Интерполирование функций полиномами

Описание: Исследовать зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона. Это даёт возможность при любом значении вычислить величину абсолютной ошибки интерполирования 3 и таким образом провести полное исследование зависимости точности интерполирования от количества узлов интерполирования m и расположения точки x относительно...

Дата добавления: 2014-06-16

Размер файла: 97.49 KB

Работу скачали: 9 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра технической кибернетики

ОТЧЁТ

По лабораторной работе №2

“Интерполирование функций полиномами.”

Выполнил: студент гр. А-22д

Литус И.В.

Проверил: старший преподаватель

Захаров В.В.

Севастополь

2011

1 ЦЕЛЬ РАБОТЫ

•     Освоить методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов.
•     Изучить свойства интерполяционного полинома Ньютона.
•     Исследовать зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона.

2 ВАРИАНТ ЗАДАНИЯ

№ варианта	С1	С2	С3	С4	С5	Форма Fm(x)
9	0	0,5	4,6	-1,87	0,65	Ньютон

3 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Интерполирование - это приближённое определение значений функции f(x) в промежуточных точках заданного замкнутого интервала xB  x  xE  изменения её аргумента x по известным значениям f(x1), f(x2),…, f(xm). Значения аргумента xi[xB, xE] , i=1,2…,m  интерполируемой функции f(x) называются узлами интерполяции.

Интерполирование функции f(x) полиномом означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(k)(xi) = Fm(k)(xi) ,  i = 1,2,…,m ,  k = 0,1,…,mi-1 . (1)

Здесь f(k)(xi) – известные значения функции f(x) и её производных k- ого порядка f(k)(x) в узлах интерполяции, а mi – кратность i- ого узла. Если mi=1, i-тый узел называется простым. 

Интерполирование функций f(x) полиномом с простыми узлами (mi=1, i =1,2,…,m) означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(xi) = Fm(xi) ,  i = 1,2,…,m .

Функция

,                                                                         (2)

для которой необходимо построить интерполяционный полином Fm(x) в форме Ньютона на интервале 0  x  1 изменения аргумента x, задана аналитически. Это даёт возможность при любом значении x[0,1] вычислить величину абсолютной ошибки интерполирования

                                                                         (3)

и, таким образом, провести полное исследование зависимости точности интерполирования от количества узлов интерполирования m и расположения точки x относительно узлов интерполирования xi. Значения коэффициентов c1, c2, c3, c4, c5 и форма представления интерполяционного полинома определены вариантом задания. Таблица вариантов приведена в разделе «Приложение».

В работе предполагается, что узлы xi - простые и расположены равномерно на интервале [0,1]. При этом первый x1 и последний xm узлы находятся на концах интервала (x1=0,  xm=1), так что шаг интерполирования h (расстояние между двумя соседними узлами) является величиной постоянной на интервале [0,1] и определяется формулой

 h = 1/(m1) ,

а узлы - формулой

xi = (i1) h , i=1,2,…,m .                                                                        (4)

 Интерполяционный полином Лагранжа [1,2] может быть представлен в виде

 

Fm (x) =  ,                                                                         (5)

где

,  i (x,0) = 1 .                                                                       (6)

 Коэффициенты аi интерполяционного полинома Ньютона определяются как решение системы линейных алгебраических уравнений с нижней треугольной матрицей коэффициентов, которая получается при подстановке (5) в (1). В случае равномерного расположения узлов коэффициенты аi определяются аналитически через конечные разности значений функции  f(x)  в узлах интерполирования (4) формулой

  .                                                               (7)

Ошибка интерполирования функции f(x) на интервале обычно оценивается как максимальное значение на этом интервале абсолютной величины ошибки . Поскольку вычислить E(x) во всех точках интервала невозможно, то в работе предлагается вычислить её значение в точках

 zi = (i-1)·0,01 ,  i = 1,2,…,101                                                                                  (8)  

и определить оценку ошибки интерполирования функции на заданном интервале [0,1], как

 e = |E(zi)| .                                                                                                        (9)

4 СХЕМА ПРОГРАММЫ

                                                                                                                                                                                                                                                                                    

                                                                                                       

                                                                                                              

                                        I                                       

                                                                                                          Fm (z) =

                                                                                                

                                                                                                     

                                                                                                   

                                                                                                     emax = |e(zk)|

5 ЛИСТИНГ ПРОГРАММЫ

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

double tochnoe (double x, double *c);

int main ()

{

 int l,k,i,j,m;

 double x,e,a,z,h,emax,tt;

 double c[5],t[100],g[100];

 printf ("Vvedite kol-vo uzlov:");

 scanf("%d",&m);

 printf ("vvedite coefficieti:\n");

 emax=0;

 for (i=0;i<5;i++)

   scanf("%lf",&c[i]);

 h=1/double(m-1);

 t[0]=0;

 g[0]=tochnoe(t[0],c);

 for (i=1;i<=m;i++)

   {

   t[i]=t[i-1]+h;

   g[i]=tochnoe(t[i],c);

   }

 for (i=2;i<=m;i++)

   for (j=m;j>=i;j--)

      g[j]=g[j]-g[j-1];

 tt=1;

 for (k=2;k<m;k++)

   {  

   tt=tt*h*(k-1);

   g[k]=g[k]/tt;

   }

 for (l=0;l<101;l++)

   {

   z=l*0.01;

   x=g[m];

   for (i=m-1;i>0;i--)

     {

     x=g[i]+(z-t[i])*x;

     }

   e=tochnoe(z,c)-x;

   if (emax<fabs(e))

     emax=e;

   if (l%10==0)

     printf("N=%lf f(z)=%lf Fm(z)=%lf E=%lf\n",z,tochnoe(z,c),x,e);

   }

 printf("shag %lf\n",h);  

 printf("osibka %e\n",emax);

 system("pause");

 return 0;

}

double tochnoe (double x, double *c)

 {

  double f;

  int i;

  f=(c[0]*x+c[1])/(x*x*x+c[2]*x*x+c[3]*x+c[4]);

  return f;

 }

6 PЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

При m=3

 

При m=10

При m=20

Рисунок 6.1-графики зависимости значения точного и приближенного значения функции

от узлов интерполирования.

   Из рисунка 6.1 видно что при увеличении узлов интерполирования, решение с помощью полинома Ньютона становится практически равным точному решению.

Рисунок 6.2-графики зависимости ошибки от узлов интерполирования.

 Из рисунка 6.2 видно что при увеличении количества узлов интерполирования ошибка стремится к 0.

ВЫВОД

  

    В ходе лабораторной работы были освоены методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов, а также изучены свойства интерполяционного полинома Ньютона и  исследована зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Ньютона.

   Из рисунка 6.1 видно что при увеличении узлов интерполирования, решение с помощью полинома Ньютона становится практически равным точному решению.

   Из рисунка 6.2 видно что при увеличении количества узлов интерполирования ошибка стремится к 0.