Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрим уравнение XxdxYydy=0 1 в котором коэффициент при dx зависит только от x а коэффициент при dy – только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Тогда уравнение 1 можно переписать так . К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида p1xp2ydx q1xq2ydy = 0 в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.

2015-08-14

113.05 KB

11 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Реферат

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка


1. Уравнения с разделяющимися переменными.

 Рассмотрим уравнение

X(x)dx+Y(y)dy=0,       (1)   

в котором коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy – только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными.

Будем предполагать, что функции X(x) и Y(y) непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y. Тогда уравнение (1) можно переписать так

.        (2)

Поэтому

.       (3)

Это есть общий интеграл уравнения (1). Особых решений нет.

 К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида

p1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0

в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.

Определение 1.: Уравнение вида

P (x, y)dx + Q (x, y)dy = 0   (4)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в следующем виде P(x,y) = p1(x)p2(y), Q(x,y) = q1(x)q2(y).

 В точках, где p2(y) 0 и q1(x) 0, переменные x и y можно отделить друг от друга, разделив обе части уравнения

p1(x)p2(y)dx + q1(x)q2(y)dy = 0

на произведение p2(y)q1(x):

.

Интегрируя, получим общий интеграл уравнения (4):

, где С – произвольная постоянная.

Замечание. Если уравнение p2(y)q1(x) = 0 допускает решения x = a или y = b, то они, очевидно, являются решениями дифференциального уравнения (4), кроме точек пересечения прямых x = a и y = b, так как в этих точках уравнение (4) не определено. Если эти решения входят в общий интеграл, то каждое из них есть частное решение дифференциального уравнения (4), а если нет, то это особые решения.

 Пример 1. Проинтегрировать уравнение .

Разделяя переменные, имеем:

.

Интегрируя почленно, получаем:

- общий интеграл решения.

Уравнение  имеет решения , которые являются особыми, так как не получаются из общего интеграла ни при каких значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.■

2. Однородные дифференциальные уравнения.

Определение: Функция двух переменных f(x,y) называется однородной функцией степени однородности m,  где m целое, если при любом k выполняется следующее равенство:

f (kx,ky) = kmf (x,y).

Покажем, что всякую однородную функцию нулевой степени можно представить в виде функции отношения . Пусть f (x,y) – однородная  функция нулевой степени. Возьмем множитель ; по определению однородности имеем:  и в правой части действительно стоит функция только отношения . Пусть теперь f (x,y) – однородная функция степени m. Очевидно, что функция  будет однородной функцией нулевой степени и по указанному выше можно написать: , откуда

.             (5)

Это общий вид однородной функции степени m.

Определение: Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида

P (x,y)dx + Q (x,y)dy = 0              (6)

где P (x,y) и Q (x,y) – однородные функции одной и той же степени однородности.

Решение такого уравнения проводится путем введения новой переменной , с помощью которой уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, пользуясь формулой (5), можно переписать однородное уравнение в следующем виде:

           (7).

Предположим, что функции P(x,y) и Q(x,y) не содержат общего множителя xk, ибо если бы такой множитель был, то уравнение распалось бы на два: х=0,  . В этом случае второе уравнение уже не содержит множителя xk.

Таким образом xm  0 и можем разделить обе части уравнения (7) на xm:

Полагаем , откуда . Подставляя эти значения в последнее уравнение, имеем:

или

.

Получилось уравнение с разделяющимися переменными, которое решаем, как было указано выше:

,

отсюда

и, потенцируя, получаем: x=C(t), где через (t) обозначено все выражение, содержащее t в правой части. Заменяя t отношением , получаем окончательный вид общего интеграла:

x = C().

Необходимо учитывать, что при делении на  могут быть потеряны решения.

Интегральные кривые однородного уравнения обладают интересным геометрическим свойством: они все подобны друг другу и центр подобия находится в начале координат.

 Пример 2. Решить уравнение .

