Гильбертовы пространства аналитических функций

Гильбертовыми пространствами аналитических функций называются полные евклидовы пространства состоящие из аналитических функций.Пусть D открытое связное множество комплексной плоскости Cтогда пространством Бергмана называется пространство голоморфных функций в области Dдля которых число конечно. = = Пусть D открытый единичный круг в комплексной плоскости Cтогда пространством Харди называется пространство голоморфных функций в области Dдля...

2015-08-25

177.09 KB

10 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск



PAGE  13

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(БашГУ)

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра теории функций и функционального анализа

Курсовая работа

Гильбертовы пространства аналитических функций

Специальность 010101—Математика

                                                                               Выполнила: студентка 4-го курса

                                                                               группы 45                    

                                                                   Рахимова Алсу Ильдаровна                                                                       

               

                                                                               

                                    Научный руководитель: 

                                                                       к.ф.-м.н.,доцент

                                                                        ________________ Р.А.Башмаков      

             

                                                                          «___»_____________2012 г.     

                                          Уфа―2012

Гильбертовыми пространствами аналитических функций называются полные евклидовы пространства, состоящие из аналитических функций. Примерами таких пространств являются пространство Бергмана  и пространство Харди .Пусть D—открытое связное множество комплексной плоскости C,тогда пространством Бергмана называется пространство голоморфных функций в области D,для которых число конечно.

=

=

Пусть D—открытый единичный круг в комплексной плоскости C,тогда пространством Харди называется пространство голоморфных функций в области D,для которых число  конечно.

 

В пространстве  определена норма функции f(z) функционалом .

.

.

  1.  .                                                                                                                       

,..                                                                                                                                              

.

  1.  .                                                              .
  2.  .  .

В пространстве  определено скалярное произведение с использованием нормы .

 .

.

  1.  .                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

  1.  

  

  1.  .

 .

В пространстве  определена норма .

.

.

1)

2)   .

3)

.

В пространстве  определено скалярное произведение при помощи нормы .

.

.

.

1)

2)

 .

3)

.

Можно показать, что пространство Харди содержится в пространстве Бергмана .Это утверждение следует из того, что норма пространства  меньше или равна норме пространства .

Теорема. Пространство , где D—открытый круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D является гильбертовым пространством.

Доказательство.

 

 

 

Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство, то есть полное относительно метрики пространство со скалярным произведением.

Скалярное произведение определено.

Нужно доказать полноту пространства.

Пусть —ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства  можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.

Пространство  является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.

                                      

Метрическое пространство является полным пространством, когда любая фундаментальная последовательность сходится к элементу пространства в метрике пространства.

                                                   

-фундаментальная последовательность в пространстве.

                                   

                      

Если последовательность функции   фундаментальна в пространстве , то она фундаментальна на каждом компакте из области D. Если последовательность аналитических функций на каждом компакте равномерно сходится, то предельная функция является аналитической функцией.

                                              

                                                              

Радиус  настолько мал, что замкнутый круг  лежит в области D.

Из формулы Коши следует, что верно неравенство:

                                         

Здесь используется неравенство Гельдера.

Отсюда следует, что верна формула:

                                           

Данная оценка верна для любой точки из области D.

                             

Данная формула позволяет сделать переход от полярных координат к декартовым координатам.

                     

             

                                               

                                                 

                                                

                                               

                                     

                                                   

                                             

                                   

                                                      

                          

Последовательность функций  фундаментальна на каждом компакте K.

Последовательность функций  равномерно сходится на каждом компакте K области D.

                                           

—аналитические функции,

—аналитическая функция.

Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.

                                                    

                           

                                           

                                                    

                                       

                          

Здесь используется неравенство Минковского.

                  

                                                                                                         

                                              

                      

                         

                                             

                     

                       

Теорема доказана.

Утверждение. Функции при  и  образуют ортонормированный базис в пространстве , где D – открытый единичный круг. Если и — ряд Тейлора для функции , то  для .

Доказательство.

                                . 

             

              

                                                   

Функции  образуют ортонормированный базис в пространстве .

Все аналитические функции в некоторой области раскладываются в ряд Тейлора в окрестности любой точки из данной области.

            

            

Коэффициенты ряда Тейлора функции определяются через скалярные произведения функции и базисных элементов.

Утверждение доказано.

Теорема. Пространство , где D – единичный круг, квадратично интегрируемых аналитических функций в области D, является гильбертовым пространством.

Доказательство.

                                                     

                         

Скалярное произведение определено.

Нужно доказать полноту пространства.

Пусть —ортогональная система, тогда если всякий элемент пространства  можно с любой наперед заданной точностью приблизить линейными комбинациями элементов системы в метрике пространства, то система полна.

Пространство  является евклидовым пространством, следовательно, оно является метрическим пространством. Любое евклидово пространство является метрическим пространством.

                          

                      

                                                                 

Радиус  настолько мал, что замкнутый круг  лежит в области D.

Из формулы Коши следует, что верно неравенство:

                                                  

         

                                   

         

           

                                   

               

Последовательность функций  фундаментальна на каждом компакте K.

Последовательность функций  равномерно сходится на каждом компакте K области D.

                                         

—аналитические функции,

—аналитическая функция.

