Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда

Закон Архимеда Решение задачи о силе давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Сила давления жидкости в этих случаях приводится к равнодействующей силе лежащей в плоскости симметрии.8 и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: а жидкость расположена сверху на рисунке слева и б жидкость расположена снизу на рисунке справа.

2015-07-19

87.12 KB

23 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда

Решение задачи о силе давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего приходится иметь дело с цилиндрическими или сферическими поверхностями, имеющими вертикальную плоскость симметрии.

Сила давления жидкости в этих случаях приводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем цилиндрическую поверхность AB с образующей, перпендикулярной плоскости чертежа (рис. 2.8), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: а) жидкость расположена сверху (на рисунке слева) и б) жидкость расположена снизу (на рисунке справа).


Рис. 2.8

В случае “а” выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью AB, вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободную поверхность жидкости, т. е. объем ABCD. Рассмотрим условия равновесия этого объема в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если жидкость действует на поверхность AB с силой P, то поверхность AB действует на жидкость с силой P, направленной в противоположную сторону. На рис. 2.8 показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальную Pг и вертикальную Pв.

Условие равновесия объема ABCD в вертикальном направлении имеет вид
                                          (2.8)
где p0 – давление на свободной поверхности жидкости;
Sг – площадь горизонтальной проекции поверхности AB;
G – вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направлении запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности EC и AD взаимно уравновешиваются, и остается лишь сила давления на площадь BE, т. е. на вертикальную проекцию поверхности AB – Sв.

                                          (2.9)
Определив по формулам (2.8) и (2.9) вертикальную и горизонтальную составляющие, найдем полную силу давления P

В том случае, когда жидкость расположена снизу, величина гидростатического давления во всех точка поверхности AB имеет тоже значение, что и в предыдущем случае, только направление его будет противоположным. Суммарные силы Pв и Pг, определяются по тем же формулам, но с обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать вес жидкости в объеме ABCD, хотя он, и не заполнен жидкостью. Положение центра давления на цилиндрической стенке может быть найдено, если известны Pв и Pг и определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема ABCD. Задача облегчается, если рассматриваемая цилиндрическая поверхность является круговой. Тогда равнодействующая сила пересекает ось поверхности, это следует из того, что элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу. Изложенный способ определения силы давления применим также и к сферическим поверхностям. Применим описанный выше прием для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом W (рис.  2.9).


Рис. 2.9

Спроектируем это тело на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть тела ACB от нижней ее части ADB. Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме AA'B'BCA. Вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме AA'B'BDA. Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело PA будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме W тела. В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.

Прямолинейное равноускоренное движение сосуда с жидкостью

Ранее мы рассматривали равновесие жидкости под действием лишь одной массовой силы – ее веса. Этот случай имеет место тогда, когда жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно земли, а также в сосуде, движущемся равномерно и прямолинейно.


Рис. 2.10

Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на частицы жидкости помимо собственного веса действуют еще силы инерции переносного движения, под действием которых, если они постоянны во времени, жидкость принимает новое положение равновесия. Этот случай равновесия жидкости называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости и прочие поверхности уровня могут существенно отличаться от горизонтальной поверхности. При определении формы и положения такой свободной поверхности, находящейся в относительном покое, следует учитывать основное свойство всякой поверхности уровня. Равнодействующая массовая сила всегда действует по нормали к поверхности уровня. Это свойство вытекает из условия отсутствия движения жидкости.

Рассмотрим два характерных случая относительного покоя жидкости:
а) в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускоренно
б) в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси.

Пусть сосуд с жидкостью движется прямолинейно с постоянным ускорением а. В этом случае результирующую массовую силу, действующую на жидкость, найдем как сумму векторов силы инерции, направленной в сторону, обратную ускорению а, и силы тяжести (рис. 2.10).
Обозначив вектор равнодействующей силы, отнесенной к единице массы, через
j, получим
j = a +g
где
a и g – векторы единичных сил инерции и тяжести. Для всех частиц рассматриваемого объема жидкости равнодействующие массовые силы параллельны друг другу, а поверхности уровня перпендикулярны этим силам, поэтому все поверхности уровня, в том числе и свободная поверхность, являются плоскостями, параллельными друг другу. Угол наклона этих плоскостей к горизонту определяется из условия перпендикулярности их к силе j.
Для полного решения о положении свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно равноускоренно, необходимо к предыдущему условию добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать объем жидкости в сосуде, выразить его через размеры сосуда и первоначальный уровень жидкости.

Давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости может быть получено аналогично тому, как это определялось при выводе основного уравнения гидростатики (лекция №3, п. 2.2).

                                                (2.9)
В частном случае, когда 
а = 0 и соответственно j = g, формула (2.9) превращается в основное уравнение гидростатики (2.1).

Равномерное вращение сосуда с жидкостью

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w2r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.


Рис. 2.11

Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим

отсюда                                  

или после интегрирования     

В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C = h, поэтому окончательно будем иметь
                                       (2.10)
т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.

Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.
На практике очень часто приходится иметь дело с вращением сосуда, заполненного жидкостью, вокруг горизонтальной оси. При этом угловая скорость w столь велика, что сила тяжести на порядок меньше центробежных сил, и ее действие можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила.

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

или


Рис. 2.12

После интегрирования

Постоянную C найдем из условия, что при r = r0 p = p0.
Следовательно

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:
                              (2.11)
Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся течение жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы - веса жидкости.


Рис. 3.1

Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными.

За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 1- 2 переместится в положение 1?- 2?.

Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки.

Известно, что элементарная работа силы определяется выражением

Работа поверхностных сил давления тогда составит

Т. к. в первом сечении направление сил давления совпадает с направлением вектора скорости, а во втором сечении оно противоположно, то
 
 

Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки равна 0, вследствие ортогональности векторов давления и скорости.