В приведенных выше обозначениях  обе функции являются однородными функциями второй степени, следовательно, данное уравнение однородное. Вводим новую переменную, полагая y=tx. Тогда dy=tdx+xdt, и уравнение после подстановки имеет вид:

Разделяем переменные:

(так как делим только на x и на сумму квадратов , то потери возможных корней нет); затем, интегрируя, получаем

;

потенцируем

и заменяем t через :

.

Делаем преобразование

,

После чего становится ясно, что имеем семейство окружностей с центрами в точках  на оси Ox и с радиусами, равными . Все эти окружности касаются оси

Oy в начале координат и подобны друг другу  (рис.1).■

Рассмотрим уравнение вида

.           (8)

Если с1=с=0, то это уравнение однородное, ибо оно приводится к виду (6). Пусть хоть одно из чисел с1, с отлично от нуля и предположим еще, что

Сделаем линейную замену обеих переменных:

Тогда наше уравнение примет вид:

Выбрав α и β так, чтобы

получим однородное уравнение

Интегрируя его и возвращаясь к переменным x и y, найдем общий интеграл уравнения (8).

Если же

то мы имеем , откуда a1=ka, b1=kb. Поэтому уравнение (8) можно переписать в этом случае так:

.

Введя здесь вместо y новую неизвестную функцию z по формуле

z=ax+by,

мы придем к уравнению, не содержащему независимой переменной:

.

Пример 3. Решить уравнение .

Заменяя y на  получаем:

.

Введем вместо x и y переменные ξ и η, связанные с x и y линейной зависимостью

x=ξ+α, y=η+β,

вследствие чего dx=, dy=. Постоянные α и β надо подобрать так, чтобы множители в уравнении при ,  были однородными функциями первой степени. Для этого надо, чтобы в этих множителях

отсутствовали свободные члены, то есть чтобы было

Из этой системы уравнений находим:  и подставляем их в формулы для x и y: . Заменяя x и y в данном уравнении, используя эти формулы, получаем однородное уравнение в переменных ξ и η:

.

Решаем это уравнение по правилам решения однородных уравнений, вводя переменную , и получаем общий интеграл: . Возвращаясь от переменных ξ и η к старым переменным x и y, получаем окончательный вид общего решения данного уравнения: .■

 Пример 4. Решить уравнение .

В этом уравнении коэффициенты при x и y в числителе и знаменателе пропорциональны. Введем новую переменную по формуле  x+y=z. Перепишем данное уравнение в виде

(x+y+1)dx+(2x+2y-1)dy=0

и заменим переменные

(z+1)dx+(2z-1)(dz-dx)=0,       (dx+dy=dz, dy=dz-dx).

Разделим переменные

(z+1-2z+1)dx+(2z-1)dz=0,

.

Решаем это уравнение и получаем общий интеграл:

.

Возвращаясь к переменным x и y, находим окончательный вид общего интеграла данного уравнения:

.

3. Уравнения в полных дифференциалах.

Определение: Уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,    (9)

где левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных, называется уравнением в полных дифференциалах.

Обозначим эту функцию двух переменных через F(x,y). Тогда уравнение (9) можно переписать в виде dF(x,y) = 0, а это уравнение имеет общее решение F(x,y) = C.

Пусть дано уравнение вида (9). Для того чтобы узнать, является ли оно уравнением в полных дифференциалах, нужно проверить, является ли выражение

P(x,y)dx + Q(x,y)dy        (10)

полным дифференциалом некоторой функции двух переменных. Для этого необходимо проверить выполнение  равенства

.             (11)

Допустим, что для данного выражения (10) равенство (11) выполняется в некоторой односвязной области  (S) и, следовательно, выражение (10) является полным дифференциалом некоторой функции F(x,y) в (S).

Рассмотрим следующий способ нахождения этой первообразной. Необходимо найти такую функцию F(x,y), чтобы

 и   .

Положим

,       (12)

где функция (у) будет определена ниже. Из формулы (12) тогда следует, что

                 (13)

во всех точках области (S). Теперь подберем функцию (у) так, чтобы имело место равенство

.        (14)

Для этого перепишем нужное нам равенство (14), подставив вместо F(x,y) ее выражение по формуле (12):

.        (15)

Произведем дифференцирование по у под знаком интеграла (это можно делать так как P(x,y) и  - непрерывные функции двух переменных):

.           (16)

Так как по (11) , то, заменяя  на  под знаком интеграла в (16), имеем:

.

