Модели систем массового обслуживания

Будущие состояния зависят от прошлого только через текущее состояние. Для непрерывный цепей Маркова основным также является уравнение Чепмена –Колмогорова, для однородной цепи имеющее вид:

2015-01-12

45.43 KB

9 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция   № 3

по дисциплине “Теория распределение информации»

Лекционные занятия: Модели систем массового обслуживания

1.Непрерывные цепи Маркова.

2.Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований. Система М/M/1. Анализ

1.Непрерывные цепи Маркова.

Случайный процесс X(t)   с дискретным множеством значений образует непрерывную цепь Маркова, если

.

Будущие состояния зависят от прошлого только через текущее состояние. Для непрерывный цепей Маркова основным также является уравнение Чепмена –Колмогорова,  для однородной цепи имеющее вид:  .

Здесь матрица H(t) = [ pij(t)] - матрица вероятностей перехода из состояния  i в состояние j в момент времени t , а матрица Q  называется матрицей интенсивностей переходов. Ее элементы имеют следующий смысл: если в момент времени  t система находилась в состоянии Ei , то вероятность перехода в течение промежутка времени (t,t+Δt)  в произвольное состояние Ej  задается величиной qij(t)Δt + o(Δt), а вероятность ухода из состояния Ei  величиной   -qiiΔt + o(Δt).

Таким образом, интенсивности переходов можно вычислять как соответствующие пределы при стремлении к нулю длительности временного интервала.

Наиболее важным для дальнейшего использования является класс непрерывных цепей Маркова называемых «процессами гибели - размножения»(Birthdeath process). Для таких систем из состояния k возможны переходы только в состояния k, k-1  и  k+1  в следующие моменты времени:

  •  в момент t объем популяции был равен k  и в течение времени (t,t+Δt) не произошло изменения состояния
  •  в момент t объем популяции был равен k-1 и в течение времени (t,t+Δt) родился один член популяции
  •  в момент времени t объем популяции был равен k+1 и в течение времени (t,t+Δt) погиб один член популяции

Рис. 2  Возможные переходы в состояние Ек.

Диаграмма переходов для дискретных цепей Маркова (Рис 3)

Рис.3  Диаграмма интенсивностей переходов для процесса размножения и гибели.

Овалам здесь соответствуют дискретные состояния, а стрелки определяют интенсивности  потоков вероятности (а не вероятности!) переходов от одного состояния к другому.

Имеет место своеобразный «закон сохранения»:

Разность между суммой интенсивностей, с которой система попадает в состояние k и суммой интенсивностей, с которой система покидает это состояние должна равняться интенсивности изменения потока в это состояние (производной  по времени).

Применение закона сохранения позволяет получать уравнения для любой подсистемы Марковской цепи типа процесса «гибели-размножения». Особенно эффективным оказывается построение решений в стационарном, установившемся режиме, когда можно полагать что вероятности в произвольный, достаточно отдаленный момент времени, остаются постоянными.

Система М/M/1. Анализ.

Это система с пуассоновским входным потоком заявок, экспоненциальным законом  распределения времени обслуживания и одним сервером.

На рис. 1. приведена простейшая схема такой системы. Она содержит буфер, который может хранить очередь бесконечной длины, состояние которой может быть отождествлено с числом заявок, содержащихся в очереди в каждый момент времени.

Рис. 1.  СМО типа М/М/1.

Поскольку входной процесс ординарный, то в каждый момент времени  к очереди может добавиться только одна заявка, поскольку сервер один, то в каждый момент времени может быть обслужена, то есть уйти из очереди только одна заявка. Таким образом, рассматриваемая СМО относится к процессу класса «гибели-размножения». Для анализа необходимо конкретизировать параметры системы. Распределение вероятностей входного потока и времени обслуживания позволяет полагать интенсивности вероятностей в модели постоянными.

Здесь – среднее время обслуживания в сервере.

На рис 2 приведена диаграмма интенсивностей переходов для рассматриваемой системы.

Рис. 2 Диаграмма интенсивности переходов для СМО типа М/М/1.