Предел равномерно сходящейся последовательности аналитических функций является аналитической функцией.

                          

 

    

     

                          

                 

                

               

Теорема доказана.

Утверждение. Функции при  и  образуют ортонормированный базис в пространстве где D – открытый единичный круг. Если  и — ряд Тейлора для функции , то  для .

Доказательство.

                               .

                               .

             

                                                  

                                   

Утверждение доказано.

Для любой области D верно утверждение .Пространства  и  состоят из самих функций, а не эквивалентных классов функций.

              Список литературы:

  1.  Р.Эдвардс, «Функциональный анализ»;
  2.  П.Халмош, «Гильбертово пространство в задачах».



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
17865. Подготовка исходных аналитических данных 685.42 KB
  При проверке качества отчетных материалов устанавливают соответствие отчетности утвержденным нормам; полноту представления отчетности; правильность заполнения ее форм подсчетов и вычислений преемственность и сопоставимость данных; правильность и своевременность отражения в учете и отчетности хозяйственных операций; полноту качество и сроки проведения инвентаризации имущества расчетов краткосрочных и долгосрочных обязательств отражения ее результатов в учете; правильность отражения в учете и отчетности собственного капитала доходов...
20730. Особенности стиля текстов аналитических жанров 40.67 KB
  В данной работе рассмотрены жанры аналитических публикаций а также приведены примеры статей корреспонденций журналистских расследований что позволяет более детально понять специфику каждого жанра. Первый способ фактографический нацелен на фиксацию неких внешних очевидных характеристик явления на получение кратких сведений о предмете что где и когда произошло. Нередко это обобщение достигает такого уровня который называется публицистической или даже - художественной типизацией что сближает журналистику с художественной...
10086. Метод аналитических группировок в изучении взаимосвязи явлений 94.29 KB
  Аналитической группировкой называется группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их факторными и результативными признаками (преимущество метода аналитических группировок перед другими методами анализа связей
20296. Проблемы и задачи проектирования отраслевых информационно-аналитических систем 519.23 KB
  В данной работе необходимо разработать программу а точнее систему управления базой данных какой-либо риэлторской фирмы для определенного города которая позволяет вносить удалять и изменять данные. Область применения: эта небольшая по размеру программа управления базой данных применима в основном для частных коммерческих организаций занимающихся непосредственно продажей недвижимости в частности квартир: однокомнатных двухкомнатных трехкомнатных и домов. На этапе разработки будущей системы именно ему необходимо определить объем и состав...
12716. Методы оценки финансового состояния на основе аналитических коэффициентов на примере ОАО Россельхозбанк 101.33 KB
  Главное направление Россельхозбанка состоит в продвижении государственной аграрной политики. Кредиты Россельхозбанка пользуются заслуженной популярностью у населения так как банк придерживается в своей работе серьезных принципов позволяющих ему успешно работать в сфере финансов. Кредитнобанковская система имеет жизненно важное значение для экономики страны она служит объектом тщательного надзора и регулирования как со стороны Центрального банка так и со стороны высших органов государственной власти и управления. Одна из основных...
17824. Философское понимание пространства и времени 26.29 KB
  Движение есть сущность времени и пространства. Происходит движение в пространстве и времени. А существование человека без времени и пространства возможно И очень долго пытаясь объяснить что есть пространство и время для нас а это сводится к фундаментальным составляющим всего бытия.
16323. Забвение пространства в экономической мысли Ж. 9.92 KB
  Кострома ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО КАК ПРЕДМЕТ ЭКОНОМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В работе Забвение пространства в экономической мысли Ж. Во-первых желательно знать способно ли включение пространства поставить под сомнение некоторые модели и фундаментальные результаты в экономической теории и если да то в какой мере. Данное правило все-таки допускает одно исключение относительно такого фактора как эффект масштаба в теории международной торговли и мы попытаемся понять причины этого. Закономерно спросить почему пространство отсутствует в...
6213. Приближение функций 3.08 MB
  Первая состоит в замене некоторой функции заданный аналитически или таблично другой функцией близкой к исходной но более простой и удобной для вычислений. Например замена функции многочленом позволяет получать простые формулы численного интегрирования и дифференцирования; замена таблицы приближающей функцией позволяет получать значения в ее промежуточных точках. Возникает также и вторая задача восстановление функции на некотором отрезке по заданным на этом отрезке значениям функции в дискретном множестве точек. Ответ на такой вопрос...
16309. Устойчивость и изменчивость внегородского пространства России 12.91 KB
  По этим параметрам к внегороскому пространству в России можно отнести не только сельскую местность, но и многие малые города. Во второй половине 1990-х – начале 2000-х гг. налицо возвращение к тенденции стягивания населения из периферийных районов, сельской местности и малых городов в крупные города и ареалы вокруг них. Это говорит о том, что урбанизация в России еще не завершена. Следовательно, разрежение внегородского пространства продолжается.
11249. Расширение полилингвального образовательного пространства гимназии 8.04 KB
  В нашей гимназии накоплен определенный опыт по расширению иноязычного образовательного пространства которым хочется поделиться. В гимназии ведется авторский курс Л. Внеклассная работа направлена на развитие творческой активности учащихся и расширение образовательного пространства...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.