Суммарная работа поверхностных сил определится выражением

Элементарная работа массовых сил (сил веса) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы

Потенциальная энергия массы, заключенной в объеме W определяется выражением

Учитывая, что для несжимаемой жидкости r= const, получим

Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях можно представить в виде двух составляющих, рис. 3.1.


Масса жидкости, заключенная в объемах W1 и W2 определится как

Т. к. приток массы в рассматриваемой струйке отсутствует, то
M1 = M2
следовательно
W1 = W2
Нетрудно заметить, что объем 1?-2 для рассматриваемых положений является общим, тогда
 
или

Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости.

С учетом отмеченного

где dG = rgdW - элементарный вес жидкости, заключенный в объеме dW.
Т. е.

Применяя такой же прием, получим выражение для прироста кинетической энергии струйки

Запишем уравнение баланса энергии

Подставляя имеющиеся выражения в данную формулу, получим

после преобразований, с учетом того, что dW1 = dW2 =dW =dG/g, получаем

или, после перегруппирования членов

Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.
Величина
 называется скоростным напором,  определена ранее как гидростатический напор, а величина  получила название полный напор.


Рис. 3.2

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму гидростатического и скоростного напора и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение графиком, см. рис. 3.2.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
6023. Парообразование и конденсация. Кипение. Зависимость температуры кипения жидкости от давления. Точка росы 37.75 KB
  Для того чтобы построить такие машины и повысить их ККД необходимо знать свойства рабочего вещества – пара. Свойства пара используются в разных приборах. Изучение свойств пара привело к возможности получить сжиженные газы и их широкому применению.
8889. Понятие о логическом законе в традиционной и современной логике. Закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания 37.91 KB
  Основные вопросы: Понятие о логическом законе в традиционной и современной логике. Закон тождества закон непротиворечия закон исключенного третьего закон достаточного основания. Ключевые термины и понятия ЗАКОН ТОЖДЕСТВА – закон логики выражающий определенность и ясность мышления можно сформулировать так: всякое понятие или суждение о предмете должно быть определенным однозначным тождественным самому себе на протяжении всего рассуждения. Из закона тождества вытекают следующие требования: в...
9955. Выбор преобразователя давления для измерения избыточного давления 1.12 MB
  Объектом исследования является система измерений количества и показателей качества нефти № 3, принадлежащая ООО «Балтнефтепровод», предназначена для автоматического измерения массы брутто и показателей качества нефти, поступающей по нефтепроводу «Горький-Ярославль» на ЛПДС «Ярославль».
8669. Криволинейные интегралы первого и второго рода 58.67 KB
  Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f определенную в каждой точке этой кривой. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Если существует конечный предел интегральной суммы не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек Mi то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .
12603. Технологический процесс сварки трубопровода с разной толщиной стенки труб 252.34 KB
  Сварка и ремонт стыков при низкой температуре ручной дуговой сваркой плавящимся электродом на постоянном токе создаёт условия для формирования более качественного сварного соединения в связи с этим данная тема актуальна в нашем регионе который изрезан нитками трубопроводов. Актуальность дипломного проекта сварка в трассовых условиях с разной толщиной стенок применяя все необходимые материалы и агрегаты сварочного производства техник в своей профессиональной деятельности должен знать все компетенции технологии сварочного производства и...
1581. Сила мысли 9.36 KB
  Конечно все это можно списать на обычные совпадения но Изучая подсознание человека ученые уже давно пришли к выводу что наши мысли это своеобразный магнит притягивающий желаемое и делающий его реальным. Как это происходит Долгая формулировка сводится к простому заключению: чтобы стать успешнее достаточно научиться правильно думать и желать...
17704. Случай и непреодолимая сила в гражданском праве 29.86 KB
  Вина как субъективное условие гражданско-правовой ответственности. Экономические отношения приобрели товарно-денежный рыночный характер и наиболее существенным нововведением в области регулирования гражданско-правовой ответственности явилось отступление от требования о необходимости учета вины как субъективного условия гражданско-правовой ответственности за нарушение договорных обязательств при осуществлении предпринимательской деятельности. Цель написания данной работы - раскрыть такое основание гражданско-правовой...
6862. Акты Президента РФ, их значение и юридическая сила 7.15 KB
  Акты Президента РФ их значение и юридическая сила. Президент РФ по вопросам своего ведения принимает следующие нормативные акты: 1 указы Президента РФ – это нормативно-правовые акты изданные по вопросам о назначении и освобождении от должности руководителей органов федеральной исполнительной власти о гражданстве предоставлении политического убежища награждении помиловании и т.; 2 распоряжения Президента РФ – это акты индивидуального характера изданные в отношении конкретных либо определенных лиц т. по оперативным организационным и...
6878. Виды решений Конституционного Суда РФ и их юридическая сила 7.06 KB
  В целях осуществления конституционного контроля за соответствием Конституции РФ правовых актов различных органов государственной власти РФ и субъектов РФ Конституционный Суд РФ вправе по вопросам своей компетенции выносить постановления по делам о толковании статей Конституции РФ. Конституционный Суд РФ является единственным источником официального толкования Конституции РФ и иных федеральных законов РФ. Конституционный Суд РФ выносит свои определения на основании запросов которые должны содержать информацию о фактическом деле по которому...
7967. КОНТРОЛЬ ДАВЛЕНИЯ 1.42 MB
  Определение понятия давление и соотношение между единицами давления Под давлением в общем случае понимают предел отношения нормальной составляющей усилия к площади на которую действует усилие. От величины давления зависит протекание технологического процесса. Величина единицы давления зависит от выбранной системы единиц табл.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.