основного платежа? Поскольку процентная ставка равна 9% годовых, часть, приходящаяся на проценты в первый год, должна быть 0,09 х 100000, или 9000 долл. Остаток от 39504,48 долл., или 30505,48 долл. — сумма платежа от основной суммы в 100000 долл. Таким образом, после первого платежа остаток долга по займу составляет 100000 долл. - 30505,48 долл., или 69 494,52 долл. Процесс постепенной регулярной выплаты займа на протяжении всего его периода называется амортизацией займа.

Далее рассчитаем платежи во второй год. Процентные платежи во второй год составят 0.09 х 69 494,52 долл., или 6254,51 долл. Остаток от 39504,48 долл. после расчета процентов составит 33250,97 долл. — это выплата основной суммы. Остаток после второй выплаты, следовательно, равен 69494,52 долл. - 33250,97 долл., или 36243,54 долл.

Третий и последний платеж покрывает как проценты, так и основную сумму 36243,54 долл. (т.е. 1,09 х 36243,55 долл. = 39504,47 долл.). Рассмотренный график погашения трехгодичного займа представлен в таблице.

Год

Начальный долг

Общий платеж

Выплаченные проценты

Выплаченная основная сумма

Остаток долга

1

100000

39505

9000

30505

69495

2

69495

39505

6255

33251

36244

3

36244

39505

3262

36244

0

Итого

0

118515

18515

100000

Анализ представленных данных показывает, что с каждой последующей выплатой 39504,48 долл. часть, приходящаяся на проценты, уменьшается, а часть основной суммы, предназначенной для выплаты основной суммы займа, увеличивается.

Влияние инфляции

Инфляция оказывает существенной влияние на принятие финансовых решений. Рассмотрим в качестве примера сбережения на старость. В возрасте 20 лет вы отложили 100 долл. и инвестировали их из расчета 8% годовых. Расчеты показывают, что ваши вложенные 100 долл. к тому времени, когда вам исполнится 65 лет, вырастут до 3192 долл. При этом необходимо учитывать, что реальная покупательская способность денег за 45 лет существенно снизится. Вещи, которые вы покупаете сегодня, к тому времени будут стоить гораздо больше. Например, если цены на все товары и услуги, которые вы хотите купить, будут подниматься на 8% в год на протяжении последующих 45 лет, на ваши 3192 долл. вы сможете купить не больше, чем на 100 долл. сегодня.

Таким образом, для того, чтобы принимать действительно разумные решения о долгосрочных инвестициях, необходимо учитывать как процентную ставку, так и уровень инфляции. Для этого необходимо различать номинальную и реальную процентную ставку. Номинальная процентная ставка – это ставка, выраженная в той или иной валюте без поправок на инфляцию, а реальная процентная ставка корректирует номинальную на уровень инфляции.

Общая формула, связывающая реальную процентную ставку с номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции, выглядит следующим образом:

1 + Номинальная процентная ставка = (1 + Реальная процентная ставка )*(

1 + Уровень инфляции)

или, соответственно

Реальная процентная ставка = (Номинальная процентная ставка -Уровень инфляции)/(1 + Уровень инфляции).

Пример. Номинальная процентная ставка по кредитам в 2005 году составляла 19%, а уровень инфляции – 11%. Найти реальную стоимость кредитных ресурсов, т.е. реальную процентную ставку.

ir = (in - π)/(1+π) = (0,19 - 0,11)/(1+0,11) = 0,08/1,11 = 0,072 = 7,2%.

При низких уровнях инфляции используют упрощенную формулу

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка -Уровень инфляции.

При использовании данной упрощенной формулы в предыдущей задаче стоимость заемных ресурсов составит 8%, что дает ошибку порядка 11%. Упрощенную формулу рекомендуется использовать при низких уровнях инфляции – порядка нескольких процентов.

Пример. Номинальная процентная ставка по кредитам составляет 8%, а уровень инфляции – 3%. Найти реальную стоимость кредитных ресурсов, т.е. реальную процентную ставку. При использовании точной и упрощенной формулы получаем:

ir = (in - π)/(1+π) = (0,08 - 0,03)/(1+0,03) = 0,05/1,03 = 0,0485 = 4,85%.

ir = (in - π) = 0,05 = 5,0%

Ошибка в данном случае составляет примерно 1%, что является приемлемым в задачах такого типа.

С точки зрения финансового планирования знание реальной процентной ставки дает большое преимущество, так как она отражает реальную стоимость кредитов или реальную покупательную способность сбережений. Вернемся к рассмотренному выше примеру, в котором вы в возрасте 20 лет положили на счет 100 долл. с тем, чтобы снять их со счета не раньше, чем вам исполнится 65 лет. Необходимо рассчитать реальную покупательную способность ваших сбережений.

Существует два подхода к решению этой задачи. Первый заключается в расчете будущей стоимости 100 долл. с использованием реальной процентной ставки, которая в данном примере составляет в размере (8%-5%)/1.05 = 2,857% годовых на протяжении 45 лет.

Реальная будущая стоимость = 100 долл. х 1,0285745 = 355 долл.

Второй подход предполагает следующую последовательность действий. На первом этапе мы рассчитываем номинальную будущую стоимость, используя номинальную процентную ставку 8% годовых:

Номинальная FV через 45 лет = 100 долл. x 0845 = 3192 долл.

На втором этапе рассчитывается индекс роста цен за 45 лет, при уровне инфляции равным 5% в год:

Индекс роста цен за 45 лет = 1,0545 = 8,985

На третьем этапе мы делим номинальную будущую стоимость денег на индекс роста цен и тем самым находим реальную стоимость сбережений: 3192/8.985 = $355.

ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Методология учета временной стоимости денег широко используется в задачах анализа стоимости ценных бумаг. Стоимость любой ценной бумаги (облигации, акции) определяется прежде всего величиной доходов, приносимых этой ценной бумагой. Поступление дохода может быть однократным и многократным. При этом в любом случае поступление дохода происходит через какой-то промежуток времени, после и средства на инвестирования средств в приобретение ценной бумаги. Таким образом стоимость ценной бумаги зависит как от величины получаемых доходов, так и от времени их получения.

Цена облигаций

В соответствие с Федеральным законом «О рынке ценных бумаг», под облигацией понимается эмиссионная ценная бумага, закрепляющая права ее держателя на получение от эмитента облигации в предусмотренный срок ее номинальной стоимости и зафиксированного в ней процента от этой стоимости.

В рамках нашего курса мы будем рассматривать вопросы расчета цены и доходности данного вида ценных бумаг. По облигациям инвестор может получать следующие виды дохода:

ежеквартальные, ежегодные (или с иной периодичностью) выплаты процента;

доход в виде дисконта, когда ценная бумага размещается по цене ниже номинальной, а погашается по номинальной стоимости.

Облигация имеет номинал (или номинальную цену), эмиссионную цену, курсовую цену, цену погашения.

Номинальная цена — это та величина в денежных единицах, которая обозначена на облигации. Как правило, облигации выпускаются с достаточно высоким номиналом. Эмиссионная цена облигации — это та цена, по которой происходит продажа облигаций их первым владельцам. Оплата эмиссионных ценных бумаг общества, размещаемых посредством подписки, осуществляется по цене, определяемой советом директоров. Эмиссионная цена может быть равна, меньше или больше номинала.

Цена погашения — это та цена, которая выплачивается владельцам облигаций по окончании срока займа. В большинстве выпусков цена погашения равна номинальной цене, однако она может и отличаться от номинала.

Курсовая цена — это цена, по которой облигации продаются на вторичном рынке. Если каждая облигация имеет строго определенную номинальную цену, цену погашения и эмиссионную цену, уровень которых зафиксирован при выпуске займа, то курсовая цена претерпевает значительные изменения в течение срока жизни облигации — она колеблется относительно теоретической стоимости облигации, которая, по существу, выступает как расчетная курсовая цена облигации.

Общий подход к определению теоретической стоимости любой ценной бумаги заключается в следующем: чтобы определить, сколько, по мнению данного инвестора, должна стоить ценная бумага в данный момент времени, необходимо привести к настоящему моменту времени (продисконтировать) все доходы, которые он рассчитывает получить за время владения ценной бумагой.

Рассмотрим, какова специфика применения этого общего подхода к определению стоимости конкретных видов ценных бумаг.

В зависимости от способа выплаты процентного дохода можно выделить два типа облигаций: (а) облигации с периодической платой процентного дохода или купонные облигации и (б) бескупонные (или дисконтные) облигации, доход по которым образуется за счет разницы между ценой погашения облигации и эмиссионной ценой и выплачивается при погашении облигации.

Цена купонной облигации.

Рассмотрим сначала облигацию с периодической выплатой процентного дохода.

Пример. Продается облигация номиналом 10000 руб. Процентная (купонная) ставка составляет 12% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается ровно 5 лет. Требуемая норма прибыли (доходность инвестиции с учетом риска, соответствующего данному типу облигаций, составляет 15%. Определить курсовую цену облигации.

Решение

В конце каждого года держатель облигации получит процентный доход в размере 1200 руб., а в конце пятого года — еще и сумму, равную номиналу облигации т. е. 10000 руб. Определим дисконтированные (приведенные) стоимости для каждого года и найдем их сумму.

Приведенная стоимость платежей составит:

первый год = 1200/(1+0,15)1 =1043,48 руб.

второй год = 1200/(1+0,15)2 = 907,37 руб.

третий год = 1200/(1+0,15)3 = 789,02 руб.

четвертый год = 1200/(1+0,15)4 = 686,10 руб.

пятый год  = (1200+10000)/(1+0,15)5 = 5568,38 руб.

Таким образом, искомая цена облигации будет равна:

1043,48+ 907,37 + 789,02 + 686,1 + 5568,38 = 8994,35 руб.

Часто цена облигации выражается в процентном отношении к номиналу. Применительно к приведенному примеру цена облигации составляет 89,94% номинала.

Формула для определения стоимости облигации может быть представлена в следующем общем виде

P = I/(1+R)1+ I/(1+R)2+ … +I/(1+R)n+ N/(1+R)n = i  + N/(1+R)n

где Р — цена облигации; Iпроцентный (купонный) доход в денежных единицах, Rтребуемая норма прибыли (ставка дисконтирования).

Для расчета цены облигации может быть использована полученная ранее формула аннуитета

P = I/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n.

Для приведенного выше примера цена облигации, вычисленная по полученной формуле, составит:

P = 1200/0,15*[1-1/(1+0,15)5] + 10000/(1+0,15)5 = 8994,35 руб.

Таким образом, мы получили тот же результат, что ив предыдущем случае. Приведенные выше расчеты справедливы, если ставка дисконтирования (требуемая норма прибыли) остается неизменной в течение рассматриваемого периода (срока действия облигации). В действительности ставка может изменяться. В этом случае для определения стоимости облигаций требуется найти дисконтированные потоки доходов для каждого года, используя следующую формулу:

Dpi = Di/[(1+R1)*(1+R2) )*… *(1+Ri)]

где Dpiприведенная стоимость дохода i-ого года; Di – доход i-того года; R1, R2, Ri  ставка дисконтирования для 1-го, 2-го, ..., i -го года.

Пример. По облигации номиналом 10000 руб. выплачивается доход в размере 10% годовых. Выплата процентов производится один раз в год. До погашения облигации остается 5 лет. Требуемая норма прибыли в течение первых трех лет — 15%, четвертый год — 12, пятый год — 10%. Определить курсовую цену облигации.

В данном примере процентный доход каждого года и сумму погашения облигации необходимо продисконтировать по переменной ставке. Определим дисконтированные стоимости для платежей каждого года:

первый год = 1000/(1+0,15)1  = 869,57 руб.

второй год = 1000/(1+0,15)2  = 756,14 руб.

третий год = 1000/(1+0,15)3  = 657,52 руб.

четвертый год = 1000/[(1+0,15)3 * (1+0,12)] = 587,07 руб.

пятый год = (1000+10000)/[(1+0,15)3 * (1+0,12) * (1+0,1)] = 5870,68 руб.

Следовательно, цена облигации составит:

Р = 869,57+ 756,14 + 657,52 + 587,07 + 5870,68 =8740,98 руб.

Мы видим, что стоимость облигации выше, чем в предыдущем случае, так ставка дисконтирования в четвертом и пятом годах ниже, чем в первые три года.

Мы рассмотрели вопрос определения цены облигации при ежегодных купонных выплатах. На практике процентные платежи могут осуществляться чаще, чем один раз в год. Так, например, по облигациям, эмитированным в США, доход часто выплачивается два раза в год. Для определения цены таких облигаций может быть использовано выражение

P = (I/m)/(R/m)*[1-1/(1+(R/m))n] + N/(1+(R/m))n*m ,

где m – число купонных выплат в течение года.

Пример. По облигации, имеющей номинальную цену 1000 рублей и купонную ставку 14%, процентные платежи выплачиваются два раза в год. Необходимо определить цену облигации, если до погашения остается 7 лет и требуемая норма прибыли составляет 16% годовых. Используя представленную выше формулу получим

P = (I/m)/(R/m)*[1-1/(1+(R/m))n] + N/(1+(R/m))n*m =

70/0,08*[1-1/(1+0,0814 ]+ 1000/(1+0,0814) = 917,56 руб.

