Исследование системы регистрации быстрых сигналов

Изучить и использовать на практике основные теоретические (идеологические) постулаты вариационного исчисления; Закрепить практические навыки по применению функционала пакета Wolfram Mathematica для решения задач вариационного исчисления в аналитическом, численном и графическом виде.

2015-09-08

314.37 KB

1 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-технический институт

Кафедра электроники и автоматики физических установок

Отчёт по лабораторной работе на тему:

«Исследование системы регистрации быстрых сигналов»

Выполнил: студент группы 0712 Столповский Алексей Евгеньевич

Принял: преподаватель Михалевич Сергей Сергеевич

Томск 2014

Цели работы

  1.  Изучить и использовать на практике основные теоретические (идеологические) постулаты вариационного исчисления;
  2.  Закрепить практические навыки по применению функционала пакета Wolfram Mathematica для решения задач вариационного исчисления в аналитическом, численном и графическом виде.

Теоретическая часть

Определение функционала:

Переменная величина V называется функционалом, определенным на некотором классе функций M, если каждой функции y(x) из класса M ставится в соответствие определенное число V  R (v  C), а сам класс M называется областью определения функционала. Для значений функционала v на элементе y = y(x)  M используется символ V = V[y(x)].

Здесь в качестве функционального пространства M рассматривается пространство Ck([a, b]), состоящее из всех функций, определенных на отрезке [a, b] и имеющих непрерывные производные до k-го порядка включительно. Здесь k — некоторое фиксированное число. При k = 0 пространство C0([a, b]) = C([a, b]) есть пространство всех непрерывных на [a, b] функций.

Нормой элемента y(x) Ck([a, b]) называется неотрицательное число

где

Две функции y1(x) и y2(x) из пространства Ck[a, b] называются близкими в смысле близости k-го порядка, если норма их разности  мала на отрезке [a, b]. Другими словами, близость функций y(x) и y1(x) в пространстве Ck ([a, b]) с заданной точностью δ > 0 означает, что   , т.е. что близки не только сами функции, но и их производные до k-го порядка включительно.

Функционал  называется линейным, если для любого λ  R (λ  C) и любых y1(x), y2(x)  K справедливо

Функционал

называется действием, а  – функцией Лагранжа (или лагранжианом).

Каждой функции (траектории)  ставится в соответствие действие . Здесь  – непрерывная функция вместе со всеми своими частными производными до второго порядка включительно. Свойства именно этого функционала и его обобщений обычно изучаются.

Исследуем поведение данного функционала при изменении функции y(x). Пусть y(x) – некоторая исходная функция, а y1(x) – некоторая другая функция, близкая (например, в смысле близости k-го порядка) к y(x). Функцию y1(x) будем называть проварьированной (изменённой, от латинского variatio – изменение) функцией. Существует несколько представлений проварьированной функции y1(x).

Можно, например, ввести понятие вариации аналогично тому, как вводится понятие дифференциала в дифференциальном исчислении.

Приращением, или вариацией, «аргумента» y(x) функционала V[y(x)] называется разность между функциями y1(x) − y(x), y(x), y1(x)  M. Для обозначения используется символ

Тогда проварьированную функцию можно записать как

Символ , согласно определению следует понимать как единый, причём , поскольку производная разности равна разности производных:

Другой подход состоит в том, что функция y(x) в функционале V[y(x)] рассматривается как однопараметрическое семейство

в котором изменение параметра α меняет функцию y(x), т.е. варьирует её. В этом случае сам функционал становится функцией от α, т.е , и его изменение в зависимости от вариации функции y(x) определяется параметром α. При этом вариацию  можно определить как:

и для её произвольности семейство  предполагать произвольным, а не фиксированным.

Обозначим через

где  – линейный по отношению к  функционал, а для функции  при выбранной  справедливо соотношение

Этот предел соответствует оценке

Фнукционал , имеющий вариацию при , называется дифференцируемым при . Для обозначения вариации функционала используется символ

Теорема

Если функционал  дифференцируем в точке , то при любом  функция  как функция числа  (при фиксированных  и ) дифференцируема по  при . Причём вариацию функционала можно определить равенством

Доказательство

Что и требовалось доказать. Здесь мы воспользовались свойством линейности функционала  по .

Ход работы

Задание № 1

В первом задании мы нашли в символьной форме и вычислили приращение функционала, определённого на пространстве C1([a, b]) при различных  и

  1.  
    1.  

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

  1.  

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

  1.   при  и .