Проинтегрировав по у, найдем саму функцию (у), которая построена так, что выполняется равенство (14). Используя равенства (13) и (14), видим, что

в области (S).

Пример 5. Проверить, является ли данное дифференциальное уравнение уравнением в полных дифференциалах и решить его .

Это дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, обозначая , убеждаемся в том, что

,

а это есть необходимое и достаточное условие того, что выражение

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y). При этом   - непрерывные в R функции.

Следовательно, чтобы проинтегрировать данное дифференциальное уравнение, нужно найти такую функцию, для которой левая часть дифференциального уравнения будет полным дифференциалом. Пусть такой функцией будет U(x,y), тогда

.

Интегрируя левую и правую части по x, получим:

.     (*)

Чтобы найти φ(y), используем тот факт, что

,  т.е.

,

откуда

,

.

Подставляя найденное значение φ(y) в (*), окончательно получим функцию U(x,y):

,

Общий интеграл исходного уравнения имеет вид

.

Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка (продолжение).

4. Линейные дифференциальные уравнения.

Определение: Линейным уравнением первого порядка называется уравнение вида

y’ + P(x)y = f(x),             (21)

где P(x) и f(x) – непрерывные функции.

Название уравнения объясняется тем, что производная y – линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y’ = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.

Если f(x) = 0, то уравнение

y΄+ P(x)∙y = 0        (22)

называется линейным однородным уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:

y’ +P(x)y = 0;  ,

.         (22*)

Если f(x) ≠ 0, то уравнение

y΄+ P(x) y = f(x)    (23)

называется линейным неоднородным уравнением.

В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.

Уравнение (21) решается следующим образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):

y = UV.       (24)

Найдем производную:

y’ = UV + UV     (25)

и подставим эти выражения в уравнение (1):

U’V + UV’ + P(x)UV = f(x).

Сгруппируем слагаемые в левой части:

U’V + U[V’ + P(x)V] = f(x).     (26)

Наложим условие на один из множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова, что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в (26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения

V’ + P(x)V = 0.           (27)

Это уравнение с разделяющимися переменными, находим из него V(x):

;     ;    ;

 .  (28)

Теперь найдем функцию U(x) такую, чтобы при уже найденной функции V(x) произведение UV было решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была решением уравнения

.   (29)

Это уравнение с разделяющимися переменными, поэтому

;        

 .    (30)

Подставляя найденные функции (28) и (30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):

.      (31)

Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

 Пример 6. Найти общий интеграл уравнения .

Это уравнение не является линейным относительно y и y, но оно оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а аргументом y. Действительно, переходя к , получаем

,   или

.

Для решения полученного уравнения воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в виде x(y)=U(y)V(y), тогда . Получаем уравнение:

, или

.    (*)

Выберем функцию V(y) так, чтобы . Тогда

  или

.

Подставляя найденное значение V в (*), найдем:

.

Тогда  - общее решение дифференциального уравнения.■

Другим методом интегрирования линейных уравнений является метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Будем искать решение уравнения (23) в том же виде, что и общее решение (22*) соответствующего однородного уравнения (22), но будем считать С не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой функцией от x, т.е. положим

          (32)

и выберем функцию C(x) так, чтобы (32) удовлетворяло уравнению (21). Подставляем (32) в (21):

,

откуда:

.

Следовательно,

,

где С – произвольная постоянная. Подставляя эти значения C(x) в формулу (32), получим:

.

Это и есть общее решение уравнения (21).

 Пример 7. Найти общее решение уравнения .

Применяем метод вариации произвольной постоянной. Решаем сначала уравнение

откуда

.

Ищем общее решение данного неоднородного уравнения в виде   (*). Находим производную . Подставляем y и y’ в исходное уравнение:

,  или

.