Для облигаций, купонные выплаты по которым осуществляются чаще, чем один раз в год может быть рассчитана эффективная процентная ставка с использованием следующего выражения:

iэ = (1+i/m)m -1.

Для предыдущего примера эффективная купонная ставка будет равна

iэ = (1+i/ m)m -1 = (1+0,14/2)2 -1 = 0,145 или 14,5%.

Зависимость цены облигации от процентной ставки

Рассмотрим зависимость цены облигации от ставки процента (требуемой нормы прибыли R). Цена облигации складывается из дисконтированных купонных выплат и номинала облигации. Из представленной ниже формулы видно, что обе эти величины убывают при повышении процентной ставки R. Исходя из этого, мы можем сделать вывод о влиянии денежно-кредитной политики государства на рыночные цены облигаций.

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n.

При повышении учетной ставки ЦБ происходит повышение стоимости денежно-кредитных ресурсов в экономике – растут процентные ставки. Соответственно повышаются требования инвесторов к доходности облигаций. Новые облигации эмитируются с большей величиной доходности, а стоимость ранее эмитированных облигаций понижается для обеспечения повысившихся требований к доходности. При снижении учетной ставки ситуации развивается в противоположном направлении.

Пример 3. Облигация имеет номинал 10000 рублей, купонную ставку 6% и срок погашения 15 лет. Определить размер премии (дисконта), если требуемая норма прибыли составляет 8%.

Найдем цену облигации с использованием следующего выражения

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)15] + 10000/(1+0,08)15 =

5135,7 + 3152,4 = 8288,1.

Таким образом, в данном случае облигация продается с дисконтом размер которого составляет 10000 – 8288,1 = 1711,9 руб.

Рассмотрим далее случай, когда требуемая норма прибыли меньше купонной ставки, R = 4%.

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)15] + 10000/(1+0,04)15 =

6671 + 5553 = 12224.

В данном случае облигация продается с премией, размер которой составляет 2224 руб.

Последний вариант соответствует равенству купонной ставки и нормы прибыли

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)15] + 10000/(1+0,06)15 =

5827 + 4173 = 10000 руб.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что при равенстве требуемой нормы прибыли и купонной ставки курсовая цена облигации равна ее номиналу. При превышении нормы прибыли купонной ставки облигация продается с дисконтом, а при понижении относительно купонной ставки – с премией. Цена облигации и требуемая норма прибыли связаны обратной зависимостью. При повышении процентной ставки цена облигации, которая определяется как приведенная стоимость будущих денежных поступлений, падает; при снижении ставок ситуации развивается в противоположном направлении.

Рассмотрим далее влияние фактора времени на стоимость облигации. В предыдущем примере рассмотрим эффект уменьшения срока погашения облигации до 10 лет:

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)10] + 10000/(1+0,08)10 =

4026 + 4632 = 8658 руб.

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)10] + 10000/(1+0,04)10 =

4867 + 6756 = 11623 руб.

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,06*[1-1/(1+0,06)10] + 10000/(1+0,06)10 =

4416 + 5584 = 1000 руб.

На основе проделанных вычислений мы можем сделать вывод, что при уменьшении срока погашения облигации произошло снижение размера дисконта и премии. При равенстве купонной ставки и нормы прибыли курсовая цена равна номиналу вне зависимости от срока погашения.

Теперь рассмотрим эффект увеличения срока погашения до 20 лет:

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,08*[1-1/(1+0,08)20] + 10000/(1+0,08)20 =

5891 + 2146 = 8037 руб.

P = D/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n = 600/0,04*[1-1/(1+0,04)20] + 10000/(1+0,04)20 =

8154 + 4564 = 12718 руб.

Как и следовало ожидать, при увеличении срока погашения происходит возрастание как величины дисконта, так и премии.

Зависимость цены облигаций от процентной ставки обуславливает риск инвесторов, связанный с ее колебаниями. В связи с этим актуальной является задача анализа чувствительности цены облигации к изменению требуемой нормы прибыли. Выражение для цены облигации может быть представлено в следующем виде:

P = CF1/(1+R)1+ CF2/(1+R)2+ … + CF n/(1+R)n,

где CF i – доход инвестора от владения облигацией в соответствующий период. Для анализа чувствительности цены к процентной ставке необходимо вычислить производную цены по доходности:

dP/dR = (-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1,

Разделим далее левую и правую части соотношения на цену облигации (Р):

dP/dR * 1/Р= [(-1)*CF1/(1+R)2+ (-2)*CF2/(1+R)3+ … + (-n)*CF n/(1+R)n+1]/P.

Таким образом, мы получили выражение нормализованной по цене облигации чувствительности цены к изменению нормы прибыли. Представленное ниже выражение определяет показатель «дюрации» облигации (D)

D= [(1)*CF1/(1+R)2+ (2)*CF2/(1+R)3+ … + (n)*CF n/(1+R)n+1]/P.

Дюрация характеризует процентный риск облигации, т.е.е риск, связанный с изменением процентных ставок. При увеличении значения дюрации возрастает чувствительность цены облигации к изменению процентной ставки и соответственно увеличивается риск ценной бумаги.

Пример. Необходимо рассчитать дюрацию облигации, имеющей номинальную цену 1000 руб., купонную ставку 10% и срок погашения 5 лет. Результаты расчетов сведены в таблицу

Таблица

Расчет дюрации облигации

Номер

платежа

Размер платежа CF i

Приведенная величина платежа CF i/(1+R) i

Нормализованная приведенная величина платежа CF i/(1+R) i

Величина

i * CF i/(1+R) i/Р

1

100

90,91

0,09091

0,9091

2

100

82,64

0,08264

0,16528

3

100

75,13

0,07513

0,22539

4

100

68,3

0,06830

0,27320

5

1100

683,02

0,68302

3,41510

Итого

1000

1,0

4,1699

Таким образом, величина дюрации для анализируемой облигации составила 4,1699 лет. Дюрацию называют также эффективным сроком жизни облигации. Чем выше этот срок жизни, тем в большей мере облигация реагирует на изменение процентных ставок; иными словами тем она более чувствительна к изменению ставок.

В общем случае чувствительность цены к изменению процентных ставок зависит от времени до погашения облигации и купонной ставки;  величина процентного риска возрастает при увеличении времени до погашения и снижении купонной ставки. Обусловлено это тем обстоятельством, что существенная часть цены облигации формируется за счет вклада приведенного значения номинальной цены, которую инвестор получает при погашении облигации. Чем дальше от текущего момента осуществляется эта выплата, тем она больше зависит от изменения процентной ставки. Что касается величины купонной ставки, то ситуация здесь примерно аналогична предыдущему случаю. При снижении купонной ставки повышается та часть цены облигации, которая формируется за счет приведенного значения номинальной цены, что, как было показано выше, приводит к росту процентного риска.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда до погашения облигации остается целое число лет или купонных периодов. Однако облигации могут продаваться и покупаются в любой момент времени (в начале, середине и в конце купонного периода). Допустим, облигация, о которой шла речь в примере 1, продается не за 5 лет до погашения, а за 4 года и 300 дней до срока погашения. Покупатель получит годовой процентный доход по этой облигации (при условии выплаты процентов 1 раз в год) через 300 дней после покупки облигации. Между тем в течение 65 дней облигация находилась в руках продавца, которому по праву принадлежит процентный доход за этот период, в то время как покупателю причитается доход только за 300 дней. Процентный доход покупателя и продавца за время Т определяется по формуле:

Dr = D * T/365.

где Dпроцентный доход за год или купонный период; Т — время, в течение которого облигация находилась в руках продавца или покупателя (в днях); Dr  — процентный доход за время Т.

В нашем примере процентный доход покупателя составит:

D300 = 1200 * 300/365 = 986,3 руб.

Процентный доход продавца будет равен:

D65 = 1200 * 65/365 = 213,7 руб.

Поскольку процентный доход в размере 213,7 руб., принадлежащий продавцу, получит покупатель облигации при оплате очередного купона, то цена облигации должна быть увеличена таким образом, чтобы продавец не понес ущерба. В рассматриваемом нами случае цена (цена, вычисленная в примере 1) должна быть увеличена на 213,7 руб. и составить 8954,68 руб.

Однако это лишь приблизительный результат, так как цена в размере 850,47 руб. была получена нами при дисконтировании доходов ровно за 5 лет. Поэтому чтобы получить более точный результат, нужно продисконтировать ожидаемые доходы за тот период времени, который остается до погашения облигации с момента совершения сделки.

Определим цену облигации для нашего примера:

P = 1200/(1+0,15)300/365+ 1200/(1+0,15)1+300/365+1200/(1+0,15)2+300/365 1200/(1+0,15)3+300/365 (1200+10000)/(1+0,15)4+300/365  = 1021,83+ 930,23+808,89+703,39+ 5708,64 = 9172,98 руб.

Выше речь шла об облигациях с постоянным купоном. Однако купонные облигации могут быть как с постоянной, так и переменной купонной ставкой. Изменения характеризуются тем, что величина процентного дохода изменяется в зависимости от изменения ситуации на финансовом рынке. Стоимость таких облигаций определяется по формуле:

P= I1/(1+R1) + I2/[(1+R1)*(1+R2)] + (IN + N)/[(1+R1)*(1+R2)*..(1+Rn)],

где I1, I2, Inпроцентный доход i-того периода (i =  1, 2, ..., п) R1, R2, Rn требуемая норма прибыли (ставка дисконтирования) i-того периода. При расчете цены облигации в данном случае необходимо оценить величину процентных выплат и требуемую норму прибыли для всех периодов.

Рассмотрим далее задачу определения цены бескупонной облигации. Ее можно представить как купонную облигацию с нулевым размером купонных платежей. Поскольку процентные платежи при этом равны нулю, то рассмотренная ранее формула принимает следующий вид:

P = N/(1+R)n

Пример 4. Бескупонная облигация номиналом 10000 руб. погашается по номиналу через 3 года. Определить курсовую цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 15% годовых.

P = 10000/(1+0,15)3 = 6575,16 руб.

Рассмотренная формула может быть использована и при определении курсовой стоимости краткосрочных ценных бумаг – со сроком действия менее 1 года.

Пример 6.

Определить цену краткосрочной облигации номиналом 1000 руб., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 20% годовых.

Используя полученную выше формулу получим:

P = 1000/(1+0,2)180/365= 914,01 руб.

Однако для определения цены краткосрочных облигаций обычно используется другая формула:

P = N/(1+R*T/365)

Применяя эту формулу, получаем:

P = 1000/(1+0,2*180/365)=910,22 руб.

Чтобы установить величину различий результатов вычислений при использовании представленных двух формул, рассмотрим ряд примеров.

Пример 7.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 10% годовых, погашение — через 180 дней.

Цена облигации, вычисленная по первой формуле:

P = 1000/(1+0,1)180/365= 954,08 руб.

по второй формуле:

P= 1000/(1+0,1*180/365) = 953,00 руб.

Пример 8.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 20% годовых, погашение — через 300 дней.

Цена облигации, вычисленная по первой формуле:

P = 1000/(1+0,2)300/365= 860,84 руб.

по второй формуле:

P= 1000/(1+0,2*300/365) = 858,83 руб.

Пример 9.

Номинал облигации — 1000 руб. Требуемая норма прибыли — 15% годовых, погашение — через 365 дней.

Цена облигации, вычисленная по первой формуле:

P = 1000/(1+0,15)= 869,56 руб.

по второй формуле:

P= 1000/(1+0,15*365/365) = 869,56 руб.

Приведенные выше примеры показывают следующее.

  1.  Расхождение в оценке курсовой стоимости облигации при использовании разных формул тем меньше, чем ниже ставка дисконтирования. Так, для полугодовой облигации при ставке дисконтирования 20% расхождение составляет около 0,4% цены, а при став дисконтирования 10% — около 0,1% цены.
  2.  При одной и той же ставке  дисконтирования  расхождение в цене тем меньше, чем больше срок до погашения облигации.
  3.  При сроке до погашения, равном 1 году (365 дней), обе формулы дают один и тот же результат расчетной цены облигации.

Поскольку величины расхождений расчетной цены, полученной с использованием разных формул, являются весьма незначительными, то при вычислениях с краткосрочными инструментами используется первую формулу.

3.6. Доходность облигаций

Облигации приобретаются инвесторами с целью получение дохода. Для анализа эффективности вложений в разные виды облигаций, а также в другие ценные бумаги следует сопоставить величину получаемого дохода с величиной инвестиций  с затратами на приобретение ценной бумаги. Различают следующие показатели доходности: купонная доходность, текущая доходность, доходность к погашению, доходность за период владения.

Купонная доходность (RК) устанавливается при выпуске облигации и для ее расчета используется следующая формула:

RК=I/N,

где I — купонный доход, N номинальная цена облигации.

Текущая доходность (RT) определяется как отношение величины процентного дохода к цене приобретения облигации:

RT= I /P,

где Iпроцентный доход, Рцена приобретения облигации.

Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается по цене 900 руб. процентный доход в размере 15% годовых выплачивается один раз в год. Определить купонную и текущую доходность облигации.

Купонная доходность будет равна:

RК=I/N = 150/1000 = 0,15 или 15% годовых

Текущая доходность будет равна:

RT= I /P = 150/900 = 0,167 или 16,7% годовых.