Полученное ранее общее решение позволяет сразу записать вероятность того, что в стационарном состоянии в очереди будет находиться  k  заявок

Найдем начальное значение вероятности, учитывая сходимость соответствующего ряда

.

Окончательно получаем формулу для вероятности длины очереди

.

PAGE  3

                                                                                                                                                                  



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
21670. Теория систем массового обслуживания 185.18 KB
  Ширина полосы налета определяется возможностями обстрела всеми каналами любой цели в пределах полосы налета. Предполагается, что если самолет летит вне пределов полосы налета (слева или справа), тот эти самолеты не могут быть обстреляны ни одним из каналов данной системы ПВО.
6290. Анализ систем массового обслуживания с приоритетами 731.09 KB
  Основная модель расчета среднего времени ожидания. Дисциплины обслуживания с приоритетами зависящими от времени. Основная модель расчета среднего времени ожидания Будем использовать далее следующие обозначения для среднего значения времени ожидания в очереди требований из приоритетного класса p Wp и среднего времени пребывания в системе для требований этого класса Tp: . Первая составляющая времени ожидания для меченого требования связана с требованием которое оно застает в сервере.
6267. Анализ систем массового обслуживания с марковскими потоками требований 54.55 KB
  Система с несколькими серверами: M M m 2.Система обслуживания с m серверами явными потерями: M M m Loss 1. Система с несколькими серверами: M M m Рассмотрим сначала простой случай системы содержащей два сервера любой из которых доступен для поступающих на вход заявок. Системы с несколькими серверами такого типа называют полнодоступными.
18278. Исследование системы массового обслуживания 289.05 KB
  Теоретические аспекты теории массового обслуживания. Математическое моделирование систем массового обслуживания. Имитационное моделирование систем массового обслуживания. Перечень задач исследования операций. Исследование системы массового обслуживания.
6266. Основы марковской теории сетей массового обслуживания 48.83 KB
  Анализ систем массового обслуживания без явных потерь. Анализ сетей массового обслуживания с блокировками. Метод вероятностных графов Ли Основы марковской теории сетей массового обслуживания возможность расчета характеристик более сложных по структуре систем массового обслуживания.
3679. Разработка конструкции новой модели женского платья массового производства 32.53 KB
  При проектировании одежды должны быть максимально использованы последние достижения науки, техники, прикладного искусства, наиболее совершенные методы конструирования, выбраны и всесторонне оценены наилучшие композиционные и конструктивные решения.
6291. Анализ систем с произвольным законом распределения времени обслуживания 40.34 KB
  Системы массового обслуживания с немарковским распределением времени обслуживания. Системы массового обслуживания с немарковским распределением времени обслуживания Для входных потоков марковость будет сохранена. Обозначим функцию распределения времени обслуживания Bx а плотность распределения bx.
735. Совершенствование развития отделения Социально-бытового обслуживания на дому на примере Комплексного центра социального обслуживания населения Навашинского района 85.53 KB
  Теоретико-методологические основы социального обслуживания населения в РФ. История возникновения направления и функции социального обслуживания населения в России. Экономико-правовые основы социального обслуживания населения.
12984. Финансовое планирование и исполнение сметы доходов и расходов (на примере Бюджетного учреждения социального обслуживания Сокольского муниципального района «Комплексный центр социального обслуживания населения 4.08 MB
  Понятие и законодательные основы функционирования бюджетных учреждений в РФ. Основные методы планирования сметы доходов и расходов применяемые в бюджетных учреждениях РФ на современном этапе. Направления совершенствования финансового планирования и эффективности использования бюджетных ресурсов в БУ СО КЦСОН...
3111. Инвестиции и сбережения в кейнсианской модели. Макроэкономическое равновесие в модели “кейнсианский крест” 27.95 KB
  Инвестиция – это функция ставки процента: I=Ir Эта функция убывающая: чем выше уровень процентной ставки тем ниже уровень инвестиций. По взглядам Кейнса сбережения – это функция доходаа не процентной ставки: S=SY Т. инвестиции являются функцией процентной ставки а сбережения – функцией дохода.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.