Подставляя это значение C(x) в формулу (*), получим

- общее решение дифференциального уравнения.■

Линейное уравнение (21) не имеет особых решений. Действительно, из самого вывода формулы (32) видно, что в ней содержатся все решения уравнения.

5. Дифференциальные уравнения Бернулли

Определение: Уравнение вида y’ + P(x)y = Q(x)ym, где m  0, m  1, называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Уравнения данного вида подстановкой z = y1-m можно свести к линейному уравнению, однако проще для интегрирования уравнения Бернулли сразу воспользоваться подстановкой y = UV.

Литература

под ред. С.Я. Казанцева ; рец.: Р.З. Матиев, Г.Е. Корчагин: Математика для юридических специальностей. - М.: Академия, 2011

Атурин В.В.: Высшая математика. - М.: Академия, 2010

Баврин И.И.: Высшая математика. - М.: Академия, 2010

Бермант А.Ф. : Краткий курс математического анализа. - СПб.: Лань, 2010

Бирман М.Ш.: Избранные труды. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010

Бурмистрова Е.Б.: Математический анализ и дифференциальные уравнения. - М.: Академия, 2010

Козлов Н.Н.: Математический анализ генетического кода. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010

Олейник О.А.: Уравнения с неотрицательной характеристической формой. - М.: Московский университет, 2010

Ахтямов А.М.: Теория идентификации краевых условий и ее приложений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Бычков Ю.А.: Хаос в динамических системах. - СПб.: Технолит, 2009

Ильин А.М.: Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Капцов О.В.: Методы интегрирования уравнений с частными производными. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009

Красс М.С.: Математика для экономистов. - СПб.: Питер, 2009

Петровский И.Г.: Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
13536. Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 129.39 KB
  Такие уравнения называются дифференциальными. Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания. Для того чтобы найти эту функцию отделим переменные t и x друг от друга собрав члены с x в левой части уравнения а члены с t в правой: .
6396. Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка 163.25 KB
  Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...
19491. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 267.96 KB
  Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
6215. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1.42 MB
  Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции. Общим интегралом уравнения. неявным образом причем число постоянных интегрирования равно порядку уравнения. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция.
3551. Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 143.97 KB
  Дифференциальными уравнениями называются уравнения, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Первые дифференциальные уравнения возникли из задач механики...
13538. Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений 153.35 KB
  Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
20. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутты 520.86 KB
  Программа интегрирования имеет пять основных частей: Главная вызывающая программа; Процедура вычисления правых частей; Процедура одного шага интегрирования методом РунгеКутты второго порядка RК_2; Процедура одного шага интегрирования методом РунгеКутты четвертого порядка RК_4; Функция вычисления точного решения TochSolve. Текст программы приведен в приложение Б Программа содержит в себе следующие переменные: tochпеременная для хранения точного решения ДУ; tfвеличина определяющая конец интервала интегрирования; h текущее...
12625. РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЛЕДЯЩИХ ПРИВОДОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОПЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 868.94 KB
  Эти системы элементы скачкообразно переходят через ряд состояний в каждом из которых они описываются линейной дифференциальной системой уравнений ЛДУ. Подготовка исходных материалов для составления программы расчёта динамических характеристик ЭСП включает: составление расчётной схемы системы управления или элемента; определение числа учитываемых нелинейностей и как следствие числа учитываемых состояний системы управления или элемента; составление ЛДУ для всех учитываемых состояний и приведение ЛДУ к виду уравнений...
6303. Основные требования при подборе и синтезе катализаторов. Состав контактных масс. Основные типы промоторов. Понятия об активном компоненте, носителе (матрице) и связующем гетерогенных катализаторов и адсорбентов 23.48 KB
  Наряду с химическим составом для активного катализатора необходимы высокая удельная поверхность и оптимальная пористая структура. Заметим что для получения высокоселективного катализатора высокая удельная поверхность необязательна. В том числе желательно минимизировать отложение кокса на поверхности катализатора в органических реакциях максимально удлинить период работы катализатора до регенерации. Приготовление катализатора должно быть хорошо воспроизводимым.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.