Доходность к погашению равна требуемой норме прибыли инвестора R, при которой приведенная стоимость денежных платежей по облигации равна ее рыночной стоимости. В течение срока жизни облигации происходит изменение ее рыночной цены и доходности вследствие изменения процентных ставок. Если инвестор собирается держать облигацию до погашения, то он может сопоставить все полученные по облигации доходы (процентные платежи и сумму погашения) с ценой приобретения облигации. Полученная таким способом величина называется доходностью к погашению или внутренней нормой прибыли.

Доходность к погашению можно определить методом последовательных приближений, используя полученную ранее формулу

P = I/R*[1-1/(1+R)n] + N/(1+R)n,

где P – рыночная цена облигации, R – доходность к погашению, n – число периодов владения облигацией.

Метод последовательных приближений реализуется путем подстановки в данную формулу различные значения R и определения для каждого значения R соответствующего значения цены. Если для выбранного значения R мы получаем цену выше заданного значения цены (Р), то следует увеличить значение R и найти новое значение Р. Если получено значение Р ниже заданной цены, то необходимо уменьшить значение R. Такие действия необходимо продолжать до тех пор, пока расчетная цена не совпадет с заданной точностью с рыночной ценой. Полученное таким образом значение R и будет являться доходностью облигации к погашению или внутренней нормой прибыли облигации.

Пример. Номинал облигации — 1000 руб. Срок погашения облигации — через 3 года. По облигации выплачивается 15% годовых, выплата производится один раз в год. Курсовая цена облигации — 920 руб. Определить доходность облигации к погашению. В качестве первого приближения возьмем ставку дисконтирования равной 17%. Найдем цену облигации:

P = 150/0,17*[1-1/(1+0,17)3] + 1000/(1+0,17)3 = 955,81 руб.

Мы получим цену, которая выше курсовой цены облигации. Следовательно, ставка дисконтирования должна быть увеличена. Увеличим ее до 19% и найдем новое значение цены облигации:

P = 150/0,19*[1-1/(1+0,19)3] + 1000/(1+0,19)3 == 914,4 руб.

Мы получили значение цены, которое ниже курсовой цены облигации. Следовательно, чтобы получить значение цены, равное курсовой стоимости облигации ставка дисконтирования должна быть ниже 19%. Искомое значение находится между 17% и 19%. Продолжая представленные расчеты, можно найти значение доходности к погашению – 18,7%. Цена облигации в этом случае будет равна

P = 150/0,187*[1-1/(1+0,187)3] + 1000/(1+0,187)3 = 920,45 руб.

Таким образом, при ставке дисконтирования равной 18,7% текущая стоимость процентных платежей и суммы погашения облигации равна покупной цене облигации – затратам инвестора. Это означает, что доходность облигации к погашению составляет 18,7%. Использование показателя доходности к погашению позволяет инвестору решить вопрос о приемлемости инвестиций в приобретение облигации.

В реальных ситуациях для принятия того или иного решения не всегда необходимо производить точные вычисления, так как многие факторы, определяющие доходность финансовых инструментов, остаются вне контроля инвестора. В этом случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:

R = [(N-P)/n+I]/[(N+P)/2],

где N — номинал облигации; Р— цена облигации; п — число лет до погашения облигации; Iежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:

R = [(1000-920)/3+150]/[(1000+920)/2] = 18,4%.

Отклонение значения доходности, полученного с помощью приближенной формулы, весьма незначительно и находится в пределах допустимой ошибки.

Бескупонная облигация

Для определения доходности бескупонной облигации (облигации с нулевым купоном) необходимо воспользоваться формулой для определения цены облигации:

P = N/(1+R)n.

После преобразований получаем следующее выражение для доходности бескупонной облигации:

R= - 1

Пример. Определить доходность бескупонной облигации номинальной стоимостью 1000 руб. Рыночная цена облигации равна 700 руб. и до погашения остается 3 года. Доходность определяется из представленного выше выражения

R= - 1 = - 1 = 0,126 или же 12,6%.

Доходность краткосрочных облигаций (сроком действия до 1 года) обычно определяется по формуле:

R = (DI/P) * (365/T)

где DI — величина дисконта; Р –цена облигации; Т — число дней до погашения облигации. Подставляя вместо D = N-Р, получаем:

R = [(N-P)/P] * (365/T) = (N/P-1)*(365/T)

Пример. Облигация номиналом 1000 руб. продается с дисконтом по цене 950 рублей. До погашения облигации остается 60 дней. Определить доходность к погашению. Используя полученное выше выражение получаем:

R = (1000/950-1)*(365/60) = 0,320 или же 32,0%

Доходность за период владения

Наряду с показателем доходности к погашению инвестор может использовать показатель доходности за период владения. Методика расчета этих двух показателей различается незначительно. Отличие заключается лишь в том, что инвестор получает не сумму погашения (номинальная облигация), а цену продажи облигации, которая может отличаться от номинала. Поэтому в приведенных выше формулах вместо номинала облигации будет фигурировать цена продажи облигации.

Пример. Инвестор приобрел облигацию номиналом 1000 руб., купонным доходом 20% и сроком погашения через пять лет за 800 руб. и продал ее через три года за 900 руб. Необходимо определить доходность за период владения. В данном случае для получения приблизительного результата можно использовать следующую формулу:

R = [(Рs-Pp)/n+I]/[(Ps+Pp)/2],

где Рs — цена продажи облигации; Ppцена приобретения облигации; п — число лет владения облигацией; Iежегодный процентный доход. Для приведенного выше примера имеем:

R = [(900-800)/3+200]/[(900+800)/2] = 27,45%.

Пример. Инвестор приобрел бескупонную облигацию номиналом 1000 руб. за 600 руб. и продал ее через 2 года за 800 руб. Определить доходность за период владения. В данном случае необходимо использовать следующую формулу

R= - 1

получаем:

R= - 1= 0,1547 или 15,47% годовых.

Пример. Государственная краткосрочная облигация номиналом 1000 руб. была куплена инвестором за 800 руб. и продана через 160 дней за 900 руб. Определить доход за период владения.

R = (Рs / Pp -1)*(365/T)

R = (900/800-1)*(365/160) = 0,29 или 29% годовых.

Цена и доходность депозитных сертификатов и векселей

По своим основным характеристикам депозитные и сберегательные сертификаты близки к краткосрочным и среднесрочным облигациям. По окончании срока действия сертификата его владелец получает сумму вклада и процентов. Если известна процентная ставка по сертификату сроком действия до одного года, то сумма начисленных процентов (процентного дохода) может быть определена по формуле:

D = N*[( Rc *T)/ 365] *

где N — номинал сертификата; D — процентный доход; Rc — процентная ставка по сертификату; Т — срок действия сертификата.

Сумма,  выплачиваемая  владельцу  сертификата  при  погашении, равна:

N+D = N + (N/365) * Rc *T = N * [1+ Rc *T/365]

Для определения цены сертификата используется формула:

P= [N * (1+ Rc *T/365)]/[1+R*T/365]

где R — требуемая норма прибыли.

Пример 19.

До погашения депозитного сертификата номиналом 10 000 руб. осталось 90 дней. Процентная ставка по сертификату составляет 14% годовых. Требуемая норма прибыли по данному виду ценных бумаг составляет 13% годовых. Определить цену сертификата.

Используя формулу (11.26), получаем:

P= [10000 * (1+ 0,14 *90/365)]/[1+0,13*90/365] = 10024 .руб.

По российскому законодательству депозитные сертификаты предназначены для юридических лиц и выпускаются на срок до одного года. Для физических лиц выпускаются сберегательные сертификаты, срок действия которых может доходить до трех лет. Цена сертификатов, выпускаемых на срок более одного года, определяется так же, как и для облигаций.

Пример 20.

Сберегательный сертификат сроком действия 3 года имеет номинал 1000 руб. Проценты выплачиваются раз в полгода. Процентная ставка на первый год — 12% годовых. Требуемая норма прибыли составляет 13% годовых.

На основе анализа состояния финансового рынка инвестор считает, что процентная ставка по сертификатам пересматриваться не будет, и требуемая норма прибыли также останется без изменений. Тогда искомая величина может быть определена по формуле

Р=60/0,065*[1-1/(1+0,065) 6] + 1000/(1+0,065) 6 = 290,4 + 685,4 = 975,8 руб.

Цена сертификата ниже номинала, так как процентная ставка по сертификату ниже, чем требуемая норма прибыли по данному виду ценных бумаг.

Если известна рыночная цена сертификата и инвестор определил требуемую норму прибыли для данного вида ценных бумаг, то доходность сертификата со сроком погашения меньше года можно определить по формуле 

R = (DI/P) * (365/T)

где DI — величина дисконта; Р –цена сертификата; Т — число дней до погашения.

Депозитный сертификат номиналом 100 000 руб. выпущен на срок 270 дней. По сертификату установлена процентная ставка из расчета 18% годовых. До погашения сертификата остается 90 дней. Сертификат продается по цене 109 000 руб. Определить доходность сертификата, если покупатель будет держать его до погашения.

Сумма, которую получит инвестор при погашении сертификата, определяется по формуле

N+D = 100000 * [1+ 0,18 *270/365] = 113315 руб.

Следовательно, доход держателя сертификата за период владения (90 дней) составит:

D90 = 113315-109 000 = 4315 руб.

Для определения доходности используем соотношение:

R = 4315/109000*(365/90) = 0,1605 или 16,05% годовых.

Общий подход при определении цены дисконтного или процентного векселя остается таким же, как и при определении других краткосрочных ценных бумаг (облигаций или сертификатов). Однако следует иметь в виду, что векселя котируются на основе дисконтной ставки (дисконтной доходности).

Важнейшим видом ценных бумаг являются акции. Акции могут иметь номинал, выкупную стоимость, так называемую «книжную» стоимость и рыночную цену или курс.

Номинал акции — это ее лицевая стоимость, обозначенная на акции. Эта величина не имеет какого-либо существенного значения, так как номинал не характеризует ни уровень дивидендов, ни величину стоимости, которая будет приходиться на акцию в случае ликвидации компании. Эта цена имеет значение только при организации акционерного общества. Но уже при последующих дополнительных выпусках акций их продажная цена может отличаться от номинала.

Необходимо учитывать, что абсолютное большинство российских акционерных обществ было создано в процессе приватизации государственных предприятий. Их уставный капитал определялся путем формальной оценки имущества АО по ценам, которые существенно отличались от рыночных даже в момент создания АО. Номинальная стоимость акции определялась по результатам ваучерного аукциона из формального условия приближенной делимости суммы уставного капитала на число ваучеров, предъявленных на аукцион. В дальнейшем ряд АО произвел переоценку имущества с увеличением номинала и изменением числа акций. Следует иметь в виду, что в международной практике номинал акции не имеет никакого значения. Существенна лишь рыночная цена акции. Однако в российских условиях акции большинства АО фактически не котируются на рынке и их номинал может служить в качестве начального ориентира при формировании рыночной цены.

Выкупная цена. В соответствие с Законом об АО при принятии решения о реорганизации общества, акционеры, голосовавшие против решения о реорганизации общества или не принимавшие участия в голосовании, вправе требовать выкупа принадлежащих им акций. Выкуп акций осуществляется по цене, определенной советом директоров, но не ниже рыночной стоимости.

Книжная (или балансовая) стоимость акции — это величина собственного капитала компании, приходящаяся на одну акцию. Если выпущены только обыкновенные акции, то эта стоимость определяется путем деления собственного капитала на число акций. Если выпущены также и привилегированные акции, то собственный капитал надо уменьшить на совокупную стоимость привилегированных акций по номиналу. Собственный капитал акционерного общества - это итог третьего раздела бухгалтерского баланса "Капитал и резервы".

Пример. В акционерном обществе раздел «Капитал и резервы» содержит следующие данные: уставный капитал – 124 тыс. руб., добавочный капитал – 3870 тыс. руб., резервный капитал – 22 тыс. руб., нераспределенная прибыль – 6648 тыс. руб. Все акции общества обыкновенные, их номинальная стоимость составляет 1 руб., а количество – 124 тыс. шт.

Балансовая стоимость акции =  Итог раздела «Капитал и резервы» / число обыкновенных акций = 10664 тыс. руб. / 124 тыс. шт. = 86 руб.

Следовательно, при номинальной стоимости акции 1 руб., ее балансовая стоимость составляет 86 руб. По балансовой стоимости акции не продаются и не покупаются, она лишь свидетельствует о величине собственных средств акционерного общества, приходящихся на одну акцию.

Динамика балансовой стоимости акций в определенной мере отражает результаты деятельности акционерного общества. Если нет эмиссии дополнительных акций и не проводятся переоценки основных фондов, то динамика балансовой стоимости акций определяется результатами деятельности акционерного общества: при получении прибыли балансовая стоимость акций увеличивается, убытков – уменьшается. Полученная предприятием прибыль приводит к росту балансовой стоимости акций только в том случае, если направляется на развитие производства, в фонд накопления и другие фонды общества.

Рыночная цена, или курс акций — это та цена, по которой акции свободно продаются и покупаются на рынке. Номинал акции при этом значения не имеет, и акция меньшего номинала может продаваться по более высокой цене. Для инвестора имеет значение, какую прибыль приносит акция в данный момент и каковы перспективы получения прибыли в будущем.

