Численные методы решения нелинейных уравнений

Видим что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы значит это трансцендентное уравнение для решения которого не существует формул для отыскания корней. Построим график для того чтобы примерно определить промежутки содержащие корни см. Для этого реализуем метод половинного деления. Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт который будет выводить первые пять корней отмечать их на графике а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.

2015-09-27

156.56 KB

3 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНОЙ ФИЗИКИ и РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра «Приборостроения и наноэлектроники»

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №1

Численные методы решения нелинейных уравнений

Студент,     РФ11-31Б         _____________________              

               подпись, дата            

Преподаватель                    ____________________               П. С. Маринушкин

                                                       подпись, дата                          

Красноярск, 2013


СОДЕРЖАНИЕ

  1.  Задание к лабораторной работе……………………….……...….……………3
  2.  Ход выполнения работы....……………………...………………………..……4
  3.  Заключение……………………………………………….……………….……8


  1.  ЗАДАНИЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

  1.  ХОД ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Проанализируем уравнение . Запишем его следующим образом . Видим, что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы, значит это трансцендентное уравнение, для решения которого не существует формул для отыскания корней. Решить такое уравнение можно только численными методами.  Например, методом половинного деления, методом Ньютона и т. д.

Построим график , для того чтобы примерно определить промежутки, содержащие корни (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – График функции

По графику найдем первые пять промежутков, содержащих корни: [1; 3], [4; 5], [7; 8], [10; 12], [13; 15]. Теперь необходимо найти точные значения. Для этого реализуем метод половинного деления. С помощью MatLab создадим функцию нахождения точных значений корней.

function [R I] = findroot(fu, a, b, tol)

fc=1+tol;

fa=fu(a);

fb=fu(b);

I=0;

while abs(fc) > tol

   I=I+1;

   xc=(a+b)/2;

   fc=fu(xc);

   if a == b

       error('В указанном промежутке отсутствуют корни!')

       break

   end

   if (fc>0 & fa>0) | (fc<0 & fa<0)

       a=xc; fa=fc;

   else

       b=xc; fb=fc;

   end

end

R=xc;

Где fu – это функция, a и b – границы отрезка, tol – точность. Если промежуток не содержит корней, то выводиться ошибка и программа прекращает работу. На выходе получаем точное значение корня и количество шагов, за которые был найден корень.

Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт, который будет выводить первые пять корней, отмечать их на графике, а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.

clc

clear

L=0.2;                          %Длина стержня

E=8e10;                         %Модуль упругости материала

J=1e-12;                        %Момент инерции сечения

m=1.5;                          %Масса стрежня

 

A=[1 4 7 10 13];                %Граница a

B=[3 5 8 12 15];                %Граница b

tol=0.001;                      %Точность

fu=@(x) cos(x).*cosh(x)+1;      %Функция колебаний

 

k=0:0.5:72;                     %Волновое число

x=k*L;

 

plot(x, fu(x))

grid on

hold on

 

for u=1:5

   %Вызов функции нахождения корня

   [c i]=findroot(fu, A(u), B(u), tol);

   %Вычисление резонансной частоты                      

   frq=((c/L).^2*sqrt(E*J/m))/(2*pi);

   %Проверка с помощью встроеной функции                      

   p=fzero('cos(x).*cosh(x)+1', A(u));                     

   disp('---------------------------------')

   disp(['Корень x=' num2str(c)])

   disp(['Проверка(функция fzero) x=' num2str(p)])

   disp(['Число интераций i=' num2str(i)])

   disp(['Резонансная частота f=' num2str(frq) 'Гц'])

   %Подписываем корни на графике

   text(c, 7000, num2str(c))   

   %Помечаем корни на графике                            

   plot(c, 0, 'r.')                                        

end

После выполнения скрипта получаем график (см. рисунок 2), точные значения (см. рисунок 3), на основе которых можно составить таблицу 1. Зависимость числа итераций от точности (см. таблицу 2).

Рисунок 2 – График функции  и ее решения

Рисунок 3 – Точные значения

Таблица 1 – Расчетные данные для тонкого однородного стержня

Корень

1,8751

4,6941

7,8548

10,9955

14,1272

Проверка (fzero)

1,8751

4,6941

7,8548

10,9955

14,1272

Число шагов

14

12

23

24

32

Резонансная частота, Гц

3,2309

20,2471

56,6924

111,0945

183,6472

Таблица 2 – Зависимость числа итераций от точности

Точность

0.1

0.01

0.001

0.0001

0.00001

0.000001

Число итераций

22

26

30

32

36

38

  1.  ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализировав результаты можно убедиться, что метод половинного деления дает хорошие результаты, при относительно малом числе операций приближения. При одинаковой точности вычисления функциями fzero и findroot корни совпадают до 8 знака после запятой.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
6215. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1.42 MB
  Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции. Общим интегралом уравнения. неявным образом причем число постоянных интегрирования равно порядку уравнения. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция.
6217. Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений 284.94 KB
  Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений. Для системы из 2 уравнений это можно сделать графически но для систем высоких порядков удовлетворительных методов отделения корней не существует. Проблема решения системы 1 возникает при решении многих прикладных задач например поиска безусловного экстремума функций многих переменных с помощью необходимых условий...
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
8663. Дифференциальные уравнения. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения 60.86 KB
  Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения План. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами методы их решения. Автономные системы дифференциальных уравнений. Классификация точек покоя системы двух однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
6396. Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка 163.25 KB
  Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...
1726. Вычисление корней нелинейных уравнений методом Ньютона 123.78 KB
  Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Первый раздел теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона.
12997. Численные методы поиска экстремума функций одной переменной: метод золотого сечения 198.66 KB
  В архитектуре метод золотого сечения также нашёл своё применение. По законам золотого сечения были построены наиболее известные нам сооружения, такие как Парфенон ( V в. до н.э.), собор Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари). Яркими примерами в русской архитектуре станут Смольный собор в Санкт-Петербурге и храм Василия Блаженного, в котором, если взять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.
13538. Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений 153.35 KB
  Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
12625. РАСЧЁТ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЛЕДЯЩИХ ПРИВОДОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОПЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 868.94 KB
  Эти системы элементы скачкообразно переходят через ряд состояний в каждом из которых они описываются линейной дифференциальной системой уравнений ЛДУ. Подготовка исходных материалов для составления программы расчёта динамических характеристик ЭСП включает: составление расчётной схемы системы управления или элемента; определение числа учитываемых нелинейностей и как следствие числа учитываемых состояний системы управления или элемента; составление ЛДУ для всех учитываемых состояний и приведение ЛДУ к виду уравнений...
13543. Геофизические методы решения геоэкологических задач 2.12 MB
  С помощью магниторазведки изучают особенности распределения магнитного поля вызванного горными породами и рудами различной намагниченности. Гравиразведка основана на изучении поля силы тяжести и ее градиентов отражающих плотностные неоднородности геологического разреза. Так как все геофизические поля проявляются в той или иной мере в оболочках Земли то параметры этих полей возможно регистрировать в искусственных и естественных сооружениях к которым относятся: разведочные скважины горные выработки шахты карьеры кратеры вулканов зоны...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.