Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от фактора х1 (т.е. у будет расти с ростом х1). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная. Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1955 г. С этой целью по 14-ти странам были получены данные по нескольким факторам, влияющим на продолжительность жизни

2015-10-15

40.16 KB

0 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Министерство образования и науки рф

филиал федерального Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего

профессионального образования

Уфимского государственного нефтяного

технического университета в г.октябрьском

Кафедра ИТМЕН

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине “Математические методы обработки результатов экспериментов

Выполнил: студент группы БГРз 12-10

Кирюков Е. М.

Проверил:

Усман  Ф.К.

ОКТЯБРЬСКИЙ 2014

Практическая работа №2

Метод наименьших квадратов

Основной принцип МНК: Сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

Условие задачи :

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1955 г. С этой целью по 14-ти странам были получены данные по нескольким факторам, влияющим на продолжительность жизни, (таблица 1).

Таблица 1  

Название страны

y

x1

x2

Мозамбик

47

3

2,6

Бурунди

49

2,3

2,6

Чад

48

2,6

2,5

Непал

55

4,3

2,5

Буркина -Фасо

49

2,9

2,8

Мадагаскар

52

2,4

3,1

Бангладеш

58

5,1

1,6

Гаити

57

3,4

2

Мали

50

2

2,9

Нигерия

53

4,5

2,9

Кения

58

5,1

2,7

Того

56

4,2

3

Индия

62

5,2

1,8

      

Решение:

  1.  Изучим влияние фактора х1 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни по методу наименьших квадратов.

Для определения формы функциональной зависимости между переменными у и х1 построим диаграмму рассеяния.

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от фактора  х1 (т.е. у будет расти с ростом х1). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.

Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.

Для этого составим и решим систему уравнений:

Построим таблицу 2 с данными для решения системы уравнений.

Таблица 2

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

xi

3

2,3

2,6

4,3

2,9

2,4

5,1

3,4

2

4,5

5,1

4,2

5,2

6,5

53,5

yi

47

49

48

55

49

52

58

57

50

53

58

56

62

50

744

xi2

9

5,29

6,76

18,49

8,41

5,76

26,01

11,56

4

20,25

26,01

17,64

27,04

42,25

228,47

xiyi

141

112,7

124,8

236,5

142,1

124,8

295,8

193,8

100

238,5

295,8

235,2

322,4

325

2888,4

 

Получим и решим систему уравнений:

228,47a + 53.5 b  = 2888,4

53.5a + 14b=744

228,47a + 53.5 b  = 2888,4

6.287b= 288.828

a=1,883864062

b=45,94381

Итак, а=1,883864062 b=45,94381

Таким образом  y = 1,8838x+45,94381

Следовательно, при увеличении показателя фактора х1 на единицу при прочих равных условиях средняя ожидаемая продолжительность жизни в среднем увеличивается на 1,8838 единиц.

Графически такая зависимость имеет вид:

  1.  Изучим влияние фактора х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни  по методу наименьших квадратов.

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о зависимости валового дохода от стоимости оборотных средств (т.е. у будет уменьшаться с ростом х2). Наиболее подходящая форма функциональной зависимости — линейная.

Требуется найти уравнение прямой y=ax+b, наилучшим образом согласующейся с опытными точками.

Для этого составим и решим систему уравнений:

Построим таблицу с данными для решения системы уравнений.

Таблица 3

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

xi

2,6

2,6

2,5

2,5

2,8

3,1

1,6

2

2,9

2,9

2,7

3

1,8

2,9

35,9

yi

47

49

48

55

49

52

58

57

50

53

58

56

62

50

744

xi2

6,76

6,76

6,25

6,25

7,84

9,61

2,56

4

8,41

8,41

7,29

9

3,24

8,41

94,79

xiyi

122,2

127,4

120

137,5

137,2

161,2

92,8

114

145

153,7

156,6

168

111,6

145

1892,2

Получим и решим систему уравнений:

94,79 a + 35.9b = 1892.2

35.9 a + 14 b = 744

94,79 a + 35.9b = 1892.2

94.79a +35.9 b = 1892.2

94,79 a + 35.9b = 1892.2

-1.06545b = -722501

a= - 5.7202

b= 67.811

Итак,  а= - 5.7202 b= 67.811

Таким образом y= - 5.7202x  + 67.811

Следовательно, при увеличении фактора х2 на единицу при прочих равных условиях ожидаемая продолжительность жизни в среднем уменьшается на 5,7202 единиц.