Теоретически цена акций определяется либо как величина собственного капитала эмитента деленного на число эмитированных акций, либо как текущая стоимость будущих денежных поступлений. При это практическое использование этих теоретических оценок затруднено ввиду условности величины уставного капитала, а также полной неопределенности дивидендной политики в будущем.

Модели оценки стоимости акций определяются на основе анализа следующих факторов:

  •  вид акций – привилегированная или простая,
  •  сумма дивидендов, предполагаемая к получению в конкретном периоде,
  •  ожидаемая курсовая стоимость акции в конце периода ее реализации,
  •  ожидаемая норма прибыли,
  •  число периодов использования акций.

Привилегированные акции

Модель оценки стоимости привилегированных акций основана на том, что эти акции дают право их собственникам на получение регулярных дивидендных выплат в фиксированном размере. Для определения цены привилегированной акции, имеющей фиксированную величину дивиденда, необходимо найти приведенную стоимость всех дивидендов, которые будут выплачены инвестору. Таким образом, общий подход к определению цены привилегированной акции соответствует рассмотренной нами ранее модели определения цены облигации. При этом надо учитывать, что облигация является бессрочной ценной бумагой; инвестор, однако, может продать ее через определенное время.

Если инвестор предполагает держать облигацию n периодов, то ее цена может быть определена из следующего выражения:

P = D/(1+R)1+ D/(1+R)2+ … +D/(1+R)n  + Рs/(1+R)n ,

где Р - стоимость акции; D- дивиденд  на  акцию; R- требуемая норма прибыли на данный тип инвестиций, Рs – стоимость акции на момент продажи.

Если инвестор предполагает держать облигацию достаточно долго, то ее цене может быть определена по формуле:

P = D/(1+R)1+ D/(1+R)2+ … +D/(1+R)n +…

Как было показано ранее при достаточно большом n данное выражение может быть преобразовано к виду:

P = D/R

Пример. По привилегированной акции номиналом 50 долл. выплачивается дивиденд в размере 10 долл. Определить цену акции, если требуемая норма прибыли на данный тип акций составляет 20% годовых.

Применяя полученную формулу, имеем:

P = 10/0,2 = 50 долл.

Существует ряд подходов для определения требуемой нормы прибыли акции. Прежде всего следует ориентироваться на альтернативные возможности инвестирования с соответствующим уровнем риска. Требуемая норма прибыли по рисковым активам складывается из безрисковой ставки и премии за риск. Так в данном примере требуемая доходность может складываться из безрисковой ставки, составляющей 12% и премии за риск – 12%.

Обыкновенные акции

Задача определения рыночной цены обыкновенных акций является значительно более сложной, чем привилегированных акций. Обусловлено это следующими обстоятельствами. Во-первых, дивиденд по обыкновенным акциям заранее не объявляется и можно исходить лишь из предположения о его предстоящем уровне. Во-вторых, на выплату дивидендов идет только часть чистой прибыли компании, другая часть в виде нераспределенной прибыли остается в компании и используется на развитие производства.

При этом величина нераспределенной прибыли определяет потенциал роста прибыли компании в будущем. По существу, нераспределенная прибыль является для акционеров капитализированным дивидендом, и ее увеличение ведет к росту рыночной цены акции. В результате доход инвестора от владения акцией складывается из величины получаемых дивидендов и прироста курсовой стоимости акции. При этом необходимо учитывать, что курсовая стоимость может не только вырасти, но и снизиться.

Таким образом, при определении цены обыкновенных акций необходимо учитывать не только размер дивиденда, но и прирост стоимости акции.

Пример. Прогнозируемая стоимость акции через год составляет 700 рублей, ожидаемые дивиденды – 100 руб., а требуемая норма прибыли – 25%. Необходимо определить цену акции. Эта цена определяется как приведенная стоимость будущих денежных поступлений, которые складываются из дивидендных выплат и цены акции на момент ее продажи:

P = (D+P1)/(1+R) = (100+700)/(1+0.25) = 640 руб.

Инвестор может владеть акциями более одного года. В этом случае исходя из того, что доход на акцию обеспечивается за счет получения дивидендов и роста курсовой стоимости выражение для определения цены акции может быть представлено в виде:

P = D1/(1+R)1+ D2/(1+R)2+ … +Dn/(1+R)n+ Рn/(1+R)n = i  + Рn/(1+R)n

где Р — искомая цена акции; D1, D2 ... Dn — ожидаемые дивиденды первого, второго, n-го года; Rтребуемая норма прибыли на акцию.

Таким образом, мы получили выражение для определения цены акции. Однако его практическое использование затруднено в силу сложности задачи прогнозирования дивидендных выплат и будущей стоимости акции.

В связи с этим рассмотрим ряд частных случаев расчета цены акции.  Акция является бессрочной ценной бумагой. При этом в отдельные периоды времени доход может быть получен только за счет действия одного фактора (дивиденды или рост курсовой стоимости). Если, например, компания в течение ряда лет не выплачивает дивиденды, а вся прибыль расходуется на развитие компании, то для определения цены акции может быть использовано выражение:

P = Рn/(1+R)n.

где R — ожидаемая норма прибыли на акцию, P, Рn — текущая стоимость акции и ее стоимость через n периодов.

Пример. На фондовом рынке продаются акции фирмы В по цене 100 руб. за штуку. По имеющимся прогнозам дивиденды не будут выплачиваться в течение пяти лет, а вся прибыль будет использоваться на развитие производства. Какова должна быть цена акции через пять лет для обеспечения нормы прибыли в размере 20% годовых. Применяя представленную выше формулу получим:

Рn =100х(1+0,2)5 =248,8 руб.

Таким образом, для обеспечения требуемой норму прибыли цена акции B через три года должна достичь 248,8 руб. Если по проведенным оценкам цена акции через три года будет ниже этой суммы, то вложения в покупку акций B не обеспечат требуемой нормы прибыли, и от покупки акций следует отказаться.

В ряде случаев вся прибыль компании может направляться на выплату дивидендов. В такой ситуации можно предположить, что цена акции остается неизменной и требуемая доходность обеспечивается только за счет дивидендных выплат.

Пример. На фондовом рынке продаются акции компании C. В течение последних лет вся прибыль компании направлялась на выплату дивидендов, которые составляли 100 руб. на акцию. Предполагается, что в течение ближайших трех лет вся прибыль также будет направляться на выплату дивидендов и их уровень останется прежним. Определить цену акции при условии, что она остается неизменной в течение рассматриваемого периода. Какой должна быть цена акции, чтобы обеспечить норму прибыли в размере 20% годовых. Для определения цены акции в данном случае может быть использовано следующее соотношение:

P = 100/(1+0,2)1+ 100/(1+0,2)2+100/(1+0,2)3+Р/(1+0,2)3 = 500,83 руб.

В предыдущих примерах мы предположили, что доход на акцию обеспечивается либо за счет получения дивидендов, либо за счет роста курсовой стоимости. Такие случаи вполне возможны в отдельные короткие периоды времени. Если же рассматривать более продолжительные периоды времени, то доход на акцию обеспечивается за счет действия обоих факторов: выплаты дивидендов и роста курсовой стоимости.

Модель определения стоимости акций во многом зависит от поведения инвестора. Если инвестор планирует держать акцию в течение заранее определенного периода времени, то для определения цены акции может быть использовано поученное выше выражение

P = D1/(1+R)1+ D2/(1+R)2+ … +Dn/(1+R)n+ Рn/(1+R)n = i  + Рn/(1+R)n

Экономическое содержание данной модели состоит в том, что текущая реальная стоимость акции, используемой в течение заранее определенного срока, равна сумме предполагаемых к получению дивидендов и ожидаемой курсовой стоимости акции в момент ее реализации, приведенная к настоящей стоимости. Таким образом, в данном случае модель определения стоимости акции аналогична соответствующей модели облигации.

Пример. Инвестор приобрел акцию и планирует держать ее в течение трех лет. Прогнозируемые дивиденды для каждого года составляют 100,150 и 200 руб. соответственно, а прогнозируемая рыночная цена через три года – 1000 руб. Необходимо найти рыночную цену акции, если требуемая норма прибыли составляет 15%. Используя представленную выше формулу получим:

P = D1/(1+R)1+ D2/(1+R)2+ D4/(1+R)3+ Р3/(1+R)3 = 100/(1+0,15)+150/(1+0,15)2+200/(1+0,15)3+1000/(1+0,15)3 = 989,39 руб.

Ряд инвесторов при приобретении акций предполагают держать их достаточно долго. В этом случае представленное выше выражение преобразуется к виду:

P = D1/(1+R)1+ D2/(1+R)2+ … +Dn/(1+R)n = i  .

В представленном выражении цена акции зависит только от характера изменения дивидендов. При стабильном уровне дивидендов может быть использована рассмотренная ранее модель определения цены привилегированных акций:

P = D/R.

Пример. По акции выплачивается ежегодный постоянный дивиденд в размере 20 руб. Ожидаемая норма прибыли акции данного типа составляет 15%. При этих условиях цена акции будет равна

Р = 20 /0,15 = 133,33 руб.

Следующая модель применима к акциям дивиденд по которым характеризуется постоянным темпом роста (модель Гордона). В этом случае для цены акции используется следующее выражение:

P = D*(1+g)/(R-g).

Где D – сумма последнего выплаченного дивиденда, g – темп роста дивидендов.

Данное выражение может быть получено с использованием представленной выше формулы для определения цены акции, которая в этом случае преобразуется к виду

P = D1/(1+R)1+ D2*(1+g)/(1+R)2+ … +Dn*(1+g)n-1/(1+R)n+ Рn/(1+R)n .

Обозначим D1/(1+R) = a1, (1+g)/(1+R) = q. С учетом этого получим

P = a1+ a1*q+ … + a1*qn-1+ Рn/(1+R)n .

Первые n слагаемых данной формулы представляют собой геометрическую прогрессию. Формула для определения суммы ее n членов имеет вид

Sn = (a1-a1*qn)/(1-q).

С учетом этого выражение для определения цены акции будет иметь вид

P = D1/(R-q)*[1-(1+q)n/(1+R)n] + Pn/(1+R)n

Если рассматривать акцию как бессрочную ценную бумагу, то при неограниченном возрастании числа членов (n стремиться к бесконечности) сумма ее членов стремиться к величине

S = a1/(1-q) = D1/(R-g).

Таким образом, для расчета цены акции с постоянным темпом роста дивидендов используется соотношение

P = D1/(R-g).

Пример. Последний дивиденд, выплаченный по акции составляет 150 руб. Компания ежегодно увеличивает сумму выплачиваемых дивидендов на 10%. Ожидаемая норма доходности акций данного типа составляет 20%. При этих условиях цена акции будет равна

P = 150*(1+0,1)/(0,2-0,1) = 1650 руб.

Наиболее общей моделью оценки акций является модель переменного роста, которая позволяет учитывать различный характер роста дивидендов на различных отрезках времени. Данная модель предполагает, что после определенного момента в будущем Т дивиденды будут расти с постоянным темпом роста, а до этого времени инвестор прогнозирует индивидуальный размер выплаты дивидендов для каждого года (D1, D2, … Dn).

В рамках данной модели для определения цены акции используется следующее выражение

                                             i

P =  i  + Dt+1/[(R-g)*(1+R)T]

Пример. На фондовом рынке продаются акции акционерного общества «Альфа». Ожидаемые дивиденды в течение первых трех лет составляют 5 руб. на акцию. В последующие годы прогнозируются темпы прироста дивидендов — 10% в год. Требуемая норма прибыли на акцию — 20% годовых. Определить цену акции, если инвестор собирается держать акцию неограниченно долго. Для расчета цены акции в данном случае может быть использовано выражение

P = D/R*[1-1/(1+R)3] + D*(1+g)/(R-g).

P = 5/0,2*[1-1/(1+0,2)3] + 5*(1+0,1)/(0,2-0,1) = 10,53 + 55 = 65,53 руб.

Модель переменного роста величины дивидендов, описанная выше, лежит в основе многих применяемых на практике моделей дисконтирования дивидендов (DDM). Наиболее распространенные модели, называемые также трехэтапными, основаны на предположении, что компании в процессе своего развития проходят через три стадии:

  1.  Стадия роста характеризуется большими объемами продаж и высокими прибылями. В силу возможности высокоприбыльных инвестиций величина доли дивидендных выплат достаточно низка.
  2.  Переходный период характеризуется сокращением прибыли и замедлением роста доходов в результате конкуренции. В силу сокращения инвестиционных возможностей компания начинает выплачивать большую часть прибылей в виде дивидендов.

3. В стадии зрелости компания достигает состояния, при котором ее инвестиционные возможности позволяют получить лишь незначительную доходность на вложенный капитал. В этот период темпы роста доходов, доля выплат и доходность капитала стабилизируются и остаются на постоянном уровне до конца существования компании.

Процесс прогнозирования для трехэтапной DDM предполагает знание темпов роста доходов и дивидендов для всех трех фаз. Одним из самых значимых факторов, определяющих точность и соответственно эффективность применяемой модели, является качество прогноза будущих доходов и темпов роста компании. Для получения такого прогноза требуется тщательный анализ показателей финансово-хозяйственной деятельности компании. Такой анализ называется фундаментальным и охватывает не только деятельность предприятия, но и показатели экономики отрасли.