Вычисляем приращение аргумента:

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что на промежутке  данный интеграл расходится за счёт слагаемых с  в знаменателе.

Задание № 2

Во втором задании мы доказали, что функционал, определённый на пространстве C1([a, b]) является дифференцируемым в каждой точке этого пространства, то есть он имеет линейную относительно  часть в своём приращении (вариацию).

  1.  

Вычисляем приращение функционала:

Очевидно, что в силу свойства линейности определённого интеграла, приращение функционала линейно относительно , а значит, данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

  1.  

Вычисляем приращение функционала:

Снова используя свойство линейности определённого интеграла, можно показать, что из приращения данного функционала возможно легко выделить линейную часть:

а следовательно данный функционал является дифференцируемым на определённом пространстве.

Можно справедливо заметить, что изучаемый в данной лабораторной функционал – действие (см. теоретическую часть) является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, а следовательно, достаточно рассмотреть общий случай.

Задание № 3

В третьем задании мы вычислили и графически изобразили приращение и вариацию функционала.

  1.  

Вычисляем :

Вычисляем

Вычисляем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):

Вычисляем значение данных функций при различных α:

Таблица 1. Значения функций в точках.

α

-1

-0,6

-0,3

-0,1

-0,05

-0,01

-0,005

-0,001

-0,8

-0,528

-0,282

-0,098

-0,0495

-0,0099

-0,005

-0,001

-1

-0,6

-0,3

-0,1

-0,05

-0,01

-0,005

-0,001

α

0,001

0,005

0,01

0,05

0,1

0,3

0,6

1

0,001

0,005

0,01002

0,0505

0,102

0,318

0,672

1,2

0,001

0,005

0,01

0,05

0,1

0,3

0,6

1

Рисунок 1. График приращения и вариации функционала.

  1.  .

Вычислем :

Вычислем

Вычислем приращение функционала:

Находим вариацию функционала (т.е. выделяю линейную относительно , а следовательно и относительно α часть):

Вычисляем значение данных функций при различных α:

Таблица 2. Значения функций в точках.

α

-1

-0,6

-0,3

-0,1

-0,05

-0,01

-0,005

-0,001

-3,3

-2,309

-1,291

-0,462

-0,235

-0,048

-0,024

-0,005

-4,8

-2,875

-1,437

-0,479

-0,239

-0,048

-0,024

-0,005

α

0,001

0,005

0,01

0,05

0,1

0,3

0,6

1

0,005

0,024

0,048

0,244

0,496

1,595

3,527

6,7

0,005

0,024

0,048

0,24

0,479

1,437

2,875

4,8

Рисунок 2. График приращения и вариации функционала

Из полученных данных следует, что при малых α, а следовательно, при малых приращениях аргумента функционала (подробнее – см. вывод), приращение функционала можно заменить вариацией с незначительной погрешностью.

Задание № 4

При помощи теоремы, описанной в теоретической части нашли вариации заданных функционалов.

  1.  

Вычисляем :

Здесь и в дальнейшем предполагаем, что функция  является непрерывной в области определения и имеет непрерывную первую производную по α. Это необходимое условие внесения операции дифференцирования под знак интеграла.

Вычисляем :

Положив , записываем вариацию функционала:

  1.  

Вычисляем

Вычисляем :

Итак, вариация функционала имеет вид:

  1.  

Вычисляем :

Вычисляем :

Положив  записываем вариацию функционала:

  1.  

Вычисляем :

Вычисляем :

Положив  записываем вариацию функционала:

  1.  .

Вычисляем :

Вычисляем :

Положив  записываем вариацию функционала:

Вывод

В ходе данной работы были изучены и проверены на практике основные постулаты вариационного исчисления, а также закреплены навыки работы с программным пакетом Wolfram Mathematica, то есть, цели работы были достигнуты. Более конкретные выводы приведены ниже:

  1.  Как мы убедились функционал - действие не всегда имеет приращение. Например в случае, если на заданном пространстве интеграл функционала расходится. Однако это не означает, что при этом он не имеет вариации.
    1.  Можно доказать, и мы убедились на частных случаях, что функционал – действие является дифференцируемым в C1([a, b]) при общем виде лагранжиана, то есть, имеет вариацию.
    2.  При достаточно малых приращениях аргумента функционала (в нашем случае при приращении аргумента в 1% и менее) его нелинейное приращение может быть с достаточной степенью точности (до 4 знака после запятой) заменено линейной вариацией. Этот факт может быть использован при выведении теоретических закономерностей и при практических вычислениях.
    3.  Взяв во внимание результаты вычисления вариаций функционалов 4 и 5 четвёртого задания, можно заметить, что функционал, линейную часть приращения которого выделить нельзя, всё равно может иметь вариацию. Иными словами, как написано в методическом пособии, «второе определение [вариации] является более широким».
    4.  Все данные примеры также были посчитаны в пакете Mathematica, их с подробными комментариями можно увидеть в приложении к данной работе. Сразу замечу, что все результаты полностью повторили полученные в данной работе. Для большей наглядности помимо вариаций функционалов четвёртого задания были посчитаны также их приращения.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
14436. Исследование сигналов различных типов 59.95 KB
  Задание: Построить графики сигналов согласно варианту. Для периодических сигналов отобразить два периода. Найти энергию и среднюю мощность сигналов.
12246. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ АЛГОРИТМОВ И УСТРОЙСТВ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ 68 KB
  Успешное воплощение перспектив развития инфокоммуникационных технологий во многом базируется на достижениях цифровой обработки сигналов (ЦОС), призванной решать задачи приема, формирования, обработки и передачи информации в реальном масштабе времени
12902. СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛОВ У РАСТЕНИЙ 24.21 KB
  Кроме того существует межклеточная система по которой происходит взаимодействие пространственно разделенных органов растений. У растений нормальное развитие корней и других гетеротрофных органов зависит от поступления ассимилятов образующихся в листьях в процессе фотосинтеза. Сдвиги в содержании различных элементов питания оказывают влияние на обмен веществ физиологические и морфологические процессы у растений.
18278. Исследование системы массового обслуживания 289.05 KB
  Теоретические аспекты теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Перечень задач исследования операций. Исследование системы массового обслуживания.
9768. Исследование федерального налога системы РФ - НДС 63.18 KB
  НДС обычно относят к категории универсальных косвенных налогов которыми облагаются весь товарооборот на внутреннем рынке и товарооборот складывающийся при осуществлении внешнеэкономической деятельности. Взимание НДС как косвенного налога направлено прежде всего на решение фискальных задач государства. Но НДС отводится и определенная роль в регулировании экономических и социальных процессов в стране.
13705. Исследование устойчивости системы при использовании типовых регуляторов 227.84 KB
  Цель работы – исследование устойчивости системы при использовании типовых регуляторов П И ПИ. При определении устойчивости замкнутой системы используется алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Определение запаса устойчивости замкнутой системы производится с помощью логарифмических частотных характеристик в разомкнутом состоянии.
11195. Исследование системы управления отдела снабжения ОАО Ликмет 50.65 KB
  Представляется что если в компании более одного согласующего подразделения или уполномоченного на подписание договора лица то в ней по крайней мере должны быть четко определены сферы ответственности таких подразделений и лиц.Теоретические аспекты процесса деятельности отдела снабжения Для того чтобы заключить договор необходимо чтобы одна из сторон предложила заключить договор а другая сторона по крайней мер согласилась с заключением этого договора. Поэтому заключение любого договора проходит по крайней мере две стадии. это...
18041. Исследование системы отопления помещения с применением инфракрасной пленки 2.19 MB
  Изучение системы отопления с применением инфракрасной пленки; изучение устройства и видов инфракрасной пленки; расчет эффективности системы отопления помещения с применением инфракрасной пленки по сравнению с централизованным отоплением; проведение экспериментальных измерений.
5280. Исследование системы видов наказаний по российскому уголовному праву 43.37 KB
  Уголовные наказания применяемые в Российской Федерации очень разнообразны. Законодатель устанавливает меры государственного принуждения для того чтобы предоставить суду возможность при вынесении приговора избрать меру наказания адекватную характеру совершенного преступления степени общественной опасности лица совершившего преступление которые максимально способствуют как его исправлению так и восстановлению справедливости и предупреждению дальнейших преступлений. Для этого законодатель дает перечень видов и распределяет наказания в...
13969. Исследование системы менеджмента качества компании ООО «Кама – Трейд» 367.97 KB
  1 8 принципов системы менеджмента качества как основа для совершенствования системы управления качеством на предприятии ООО Каматрейд. Для организации принятие правильных решений всегда является непростой задачей и помочь может только использование основанной на фактах информации с учетом опыта и интуиции. Для этого необходимо организовать поиск фактов характеризующих несоответствия в подавляющем большинстве которыми являются статистические данные разработать методы анализа и обработки данных выявить коренные...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.