Графически зависимость имеет вид:

  1.  Рассмотрим влияние факторов х1 и х2 на среднюю ожидаемую продолжительность жизни.     

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости продолжительности жизни от стоимости фактора х1 и о негативной зависимости продолжительности жизни от фактора х 2(т.е. у будет расти с ростом х1 и у будет убывать с ростом х2 ). Форма функциональной зависимости — линейная.

В целом необходимо определить параметры двухфакторной эконометрической модели- y=ах1+bx2+c ,наилучшим образом согласующейся с опытными точками.

Оценим параметры линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему уравнений:

Собранные данные представлены в таблице 4:

Таблица 4

 

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

xi1

3

2,3

2,6

4,3

2,9

2,4

5,1

3,4

2

4,5

5,1

4,2

5,2

6,5

53,5

xi2

2,6

2,6

2,5

2,5

2,8

3,1

1,6

2

2,9

2,9

2,7

3

1,8

2,9

35,9

yi

47

49

48

55

49

52

58

57

50

53

58

56

62

50

744

xi1 xi2

7,8

5,98

6,5

10,75

8,12

7,44

8,16

6,8

5,8

13,05

13,77

12,6

9,36

18,85

134,98

xi12

9

5,29

6,76

18,49

8,41

5,76

26,01

11,56

4

20,25

26,01

17,64

27,04

42,25

228,47

xi22

6,76

6,76

6,25

6,25

7,84

9,61

2,56

4

8,41

8,41

7,29

9

3,24

8,41

94,79

yi xi1

141

112,7

124,8

236,5

142,1

124,8

295,8

193,8

100

238,5

295,8

235,2

322,4

325

2888,4

yi xi2

122,2

127,4

120

137,5

137,2

161,2

92,8

114

145

153,7

156,6

168

111,6

145

1892,2

 

 

Получим систему уравнений:

228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4

134.98a + 94.79b + 35.9c = 1892.2

53.5a + 35.9b + 14c = 744

228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4

                25.464b -7.2651c = - 314,377700

                -18.33b -6.2865c = -288,827664

228.47a + 134.98b + 53.5c = 2888.4

                25.464b -7.2651c = - 314,377700

                                    1,46811c = 86,859049

228.47a + 134.98b + 53.5*59,16393 = 2888.4

                25.464b -7.2651*59,16393 = - 314,377700

                                    c = 59,16393

228.47a + 134.98*(-4,53409) + 53.5*59,16393 = 2888.4

                                b = -4,53409

                                    c = 59,16393

a  = 1,4668944

b = -4,53409

 c = 59,16393

Итак, а = 1,4668944 b = -4,53409     c= -59,16393

Таким образом y= 1,4668944x1 -  4,53409 x2   - 59,16393

Вывод: Данная функциональная зависимость позволяет примерно прогнозировать зависимость средней продолжительности жизни от нескольких факторов (х1 и х2)

Коэффициент a= 1,4668944 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х1 на единицу средняя продолжительность жизни увеличится в среднем на 1,4668944 единиц.

Коэффициент b= -4,53409     показывает, что при прочих равных условиях с увеличением влияния фактора х2 на единицу средняя продолжительность жизни уменьшится в на 4,53409     единиц.

Пример:

МНК может применяться и в повседневной жизни. в медицине он служит показателем зависимости артериального давления человека от окружающих параметров, то есть от тех же самых факторов. В зависимости от температуры, влажности воздуха, атмосферного давления и времени суток состояние человека может изменяться. Все данные заносятся в таблицы, подобные тем, что представлены выше в соответствии с изменяющимися факторами. Проанализировав данные наблюдатель может проследить за тенденцией изменения здоровья и понять, что именно  влияет на человека.