В общем случае недооцененная прибыльная, динамично растущая и прочная в финансовом положении компания представляет собой хороший объект для инвестиций. Однако абсолютные значения соответствующих показателей могут значительно различаться в зависимости от отраслевой принадлежности компании. Например, для коммунального хозяйства характерны высокая дивидендная доходность и низкие темпы роста прибыли, тогда как компании, работающие в сфере высоких технологий, могут демонстрировать стремительный рост прибыли и не выплачивать при этом вообще никаких дивидендов. Компании, зависящие от циклов деловой активности, обычно имеют более высокий уровень заемного капитала, в то время как предприятия, основывающие свою деятельность на интеллектуальной собственности, могут не нуждаться в дорогой инфраструктуре и зачастую работают либо с незначительным привлечением заемных средств, либо вообще без них.

В рамках фундаментального анализа для правильной оценки компании рассматриваются основные показатели деятельности компании, которые затем сравниваются с аналогичной группой в рамках данной отрасли. Эти показатели должны анализироваться как в абсолютных значениях — при определении стоимости акций рассматриваемой компании, так и в относительном выражении — при сравнении с другими аналогичными предприятиями.

Доходность акции

Полный доход от инвестирования в ценные бумаги складывается из текущего дохода, который получает инвестор в виде регулярных платежей процентов по облигациям и дивидендов по акциям, и курсового дохода, который образуется от изменения цены, возрастания стоимости (прирост капитала).

Для анализа эффективности вложений инвестора в покупку акций могут быть использованы следующие виды доходности: ставка дивиденда, текущая доходность акции для инвестора, текущая рыночная доходность, конечная и совокупная доходность.

Ставка дивиденда (Rc) определяется по формуле

Rc = D/N * 100%,

где D   — величина выплачиваемых годовых дивидендов;

N   — номинальная цена акции.

В российской практике ставка дивиденда обычно используется при объявлении годовых дивидендов.

Текущая доходность акции для инвестора (Rt) рассчитывается по формуле

Rt = D / Pp х 100%,

где Рр - цена приобретения акции.

Текущая рыночная доходность (Rm) определяется отношением величины выплачиваемых дивидендов к текущей рыночной цене акции (Рm):

Rm = D / Pm х 100%,

где Pm– текущая рыночная цена акции.

Конечная доходность (RK) может быть рассчитана по формуле

RK = [(Ps – Pp)/ n + D c]/ Pp х100%

где D cвеличина дивидендов, выплаченная в среднем в год, n - количество лет, в течение которых инвестор владел акцией; Ps - цена продажи акции.

Доходность за период владения акцией, если она находилась у инвестора менее года, может быть определена по формуле:

R = [(Ps Pp) + D]/ Pp *(365/T)

где Rдоходность акции в расчете на год; Pp,— цена покупки акции; Psцена продажи акции; Dдивиденды, полученные за период владения акций; Т — период владения акцией (в днях).

Пример 36.

Акция приобретена инвестором 1 февраля за 40 руб., продана 1 декабря того же года за 48 руб. Дивиденды в размере 3 руб. на акцию были выплачены 15 апреля. Определить доходность за период владения акцией.

С учетом того, что акция находилась у инвестора в течение 303 дней (365 - 31 - 31), имеем:

R = [(48 – 40) + 4]/ 40 *(365/303) = 0,3614 или 36,14% годовых

Однако если акция находилась у инвестора в течение нескольких лет, то данная формула дает искаженные результаты, так как здесь не учитывается стоимость денег во времени. Поэтому необходим другой подход.

Пример 37.

Инвестор приобрел акцию за 50 руб. и продал ее через четыре года за 84 руб. За время владения акцией инвестор получил дивиденды за первый год 3 руб., за второй год — 4 руб., за третий год — 4 руб. и за четвертый год — 5 руб. Определить доходность от операции с акцией.

Если не учитывать доходов от реинвестирования дивидендов, то после продажи акции инвестор имел на руках сумму 100 руб. (3 + 4 + 4 + 5 + 84). Таким образом, доходность за период владения акцией может быть определена по формуле

R= - 1,

которая используется для определения доходности бескупонных облигаций:

R= - 1 0,1892 = 18,92 годовых

Однако полученный в примере результат является не совсем точным, так как не учитывает реинвестирование. Для получения более точной оценки воспользуемся методом последовательных приближений, применяя формулу, аналогичную формуле (11.7), используемой для определения цены облигаций:

Pp = D1/(1+R) + D2/(1+R)2 + D3/(1+R)3 + D4/(1+R)4 +Ps/(1+R)4

где Diдивиденд соответствующего года; Psцена продажи акции; Rискомая норма прибыли; Рpцена покупки акции.

Суть метода, как было отмечено выше, заключается в том, что мы будем придавать R различные значения, пока не получим необходимую величину Р. Расчеты показывают, что равенство приведенных денежных потоков от владения акцией и цены приобретения имеет место при R = 0,205.

Pp = 3/(1+0,205) + 4/(1+0,205)2 + 4/(1+0,205)3 + 5/(1+0,205)4 +84/(1+0,205)4 =

2,49+2,75+2,29+2,37+39,84=49.74

Полученный результат дает основание заключить, что доходность за период владения акцией составила около 20,5% годовых. Для приближенных расчетов доходности за период владения может быть использована следующая формула

RK = [(Ps – Pp)/ n + D c]/ [(Ps +Pp )/2]х100%.

RK = [(84 – 50)/ 4 + 4]/ [(84+50)/2] х100%. = 18,66 %

Анализ рисков

Анализ рисков можно подразделить на два взаимно дополняющих друг друга вида: качественный и количественный.

Качественный анализ осуществляется с целью идентификации факторов риска и потенциальных областей риска. Количественный анализ направлен на количественное определение величины риска.

Все факторы риска можно разделить на две группы: объективные и субъективные. К объективным относятся факторы, не зависящие непосредственно от самой фирмы. В эту группу входят: инфляция, конкуренция, политические и экономические кризисы и т.д. К субъективным относятся факторы, непосредственно связанные с деятельностью фирмы. Это производственный потенциал, техническое оснащение, организация труда, уровень менеджмента и т.д.

Для количественной оценки риска используются следующие методы: статистический, аналогий, экспертных оценок, комбинированный. Поскольку под риском понимается вероятность осуществления неблагоприятного события (сценария), количественная оценка риска чаще всего сводится к оценке величины соответствующей вероятности.

В зависимости от способа определения величины вероятности можно выделить частотную и субъективную вероятность наступления неблагоприятного события.

Суть статистического метода заключается в том, что изучается статистика потерь и доходов, имеющих место в прошлом. При статистическом методе устанавливается величина и частотность получения той или иной отдачи от инвестиций и составляется наиболее вероятный прогноз на будущее. Таким образом, для применения этого метода требуется наличие довольно большого массива наблюдений за соответствующими факторами риска.

При использовании метода аналогий анализируются имеющиеся данные по аналогичным проектам в прошлом с целью расчета вероятности возникновения потерь по оцениваемому проекту. Таким образом, для расчета уровня риска этим методам используется статистическая база данных по аналогичным проектам.

Значения вероятностей, полученные с применением статистического метода и метода аналогий, называются объективными. Субъективная вероятность рассчитывается на базе метода экспертных оценок и является предположением о наступлении неблагоприятного результата, которое основывается на индивидуальном суждении эксперта в данной области. Таким образом, экспертный метод основан на обработке мнений опытных специалистов.

Преимущество такого способа оценки риска заключается в возможности его применения для неповторяющихся событий и в условиях отсутствия достаточного количества статистических данных, необходимых для выявления объективных вероятностей. Довольно часто на практике применяется также метод, являющийся комбинацией статистического и экспертного методов определения риска.

Риск вложений в ценные бумаги

Риск и его виды

Мы рассмотрели вопрос определения цены и доходности акций и облигаций. При этом мы считали, что доход является гарантированным, т.е. мы не учитывали риск вложений в разные виды ценных бумаг. В то же время большинство ценных бумаг относятся к числу рисковых активов, которые характеризуются вероятностным значением получения результата.

Под риском мы будем понимать вероятность отклонения фактически полученного результата от величины ожидаемого дохода. Чем больше диапазон колебания возможных результатов, тем выше риск. В свою очередь, чем выше риск вложений, тем большую доходность должны приносить такие инвестиции. Инвесторы стремятся к тому, чтобы иметь наименьший риск при данном уровне доходности актива или обеспечить максимальную доходность при определенном уровне риска.

Все факторы риска можно разделить на две группы: объективные и субъективные. К объективным относятся факторы, не зависящие непосредственно от самой фирмы. В эту группу входят: инфляция, конкуренция, политические и экономические кризисы и т.д. К субъективным относятся факторы, непосредственно связанные с деятельностью фирмы. Это производственный потенциал, техническое оснащение, организация труда, уровень менеджмента и т.д.

Лауреат Нобелевской премии У. Шарп в 1964 году выделил две составляющие общего риска любого актива:

  1.  Специфический риск корпорации (риск эмитента). Данный риск относится к числу субъективных рисков.
  2.  Систематический или рыночный риск, который возникает по независящим от эмитента обстоятельствам. Данный риск является объективным.

Для количественной оценки риска используются следующие методы: статистический, аналогий, экспертных оценок, комбинированный. Поскольку под риском понимается вероятность осуществления неблагоприятного события (сценария), количественная оценка риска чаще всего сводится к оценке величины соответствующей вероятности.

Измерение риска

Риск, как сказано выше, связан с возможностью совершения некоторых неблагоприятных событий, которые могут привести к потере или ущербу.

Для иллюстрации рисковости финансовых вложений предположим, что инвестор приобретает трехмесячные краткосрочные государственные облигации на сумму 10 000 долл. по цене 980 долл., которые погашаются через три месяца по номиналу 10000 долл. В этом случае норма прибыли (или доходность) инвестиций может быть определена совершенно точно и такие инвестиции считаются безрисковыми.

Другое дело, если инвестор приобретает на сумму 10 000 долл. акции компании, созданной для вывода на рынок нового товара. Отдача на эти инвестиции не может быть оценена точно. В результате анализа можно установить, что ожидаемая норма прибыли может составить 25%. Но инвестор должен осознать, что действительная норма прибыли в этом случае может колебаться в широком диапазоне, например, от +500% до -100%, т. е. если новый товар не будет пользоваться достаточным спросом, то инвестор может потерять все вложенные средства. Поскольку в данном случае имеется опасность получить меньше прибыли, чем ожидается, то акции следует определить как рисковые.

Таким образом, инвестиционный риск заключается в том, что есть вероятность получить действительную прибыль меньше ожидаемой. Чем больше шанс низкой или негативной прибыли, тем более рисковыми являются данные инвестиции.

Вероятность распределения

Рисковые активы характеризуются вероятностными значениями получения результата. Вероятность события можно определить как шанс того, что это событие произойдет. Если установлены все возможные исходы и выявлена вероятность каждого события, то мы получаем вероятность распределения изучаемого явления.

Вероятность распределения может быть представлено в виде таблицы или графически. Например, если рассматривается владение недвижимостью (квартирой) и известны возможные цены продажи через год при различной ситуации на рынке недвижимости (введение налога на недвижимость, ввод в эксплуатацию нового жилья и другие факторы могут повлиять на спрос), то вероятность распределения может быть представлено в виде табл.

Таблица

Вероятность получения дохода при инвестировании в недвижимость

Инвестируемые средства

Цена продажи

Вероятность

(Р), %

Отдача (доход)

Доходность

350

420

400

380

25

50

25

70

50

30

20

14,3

8,6

Ожидаемое значение результата определяется как сумма произведений возможных значений результата на соответствующие значения вероятности. Так ожидаемая доходность при инвестировании в недвижимость есть средневзвешенная величина возможных значений доходности:

R = 20 х 0,25 + 14,3 х 0,5 + 8,6 х 0,25 = 14,3%.

Можно определить вероятность получения дохода и от финансовых инвестиций. Если инвестор приобретает акции, то он рассчитывает получить прибыль, которая будет складываться из дивидендов и прироста курсовой стоимости акций. Риск в этом случае связан с невыплатой ожидаемых дивидендов или с низкими темпами роста или даже снижением курсовой стоимости акций.

Предположим, что у инвестора имеется возможность приобрести акции компаний «Дельта» и «Омега». Чтобы сделать правильный выбор, инвестору следует определить возможную норму прибыли на свои вложения а также требуемую величину риска. Компания «Дельта» оказывает услуги в области информации и компьютерных технологии. Ее прибыль растет и падает в соответствии с бизнес-циклом. Кроме того, фирма работает в обстановке острой конкуренции с другими фирмами, и если конкуренты опередят фирму, то она может оказаться на грани банкротства. В то же время компания «Омега» — это телефонная компания, которая занимает монопольное положение в регионе и ее прибыль является относительно стабильной и предсказуемой.

Допустим, что на следующий год возможны три состояния экономики — подъем, нормальное состояние и спад. Предположим, что нам удалось определить вероятность наступления каждого состояния и определить возможную норму прибыли на акции (дивиденды плюс прирост или потеря курсовой стоимости акции). Результаты прогноза представлены в табл.

Таблица

Вероятность получения нормы прибыли на акции

Состояние экономики

Вероятность

Норма прибыли на акцию

Дельта

Омега

Подъем

Нормальное

Спад

0,2

0,6

0,2

40%

15%

-10%

20%

15%

10%

Мы установили, что имеется 20% вероятности подъема экономики, когда обе компании будут иметь высокую прибыль, но имеется и 20% вероятности спада производства, что приведет к снижению прибыли в обеих фирмах, но это состояние обернется для акционеров «Дельты» не просто снижением нормы прибыли, а прямыми потерями. Кроме того, имеется и 60% вероятности нормального развития экономики и умеренной нормы прибыли на инвестиции.

Каждое из названных состояний экономики возможно и, соответственно, возможен каждый из представленных вариантов получения дохода. Однако они имеют неодинаковую вероятность осуществления. Поэтому ожидаемая норма прибыли — это взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Она вычисляется следующим образом:

Rож = R1*P1+ R2*P2+…+ Rn*Pn.

где Ri i-й возможный результат нормы прибыли; Piвероятность io результата, I = 1, 2 ..., п; Rож — взвешенная средняя, ожидаемая норма прибыли.

Колебание нормы прибыли для «Дельты» составляет от +40% до -10% с ожидаемой нормой прибыли 15%. Для «Омеги» ожидаемая норма прибыли также составляет 15%, но разброс колебаний значительно меньше – от +20% до +10%. Ясно, что инвестор предпочтет вкладывать деньги во вторую компанию, так как разброс значений возможной прибыли здесь значительно ниже, а значит и ниже риск.

Мера риска

Для сравнения активов (реальных и финансовых) и принятия инвестиционных решений необходима количественная оценка риска, позволяющая ранжировать активы. В практике финансового менеджмента нашли применение несколько показателей для оценки риска:

  1.  дисперсия, как мера разброса возможных значений доходности;
  2.  стандартное отклонение, как мера разброса, выраженная в тех же единицах, что и результат (например, доходность);
  3.  коэффициент вариации для ранжирования активов с различными значениями ожидаемой доходности.

Мерой разброса возможных результатов доходности вокруг ожидаемого значения является дисперсия (или вариация). Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс значений доходности. Дисперсия дискретного распределения рассчитывается по формуле

σ2 = [(Ri - Rc)2*Pi].

п — число возможных отклонений от ожидаемого значения, Ri  - i–е значение доходности, Pi вероятность получения доходности, Rcожидаемое значение доходности.

Если все значения Ri равновероятны, то последнее выражение может быть представлено в следующем виде

σ2 = [(Ri - Rc)2.]/n.

Известно, что в данном случае выборочная дисперсия представляет смещенную оценку теоретической дисперсии. Несмещенная оценка дисперсии определяется формулой

σ2 = [(Ri - Rc)2.]/(n-1).

Дисперсия измеряется в тех же единицах, что и результат (в процентах, если в качестве результата рассматривается доходность, и в денежных единицах, если в качестве результата рассматриваются денежные потоки — выручка, издержки, прибыль и т.д.), но возведенных в квадрат.

Для определения ожидаемого значения доходности (Rc) используется следующее выражение

Rc = Ri * Pi.,

или же

Rc = (Ri )/n

Таким образом, ожидаемое значение доходности находится как взвешенная средняя возможных результатов, где «весами» служит величина вероятности осуществления каждого результата. Для облегчения сравнения и анализа риска различных активов чаще используется квадратный корень из дисперсии – среднеквадратичное отклонение:

σ = [(Ri-Rc)2*Pi].

Стандартное отклонение более удобно, чем дисперсия, так как измеряется в тех же единицах, что и результат, т.е в процентах, денежных единицах и т.д.

Еще один показатель риска – это коэффициент вариации, который определяется из следующего соотношения

V = σ/Rc.

Экономический смысл данного показателя состоит в том, что он определяет количество риска на единицу доходности.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.

Доходность

Х

5,5

8,1

6,2

3,4

8,5

6,0

7,0

5,0

8,0

9,0

9,5

7,5

У

10

30

20

40

25

10

5

30

10

15

50

20

Средняя доходность активов Х и У будет равна:

Rcx = (5,5+8,1+6,2+3,4+8,5+6,0+7,0+5,0+8,0+9,0+9,5+7,5)/12 = 7,0

Rcу = (10+30+20+40+25+10+5+30+10+15+50+20)/12 = 22,1

Для расчета дисперсии доходности ценой бумаги Х используем следующее выражение

σ2 = [(Ri - Rc)2.]/n.

σ2 = [(5,5-7)2 +(8,1-7)2 +(6,2-7)2 +(3,4-7)2 +(8,5-7)2 +(6,0-7)2 +(7,0-7)2 +(5,0-7)2 +(8,0-7)2 +(9,0-0)2 +(9,5-7)2 +(7,5-7)2 ]/12 = 2,98

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент вариации равны:

= 1,73, V= 1,73/7 = 0,25.

Аналогичные расчеты можно произвести для ценной бумаги Y:

σ2= 168,58, σу= 12,98, V= 12,98/22,1 = 0,59.

Таким образом, мы видим, что инвестирование в ценные бумаги У связано с существенно более высоким риском. Так если стандартное отклонение доходности бумаг Х составляет всег7о 1,73%, то У – 12,98%. На единицу доходности у бумаг У приходится примерно вдвое больший риск, чем у бумаг Х.

Рассмотрим еще один пример. Имеется два проекта А и В. Проект А связан с инвестициями в приобретение оборудования для производства продукции на достаточно стабильном рынке. Проект В предполагает инвестиции в производство высококачественного и дорогостоящего продукта, спрос на который имеет высокую чувствительность к экономической ситуации.

Ожидаемая доходность обоих проектов равна нулю в случае рецессии, а в случае высоких темпов роста экономики доходность проекта А составляет – 10%, а проекта В – 15%. Значения ожидаемой доходности для различных состояний экономики представлены в таблице.

Взвешенное значение доходности получается путем умножения прогнозируемой для каждого состояния экономики доходности на вероятность данного состояния. Сумма этих взвешенных значений дает ожидаемую доходность, которая для проекта А составляет 6%, а для проекта В – 7%.

Таблица

Вероятность получения дохода

Состояние экономики

Годовая доходность

Вероятность

Состояния %

Взвешенная доходность

А

В

А

В

Рецессия

Слабый рост

Умеренный рост

Высокие темпы роста

0

6

8

10

0

5

10

15

20

30

40

10

0

1,8

3,2

1,0

6,0

0

1,5

4,0

1,5

7,0

Для проекта А разность между максимальным и минимальным доходом составляет 10%, а для проекта В – 15%.  Расчет дисперсии и стандартного отклонения для проектов А и В представлен в таблицах.

Таблица

Стандартное отклонение для проекта А

Состояние экономики

Прогнозируемая доходность

Вероятность

состояния %

Взвешенная доходность

Отклонение доходности

Квадрат отклонения доходности

Взвешенный квадрат отклонения

Рецессия

Слабый рост

Умеренный рост

Высокие темпы роста

0

6

8

10

20

30

40

10

0

1,8

3,2

1,0

-6,0

0

+2,0

+4,0

0,0036

0

0,0004

0,0016

0,00072

0,0

0,00016

0,00016

Ожидаемое значение

= 6%

Дисперсия

0,00104

Стандартное отклонение = √0,00104 = 0,03225

Таблица

Стандартное отклонение для проекта В

Состояние экономики

Прогнозируемая доходность

Вероятность

Состояния %

Взвешенная доходность

Отклонение доходности

Квадрат отклонения доходности

Взвешенный квадрат отклонения

Рецессия

Слабый рост

Умеренный рост

Высокие темпы роста

0

5

10

15

20

30

40

10

0

1,5

4,0

1,5

-7,0

-2,0

+ 3,0

+8,0

0,0049

0,0004

0,0009

0,0064

0,00098

0,00012

0,00036

0,00064

Ожидаемое значение

= 7%

Дисперсия

0,00210

Стандартное отклонение = √0,00210 = 0,04583

Расчеты показывают, что стандартное отклонение доходности для проекта А составляет 0,03225 (3,2 %), а для проекта В – 0,04583 (4,6%). Таким образом, реализация проекта В связано с большим риском.

Стандартное отклонение дает нам возможность оценить, насколько выше или ниже ожидаемой величины может быть действительная величина нормы прибыли. Для «А» это составляет 3,2%, для «В» — 4,6%. Это означает, что акции «В» являются более рисковыми, чем акции «А».

Если вероятность распределения является нормальной, то имеется 68 % вероятности того, что действительная отдача будет находиться в пределах ± одного стандартного отклонения, 95% - в пределах ± 2 и 99% - ± 3 стандартных отклонений. Таким образом, для акций «А» действительная норма прибыли будет колебаться в пределах от 2,8% (6% - 3,2%), до 9,2 (6% + 3,2%), а для акций «В» диапазон колебаний нормы прибыли будет находиться от +2,4% до +11,6%. (примерно с вероятностью 68%)

+3а

-За      -20 -1ст R +1а +2а

Рис. 11.8. Кривая нормального распределения

Соотношение риска и доходности ценных бумаг

Среднее значение и стандартное отклонение являются важными показателями рисковых активов. Среднее значение характеризует ожидаемую доходность, а стандартное отклонение - связанный с этим риск. Большинство инвесторов при этом исходят из того, что чем большую величину риска имеет актив, тем большее значение должна иметь ожидаемая доходность. Эти предпочтения инвесторов представлены в виде следующего графика.

Ожидаемая

доходность

Нулевой риск

Низкий риск

Высокий риск

Рис. Соотношение между риском и доходностью

Для иллюстрации зависимости между доходностью и риском в таблице представлены средние значения доходности и риска ценных бумаг США за ряд лет.

Средние значения доходности и риска ценных бумаг (США)

Тип ценных бумаг

Средняя доходность

Стандартное отклонение

Обыкновенные акции

Корпоративные облигации Государственные облигации

12,1

5,3

3,6

20,9

8,4

3,3

Самым рисковым активом являются акции корпораций. При этом они имеют и наибольшую доходность. Так, например, в 1952 году средний курс акций вырос на 52%, а в 1931 – упал на 43%. Наименьший риск имеют государственные облигации, корпоративные облигации имеют промежуточное значение риска.

В предыдущем параграфе мы познакомились с тем, как определяется доходность различных видов ценных бумаг. Что касается конкретных значений величины доходности, то диапазон их колебаний является достаточно широким и зависит как от типа ценных бумаг (долговые обязательства или акции), так и от срока действия и эмитента долговых бумаг.

В табл. 11.10 представлены результаты расчетов доходности различных видов ценных бумаг, произведенных американской компанией «Ibbotson associates» за период с 1926 г. по 1988 г.

Таблица 11.10

Средние значения доходности ценных бумаг в 1926—1988 гг.

(% в год)

Категория ценных бумаг 

Среднегодовая норма прибыли 

Средняя премия за риск 

номинальная 

реальная 

Казначейские векселя 

3,6 

0,5 

0 

Государственные облигации Корпоративные облигации Обыкновенные акции 

4,7

5,3

12,1 

1,7

2,4

8,8 

1,1

1,7

8,4 

Источник: Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов / Пер. с англ. М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 1997. С. 140.

Как следует из таблицы, наиболее низкую доходность имели краткосрочные ценные бумаги (казначейские векселя). Их реальная доходность (с учетом поправки на инфляцию) составила всего 0,5% годовых. Государственные краткосрочные облигации считаются безрисковыми инструментами, поэтому не имеют рисковой премии.

Срок действия ценной бумаги является фактором, оказывающим существенное влияние на доходность. Когда срок действия финансового инструмента увеличивается, уровень доходности обычно возрастает. С точки зрения инвестора это вполне объяснимо, так как отдавая деньги на длительный срок, инвестор подвергается большему риску. В случае повышения процентной ставки по краткосрочным обязательствам долгосрочные вложения могут обесцениться и оказаться менее прибыльными. Вот почему даже государственные долгосрочные облигации (срок действия более одного года) должны иметь более высокую доходность по сравнению с государственными краткосрочными облигациями. Корпоративные облигации, которые имеют более высокую степень риска по сравнению с государственными облигациями, имеют и более высокую премию за риск.

Инвесторы, которые вкладывают свои средства в обыкновенные акции, принимают на себя дополнительный риск, а потому должны получать более высокую прибыль на свои вложения. Как следует из табл. 11.10, дополнительная доходность обыкновенных акций по сравнению с казначейскими векселями (которая представляет собой премию за риск) в период 1926—1988 гг. составила 8,4%.

Из сказанного можно заключить, что доходность ценных бумаг тесно связана со степенью их риска. Иными словами, эффективность вложений в ценные бумаги (как, впрочем, и в другие активы) следует оценивать как с точки зрения приносимого дохода, так и возможного риска. Доходность и риск — это параметры, характеризующие инвестиционные качества ценных бумаг.

Большинство инвесторов, как свидетельствуют многочисленные обследования, действительно не расположены к риску. Если взять «среднего инвестора» (что является чисто теоретическим понятием), то он не расположен к риску. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что инвесторы не расположены к риску.

Рейтинги ценных бумаг

Общий риск, связанный с осуществлением любых видов инвестиций, в том числе и инвестиций в ценные бумаги, происходит из многих источников. Действие всего множества факторов определяет совокупный риск вложений в ценные бумаги. В принципе, все источники риска в той или иной мере связаны друг с другом, поэтому невозможно определить риск, который происходит от каждого отдельного источника.