PAGE   \* MERGEFORMAT1



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
816. УСТРОЙСТВО И ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП РАБОТЫ КОРОБКИ ПЕРЕДАЧ 1.31 MB
  Переключение передач в них осуществляется передвижением шестерен, которые входят поочередно в зацепление с другими шестернями, или блокировкой шестерен на валу с помощью синхронизаторов. Синхронизаторы выравнивают частоту вращения включаемых шестерен и блокируют одну из них с ведомым валом. Управление передвижением шестерен или синхронизаторов осуществляет водитель при выключенном сцеплении.
12914. Метод наименьших квадратов 308.27 KB
  Пусть из теоретических соображений мы знаем что . Поэтому можно сказать что наша задача состоит и в том чтобы провести прямую наилучшим образом. Будем считать что вся ошибка заключена в . Будем подбирать искомые коэффициенты из соображений чтобы случайная добавка была наименьшей.
21414. Ошибки в уголовном праве и их причины 31.78 KB
  Понятие и содержание ошибки в уголовном праве России ее виды. Понятие и содержание ошибки в уголовном праве России. Ошибки в уголовном праве и их причины. Никто не застрахован от ошибки в своем поведении и лишь часть человеческих ошибок попадает в сферу их изучения уголовным правом.
756. Понятие класса и объекта. Что может быть объектом. Атрибут и операции 56.99 KB
  Объектом можно назвать некоторую самостоятельно выделяющуюся программную модель, как систему моделей предметов, понятий и отношений между ними с их характерным поведением во времени и возможными способами изменения, играющую важную функциональную роль при решении конкретной задачи программирования.
5520. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов 366.53 KB
  Данная пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсового проекта. В ней рассматриваются вопросы расчетов и оформления документов средствами пакетов Microsoft Excel и Microsoft Word с элементами расчетов на языке программирования TPascal на примере решения задачи. В результате получены аппроксимирующие зависимости.
16218. -менеджмента Хорошо известно что динамика доходностей на финансовых рынках не может быть качественно оп 12.36 KB
  Это согласуется с большинством выводов для западных рынков. Положительная оценка экспоненты Ляпунова получена лишь для кубов абсолютных доходностей акций Ростелекома. Учитывая что Shintni Linton JEcon 2004 получили сходные результаты для абсолютных доходностей индекса Доу-Джонс в степени 25 необходимы дальнейшие исследования чтобы проверить является это случайностью или закономерностью. О том же свидетельствует и автокорреляционная структура ряда: хотя для самих доходностей автокорреляции практически незначимы по тесту Льюнга-Бокса...
9775. Ошибки позиционирования GPS – приёмников в условиях полярных геомагнитных возмущений 4.33 MB
  По радиосигналам спутников GPS-приемники пользователей устойчиво и точно определяют текущие координаты местоположения. Погрешности не превышают десятков метров. Этого вполне достаточно для решения задач НАВИГАЦИИ подвижных объектов (самолеты, корабли, космические аппараты, автомобили и т.д.).
19492. Роль педсовета в эффективности управления: современные технологии, ошибки, совершенствование 177.73 KB
  Анализ деятельности педагогических советов дошкольных учреждений за год 1 Анализ деятельности педсоветов и ошибки выявленные в ходе подготовки проведения и принятия решений педсовета. Технология подготовки проведения и принятия решений педсовета. Грамотная работа педсовета способствует повышению творческой инициативы педагогов возрастанию у них потребности в самосовершенствовании помогает наладить механизм сотрудничества. Очень важно найти правильную и наиболее эффективную для рассмотрения...
3111. Инвестиции и сбережения в кейнсианской модели. Макроэкономическое равновесие в модели “кейнсианский крест” 27.95 KB
  Инвестиция – это функция ставки процента: I=Ir Эта функция убывающая: чем выше уровень процентной ставки тем ниже уровень инвестиций. По взглядам Кейнса сбережения – это функция доходаа не процентной ставки: S=SY Т. инвестиции являются функцией процентной ставки а сбережения – функцией дохода.
799. Кредит как основной источник привлечения финансовых ресурсов 74.62 KB
  Кредитная организация - юридическое лицо, которое для извлечения прибыли как основной цели своей деятельности на основании специального разрешения (лицензии) Центрального банка Российской Федерации (Банка России) имеет право осуществлять банковские операции, предусмотренные настоящим Федеральным законом
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.