Для владельца долговой ценной бумаги важнейшее значение имеет риск неплатежа, заключающийся в том, что заемщик не сможет произвести процентные платежи и погашение основной суммы долга. Чем выше вероятность неплатежа, тем выше должен быть уровень доходности ценных бумаг. Государственные ценные бумаги, которые считаются наиболее надежными по степени риска инструментами, как правило, имеют наиболее низкую доходность. Уровень доходности ценных бумаг возрастает по мере повышения степени их риска

В странах мирового сообщества имеется ряд аналитических компаний, которые на основе анализа финансового состояния и платежеспособности эмитента оценивают качество долговых ценных бумаг и привилегированных акций, и в соответствии с этим относят выпущенные различными эмитентами ценные бумаги к тому или иному классу. Наиболее известны рейтинги долговых ценных бумаг, производимых рейтинговыми агентствами Moody's, Standard & Poor's и Fitch.

В табл. 11.11 представлена применяемая первыми двумя агентствами классификация облигаций.

Облигации первых трех категорий — это облигации высокого качества. Вероятность получения процентов и основной суммы долга по этим облигациям высокая. Облигации четвертой категории («Ваа» и «ВВВ») имеют среднюю вероятность выплаты процентов и основной суммы долга. По мере продвижения «вниз» рейтинговой шкалы вероятность неплатежа по облигациям увеличивается, и инвестиции в них приобретают все более спекулятивный характер. Категория «С» характеризуется отсутствием выплаты процентов по облигациям, а категория «D» означает состояние дефолта.

Таблица 11.11

Рейтинг облигаций

Категория 

Интерпретация рейтинга 

Moody's 

Standard & Poor's 

Ааа 

ААА 

Наивысшее качество 

Aal Аа2 АаЗ 

АА+ АА АА- 

Высокое качество 

А1 А2 A3 

А+ А А- 

Качество выше среднего, инвестиции надежны 

Baal Ваа2 ВааЗ 

ВВВ+ ВВВ ВВВ- 

Среднее качество 

Bal Ва2 ВаЗ 

ВВ+ ВВ ВВ- 

Посредственное качество, высокая неопределенность 

В1 В2 ВЗ 

в+ в в- 

Спекулятивные 

Саа 

ССС+

ссс ссс- 

Низкое качество, высокоспекулятивные 

Са С 

сс с 

Самое  низкое  качество,   очень  вероятно  невыполнение обязательств 

D 

Просрочены;   невыплата  процентов   и  основной долга 

суммы 

В каждой категории рейтинга выделяются три уровня, что обозначается цифрами 1, 2, 3 в рейтинге агентства Moody's или знаками плюс (+), минус (-), без знака в рейтинге Standard & Poor's, которые ставятся после буквенного обозначения. Цифра 1 и знак (+) означают более высокий уровень рейтинга, по сравнению с цифрой 3 и знаком (-).

Рейтинговой оценке подвергаются не только корпоративные облигации, но и долговые обязательства отдельных государств. О том, как менялся рейтинг долговых обязательств России, дает представление табл. 11.12.

Таблица 11.12

Кредитный рейтинг России

Standard & Poor's 

Moody's 

Дата 

Валютный долг (дол-госр./краткоср.) 

Валютный долг (долгосрочный) 

Рублевый долг (долгосрочный) 

4.10.1996 19.12.1997 

ВВ-/В ВВ-/В 

Ва2 

11.03.1998 

ВаЗ 

27.05.1998 29.05.1998 

ВВ-/В 

В1 

В2 

9.06.1998 

в+/в 

13.08.1998 17.08.1998 21.08.1999 

В-/С

ссс/с 

ВЗ 

Са 

16.09.1998 5.01.2000 

ССС-/С 

Саа2 

13.11.2000 

В2 

ВЗ 

8.12.2000 27.06.2001 5.09.2001 

в-/с в/в 

В2 

ВЗ 

4.10.2001 29.11.2001 

в/в в/в 

В2 

В1 

Источник:  Ведомости. 2001. 30 нояб.

Понижение кредитного рейтинга приводит к снижению цен на долговые обязательства, в то время как повышение рейтинга сопровождается ростом цен. Так, после того, как агентство Moody's 29 ноября 2001 г. объявило о повышении кредитного рейтинга России с В2 до ВаЗ, котировки российских 30-летних облигаций выросли сразу на один процентный пункт — с 52,5% до 53,5% от номинала. Обычно повышение рейтинга страны приводит к росту котировок не только на облигации, но и на акции и депозитарные расписки страны-эмитента.

Доходность и риск портфеля ценных бумаг 

Основные понятия и цель формирования портфеля

При осуществлении инвестиционной деятельности инвесторы могут вкладывать средства не в один, а несколько объектов, формируя тем самым некую совокупность объектов инвестирования.

Инвестиционным портфелем называют сформированную в соответствии с целями инвестора совокупность объектов инвестирования, которая рассматривается как целостный объект управления. Распределяя свои вложения по разным объектам, инвестор может достичь более высокого уровня доходности своих вложений либо снизить степень их риска.

Главная цель формирования портфеля состоит в достижении оптимального сочетания между риском и доходностью. Рациональный инвестор стремится к тому, чтобы снизить до минимума риск потерь при заданном уровне доходности или обеспечить максимальную доходность при заданном уровне риска.

Снижение риска посредством диверсификации

Рисковые ценные бумаги могут комбинироваться таким способом, что их комбинация, называемая портфелем ценных бумаг будет иметь меньший риск, чем его составляющие. Рассмотрим следующий пример (см. табл.). Имеются две компании, расположенные на Северном Кавказе. Первая производит и продаем средства для загара, а вторая зонты от дождя. Объем продаж и прибыль компании А существенно выше в солнечные годы. Соответственно выше и доходность акций. Объем продаж, прибыль и доходность компании В солнечные годы наоборот существенно снижается.

Приобретение акций одной из компаний А или В связано с большим риском. В нашем примере доходность инвестиций в акции компаний будет изменяться от 33% до -9%, в зависимости от погодных условий.

Погодные условия

Доходность акций R

Компания А:

Производитель средства для загара

Солнечный год

Нормальный год

Дождливый год

33%

12

-9

Компания В:

Производитель зонтов

Солнечный год

Нормальный год

Дождливый год

-9%

12

33

Доходность портфеля, состоящего из акций А (50%) и В (50%).

Rp=0,5*Ra+0,5*Rb

Портфель акций А и В

Солнечный год

Нормальный год

Дождливый год

0,5*33%+0,5*(-9%)=12%

0,5*12%+0,5*12=12%

0,5*(-9%)+0,5*33%=12%

Предположим, что вместо приобретения одной из ценных бумаг, инвестор вкладывает половину своих средств в акции компании А, а другую половину - в акции В. В результате в дождливый год инвестиции в размере 50 тыс. руб. в акции А дают убыток в размере 4,5 тыс. руб., а в акции В доход – 16,5 тыс. руб. Доходность портфеля в этом случае составит

Rp = (-4,5+16,5)/100 = 12%.

Анализ показывает, что доходность портфеля остается постоянной вне зависимости от погодных условий. Таким образом, комбинация двух рисковых активов позволяет сформировать портфель с заданным уровнем доходности. Рассмотренный пример демонстрирует возможность снижения риска посредством диверсификации. В данном случае риск оказался полностью устраненным, так как доходность ценных бумаг А и В изменялась строго противоположным образом. На практике такая ситуация является достаточно редкой. Ценные бумаги большинства компаний имеют схожие тенденции изменения, и поэтому полное устранение риска невозможно.

Портфельный анализ

Вкладывая средства в различные ценные бумаги, инвестор формирует портфель инвестиций. Он стремится сформировать этот портфель так, чтобы при требуемой им доходности снизить риск либо при данном приемлемом уровне риска повысить доходность.

Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля определяется как средневзвешенная величина ожидаемых доходностей активов, включенных в портфель:

Rp = R1*W1+ R2*W2+… + Rn*Wn,

где Ri – доходность i-й ценной бумаги, Wi – доля инвестиций в i-ю бумагу.

Риск портфеля в целом измеряется при помощи дисперсии и стандартного (среднеквадратичного) отклонения портфеля.

Для расчета дисперсия портфеля, состоящего из n ценных бумаг, используется формула:

2  =  Wi * Wj ,

где – ковариация ценных бумаг i и j, Wi,Wj.– их удельные веса.

Для случая двух ценных бумаг последнее выражение преобразуется к виду:

2  =  Wi * Wj ,  = *W12 +*W22 +2**W1* W2

Ковариация характеризует взаимосвязь двух случайных величин. Формула для вычисления ковариации имеет примерно такой же вид, как и для вычисления дисперсии:

 = (Rxк - Rcx)*(Ryк - Rcy)*Pi,

Где  ковариация между ценными бумагами х и у; Rxк, Ryк – норма дохода по акциям Х и У; Rcx, Rcy – ожидаемая норма дохода по ценным бумагам х и у; п - число вариантов (наблюдений), Pi.- вероятность i – го состояния.

Главное отличие ковариации от дисперсии  состоит в том, что в ней присутствуют параметры двух активов Х и У. Ковариация характеризует степень взаимосвязи их изменения. Если активы имеют тенденцию изменяться в одном и том же направлении, то говорят, что они имеют положительную ковариацию, если активы изменяются разнонаправлено, то они имеют отрицательную ковариацию, если они изменяются независимо друг от друга, то ковариация между ними равна нулю.

Рассмотрим процедуру расчета ковариации активов А и В (см. табл.)

Состояние экономики

Вероятность

состояния %

Доходность актива

А

Отклонение от среднего

Доходность актива

В

Отклонение от среднего

Произведение

отклонений

Взвешенное произведение

Рецессия

Слабый рост

Умеренный рост

Высокие темпы роста

20

30

40

10

0,0

0,06

0,08

0,10

-0,06

0,0

+0,02

+0,04

-0,0

0,05

0,10

0,015

-0,07

-0,02

+0,03

0,08

0,0042

0,0

0,0006

0,0032

0,00084

0,0

0,00024

0,00032

Ковариация

0,0014

Процедура расчета ковариации включает расчет среднего значения для каждого актива, отклонений от среднего значения и произведения отклонений. Далее рассчитывается взвешенное по вероятности произведение отклонений и значение ковариации. Ковариация является показателем взаимосвязи двух переменных. В данном примере она является положительной. Это означает, что доходность активов А и В имеет тенденцию изменяться в одном направлении.

Проблема использования показателя ковариации состоит в сложности содержательной интерпретации его числового значения. В связи с этим наибольшее практическое применение получил такой показатель взаимозависимости двух переменных, как коэффициент корреляции, который определяется из следующего соотношения:

CRxy = /(),

где - стандартное отклонение доходности ценных бумаг.

Коэффициент корреляции является нормированным показателем и его значение лежит в диапазоне от -1 до +1. Если CRxy = -1, то это означает, что значения доходности активов изменяются строго в противоположных направлениях, а ели - +1, строго в одном направлении. Значения коэффициента корреляции, находящиеся между двумя крайними значениями характеризует определенный уровень взаимосвязи между ценными бумагами.

В нашем примере коэффициент корреляции равен

CRав = в/() = 0,0014/(0,3225*0,04583) = 0,95

Таким образом, активы А и В имеют примерно одинаковый характер изменения, т.е. между ними существует сильная взаимосвязь.

Рассчитаем показатели дисперсии и стандартного отклонения портфеля при условии равенства удельных весов ценных бумаг в портфеле

2 = 2 Wx2 + 2 Wу2 +2*(** Wx* Wу*Corxy)

 = 2  

2 = (0,5)2 *0,00104 + (0,5)2 *0,0021 +2*(0,5)*(0,5)*(0,0014)=0,001485.

 = 0,001485 = 0,0385

Таким образом, в данном примере стандартное отклонение портфеля находится в интервале между стандартными отклонениями активов А и В.

Взаимосвязь между ковариацией и стандартным отклонением портфеля

Проанализируем полученное выше выражение для вариации портфеля, состоящего из двух ценных бумаг Х и У:

2  = *Wх2 +*Wу2 +2**Wх* Wу

В данной формуле первый и второй члены представляют вклад вариации активов Х и У в вариацию портфеля. Они всегда имеют знак плюс и, поэтому, этот вклад будет неотрицательным.

Третий член формулы содержит показатель ковариации активов и является ключевым при анализе влияния диверсификации на снижение риска. Ковариация может быть положительной, отрицательной или равной нулю в зависимости от характера изменения активов Х и У. Для анализа влияния величины ковариации на риск портфеля рассмотрим три ситуации:

  1.  Наибольшая положительная ковариация.
  2.  Наибольшая (по абсолютной величине) отрицательная ковариация.
  3.  Ковариация, находящаяся между этими двумя крайними случаями.

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение активов Х и У представлены на рисунке.

Rp

Y

Ry

1

Rx

X

Актив У имеет наибольшую доходность и наибольшее стандартное отклонение. Линии, соединяющие точки Х и У, характеризуют возможные портфели, которые могут быть сформированы из активов Х и У при различных их удельных весах. Например, точки, расположенные вблизи точки Х соответствуют портфелям, сформированным в основанном из активов Х, а вблизи У – из активов У.

Рассмотрим случай полной положительной ковариации активов. Коэффициент корреляции в этом случае близок к единице. Возможные значения доходности и стандартного отклонения портфеля для этого случая представлены на рисунке пунктирной линией, которая является прямой, соединяющей точки Х и У. Риск портфеля в этом случае является взвешенной суммой рисков составляющих портфель активов. Таким образом, при полной положительной ковариации активов эффект снижения риска вследствие диверсификации отсутствует. Обусловлено это тем обстоятельством, что все изменения доходности осуществляются строго в одном направлении.

Рассмотрим далее случай полной отрицательной ковариации между активами. В этом случае коэффициент корреляции равен -1. Штриховая линия, соединяющая точки Х и У позволяет вычислить стандартное отклонение и ожидаемое значение портфеля, которые можно получить при различных комбинациях активов Х и У при их полной отрицательной ковариации. Следует отметить, что ломаная линия, соединяющая точки Х и У в этом случае пересекает вертикальную ось. В точке пересечения стандартное отклонение равно нулю. Рассматриваемый случай полной отрицательной ковариации означает, что изменения активов происходит строго в противоположных направлениях. Следствием этого является снижение риска портфеля и даже его полное устранение.

Рассмотрим далее случай, когда корреляция активов имеет значение промежуточное между рассмотренными крайними случаями. На графике данная ситуация представлена сплошной линией. Этот вариант является более реалистичным, чем случаи полной положительной или полной отрицательной ковариации. Он соответствует ситуации, когда изменение активов происходит достаточно независимо друг от друга. Кривая, представленная сплошной линией иллюстрирует тот факт, что комбинирование рисковых активов в портфеле позволяет получить определенный эффект в плане снижения риска при условии, что эти активы не имеют полную положительную ковариацию. Следует отметить, что сплошная линия в данном случае не пересекает вертикальную ось и поэтому риск полностью не устраним.

Ключевым вопросом портфельного анализа является вопрос о том, какие виды риска могут быть устранены путем диверсификации. Риск, который может быть устранен посредством диверсификации, называется диверсифицируемым риском. Однако не все виды риска могут быть устранены таким образом. Риск, который остается в достаточно хорошо диверсифицированном портфеле называется недиверсифицируемым. Этот вид риска называют также систематическим или рыночным риском.

Пример. Мы сформировали портфель из акций двух компаний Х и У. Эти ценные бумаги характеризуются следующими показателями доходности и риска: = 5%, = 10%, Rх = 15%, Rу = 18%. Мы видим, что акция с большей доходностью обладает и большим риском. Необходимо определить границы доходности и риска портфеля, составленного из данных акций, при значениях коэффициента корреляции: а) CRху = -1, б) CRху = 1, в) CRху = 0.

Анализ будем проводить для портфелей, структура которых представлена в следующей таблице:

Наименование

акции

Номер варианта структуры портфеля

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Х

0

10

20

33

50

67

80

90

100

У

100

90

80

67

50

33

20

10

0

Для расчета значения доходности и риска портфеля будем использовать следующие соотношения:

Rp = Rх*Wх+Rу*Wу

 = (2*Wх2 +2*Wу2 +2*Wх* Wу***CRxy)1/2

Результаты расчета доходности и риска портфеля представлены в таблице и на рисунке.

Номер портфеля

Доходность портфеля Rp

Риск портфеля

CRxy = -1

CRxy = 0

CRxy = 1

1

18

10

10

10

2

17,7

8,5

9

9.5

3

17,4

7

8,1

9

4

17,0

5,1

6,9

8,4

5

16,5

2,5

5,6

7,5

6

16,0

0

4,7

6,7

7

15,6

2

4,5

6

8

15,3

3,5

4,6

5,5

9

15

5

5

5

Результаты расчетов в данном примере подтверждают проведенный ранее качественный анализ характера зависимости доходности и риска портфеля для случаев полной положительной ковариации, полной отрицательной ковариации и ковариации находящейся между этими двумя крайними случаями.

Оптимизация портфеля, состоящего из двух ценных бумаг

Как было показано ранее доходность и среднеквадратичное отклонение портфеля, состоящего из двух активов определяется следующими соотношениями:

Rp = R1*W1+R2*W2

 = (2*Wх2 +2*Wу2 +2*Wх* Wу***CRxy)1/2

Рассмотрим задачу определение структуры портфеля, обеспечивающего минимальный уровень риска. Обозначим за W – доля актива Х в портфеле, тогда (1- W) будет доля актива У. С учетом этого выражение для стандартного отклонения портфеля будет иметь вид:

 = (2* W 2 +2*(1- W)2 +2* W * (1- W)***CRxy)1/2

При заданных значениях  и CRxy величина стандартного отклонения портфеляявляется функцией W. Необходимым условием экстремума функции является равенство нулю ее первой производной. Продифференцируем данную функция по переменной W и приравняем первую производную к нулю:

(2*2* W – 2*2*(1- W) +2* (1-2 W)***CRxy)1/2)          =0

2*(2* W 2 +2*(1- W)2 +2* W * (1- W)***CRxy)1/2

Из данного выражения получаем

W = (2 - **CRxy)/( 2+ 2- 2**CRxy)

Полученное выражение позволяет определить удельный вес активов в портфеле, обеспечивающий минимальный риск.

Рассмотрим ряд частных случаев.

  1.  Между активами имеет место наибольшая отрицательная ковариация, т.е CRxy = -1.

Выражение для удельного веса актива Х в этом случае будет иметь вид

W = (2 + *)/( 2+ 2+ 2*) = /(+)

1- W  =  /(+)

Для нахождения среднеквадратичного отклонения портфеля необходимо подставить полученные выражения для удельных весов активов в исходное выражение для

 = (2*Wх2 +2*Wу2 +2*Wх* Wу***CRxy)1/2

 = (2*[/(+)]2 +2*[/(+)]2-2*[/(+)]* [/(+)]**)1/2 = 0.

Таким образом, при абсолютной отрицательной ковариации между активами можно определить такие их удельные веса, что риск портфеля будет равен нулю.

2. Рассмотрим далее случай ковариации активов равной нулю, т.е. CRxy = -0.  Подставляя в выражение

W = (2 - **CRxy)/( 2+ 2- 2**CRxy)

CRxy = -0,  Получим

W = (2 )/( 2+ 2)

1- W = (2 )/( 2+ 2)  

Риск портфеля в этом случае будет равен

= */( 2+ 2)1/2

  1.  Третий случай будет соответствовать абсолютной положительной ковариации активов Х и У. Подставим в выражение

W = (2 - **CRxy)/( 2+ 2- 2**CRxy)

CRxy = 1,  Получим

W = /( -)

1- W = - /( -)

Минимальный риск портфеля в этом случае достигается при отрицательном удельном весе одного из активов в портфеле.

Пример. Рассмотрим две ценные бумаги Х и У. Их среднемесячная доходность представлена в таблице.

Доходность

Х

5,5

8,1

6,2

3,4

8,5

6,0

7,0

5,0

8,0

9,0

9,5

7,5

У

10

30

20

40

25

10

5

30

10

15

50

20

Средняя доходность активов Х и У будет равна:

Rcx = (5,5+8,1+6,2+3,4+8,5+6,0+7,0+5,0+8,0+9,0+9,5+7,5)/12 = 7,0

Rcу = (10+30+20+40+25+10+5+30+10+15+50+20)/12 = 22,1

Среднеквадратичное отклонение доходности ценных бумаг и коэффициент корреляции равны:

= 1,8, = 13,6, CRxy = 0,026.

Доходность и риск портфеля в зависимости от вариантов его формирования представлены в таблице:

Варианты портфелей ценных бумаг Х и У

Параметры

Варианты формирования портфеля

1

2

3

4

5

6

7

Х

У

Rp

0

100

22,1

13,6

10

90

20,6

12,2

30

70

17,6

9,5

50

50

14,6

6,9

70

30

11,5

4,3

90

10

8,5

2,1

100

0

7,0

1,8

Оптимизация портфеля по Марковицу

Подход Марковица к проблеме выбора портфеля предполагает, что инвестор старается решить две проблемы: максимизировать ожидаемую доходность при заданном уровне риска и минимизировать риск при заданном уровне ожидаемой доходности.

 Выше было показано, что если портфели формируются из двух активов, то все возможные их комбинации (при данном коэффициенте корреляции) располагаются на некоторой кривой или прямой. В том случае, когда в состав портфелей включается несколько активов, их совокупность образует некоторую область. Эта область называется допустимым (достижимым) множеством (см. рис.). Число возможных портфелей, принадлежащих этой области равно бесконечности. Все они лежат либо на границе, либо внутри допустимого множества. У инвестора, однако, не возникает необходимости проводить анализ всех портфелей.

Рис. Достижимое множество портфелей

Отдельные точки внутри допустимой области, например точка А, характеризуют возможные портфели, состоящие из какого-то количества активов. Видно, что портфели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекательности для инвестора. Наиболее привлекательными портфелями являются те, которые расположены на левой верхней границе допустимого множества, т.е. находящиеся на кривой, проходящей через точки D, С, В. Так, например, рациональный инвестор предпочтет портфель С портфелю E, так как первый имеет большую доходность при том же самом уровне риска. Инвестор также предпочтет портфель D портфелю E, так как D имеет меньший риск при том же уровне доходности. Аналогичным образом можно показать, что из всего множества портфелей из допустимой области рациональный инвестор будет выбирать только портфели, находящихся на кривой D, С, В.

Множество портфелей, находящихся на кривой D, С, В - называется эффективным множеством. Эти портфели обеспечивают максимальную доходность при заданном уровне риска и минимальный риск при заданном уровне доходности. Таким образом, инвестор при формировании оптимального портфеля должен выбирать его не из всего допустимого множества, а только из эффективного множества.

Оптимальный портфель выбирается из эффективного множества в соответствии с отношением инвестора к риску. Например, инвестор менее склонный к риску выберет портфель соответствующей точке C, а инвестор более терпимый к риску - портфель B. Характер взаимосвязи между доходностью и риском, обусловленный отношением инвесторов к риску может быть представлен в виде кривых безразличия. Такие кривые 1 и 2 изображены на рисунке. Важнейшим их свойством является то, что все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Следует иметь в виду, что кривые безразличия являются индивидуальными для каждого инвестора.

Точка касания кривой безразличия эффективного множества определяет оптимальный портфель. Поскольку у разных инвесторов наклон кривых безразличия неодинаков, то на одном эффективном множестве каждый из них выберет свой оптимальный портфель. Кривая безразличия 1 (см. рис.) характеризует более осторожного инвестора, кривая 3 — менее осторожного.

Мы рассмотрели задачу выбора оптимального портфеля на качественном уровне. Далее рассмотрим модель оптимизации инвестиционного портфеля, разработанную Марковицем. Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности.

Диверсификация Марковица основана на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе — функция Лагранжа.

В качестве целевой функции в данной задаче выступает минимум дисперсии

2  =  Wi * Wj ,             min    

где – ковариация ценных бумаг i и j.

В качестве ограничения выступает  средняя доходность портфеля

Rр = RiWi,

где Ri , Wiдоходность и удельный вес включенной в портфель i – ой ценной бумаги.

При этом сумма удельных весов бумаг должна быть равна 1, т.е.

Wi. = 1.

Для того, чтобы найти решение такой задачи вводят набор переменных λ1 и λ2, называемых множителями Лагранжа и составляется функция Лагранжа:

L=  Wi * Wj +λ1 *(RiWi - Rр)+ λ2 *(Wi. - 1),

где λ1, λ2— множители Лагранжа.

Структура портфеля, имеющего минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

dL/dWi =0

dL/d λк, =0.

где к = 1,2.

Данная система уравнений представляет собой модель, позволяющая определить структуру оптимального портфеля.

Пример. Необходимо сформировать портфель из двух ценных бумаг Альфа и Омега, обладающий минимальным риском. Бумаги имеют следующие показатели доходности и риска: RА = 12%, RО = 5.1%, = 21.1%, = 8.3%., коэффициент корреляции равен 0.18. Доходность портфеля Rр должна составлять 8.9%. Функция Лагранжа для данной задачи будет иметь вид

L = *WА2 +**WО2 +2*WА * WО*+ λ1 *( RАWА + RОWОRр)+ λ2 *(WА+. WО  – 1).

dL/dWА = 2*WА +2* WО*+ λ1 * RА + λ2 = 0

dL/dW2 = 2*WА +2* WО*+ λ1 * RО + λ2 = 0

dL/d λ1, = RАWА + RОWОRр  = 0.

dL/d λ2, = WА+. WО  - 1 =0

Представим данную систему уравнений в матричном виде:

2

2

RА

1

WА

0

2

2

RО

1

*

WО

=

0

RА

RО

0

0

λ1

Rр

1

1

0

0

Λ2

1

2

2

RА

1

WА

0

2

2

RО

1

*

WО

=

0

RА

RО

0

0

λ1

Rр

1

1

0

0

Λ2

1

Если обозначить матрицу через Н, вектор – через А и вектор в правой части – через G, то получим уравнения в матричной форме:

Н*А = G,

А = Н-1* G.

Рассмотрим далее задачу для случая портфеля состоящего из трех ценных бумаг:

L = *W12 +*W22 +*W32 +2*W1 * W2*+2*W