Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...

2015-01-14

163.25 KB

77 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


ПГУ  им. Т.Г. Шевченко

Курсовая работа

Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

                                                                                                

Выполнил:

                                                                                                студент 211 группы

                                                                                        специальности «ИКТиСС»

Бирт Игорь Андреевич

                                                                                                  

Проверил:  

Тирасполь 2014 год

Содержание

           

           

1.Введение                                                      3 стр.

2.Виды дифференциальных уравнений       4 стр.

3.Практическая часть                                    8 стр.

       4.Литература                                                  20 стр.

  1.  ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на линейные и не линейные.

Нелинейное дифференциальное уравнение - дифференциальное  уравнение (обыкновенное или с частными производными), в которое по крайней мере одна из производных неизвестной функции  (включая и производную нулевого порядка - саму неизвестную функцию) входит нелинейно. 

Иногда под Н.Д.У. понимается наиболее общее уравнение  определенного вида. Напр., нелинейнымобыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка наз. уравнение    с произвольной  

функцией         при этом линейное обыкновенное дифференциальное уравнение    1-го порядка соответствует частному случаю 

Н. д. у. с частными производными 1-го порядка для неизвестной функции z 

от независимых переменных  имеет вид:

где F- произвольная функция своих аргументов;

Виды  нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:

Уравнения с разделенными переменными 

П1.


     Общий интеграл 

  

П2.


     


     Общий интеграл 


     Уравнение в полных дифференциалах 

Где

 

     Существует такая функция u(x, y), что


     Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах u(x, y) = C. 

   Функция u может быть представлена в виде

 Однородное уравнение 

где P(x, y)Q(x, y) - однородные функции одной и той же степени 

.

     Подстановка y = uxdy = xdu + udx  переводит однородное уравнение в линейное относительно функции u:


     

Уравнение вида

  

     1. Если прямые     и  пересекаются в точке

(x0y0), то замена   приводит его к однородному уравнению

     2. Если прямые  и  параллельны, то замена  приводит к уравнению с разделяющимися переменными

   Уравнение Бернулли 

     Подстановкой  сводится к линейному


     Уравнение Риккати 

     Если известно какое-либо из решений , то уравнение сводится к

линейному подстановкой    .


     Уравнение Лагранжа 

     Дифференцируя по x и полагая y' = p, приходим к линейному уравнению относительно x как функции p:


     Уравнение Клеро 

      -  частный случай уравнения Лагранжа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Уравнения Риккати

Решить дифференциальное уравнение 

y' = y + y2 + 1.

Решение.

Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:

Решить уравнение Риккати

Решение

Будем искать частное решение в форме:

       

Подставляя это в уравнение, находим:

  Получаем квадратное уравнение для c:

Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену:

Снова подставим это в исходное уравнение Риккати:

Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену:

Разделим уравнение Бернулли на z2 (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v:

Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя:

Общее решение линейного уравнения определяется функцией

Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом:

Следовательно,

Можно переименовать константу: 3C = C1 и записать ответ в виде

где C1 − произвольное действительное число.

     

Уравнения Бернули

Найти все решения дифференциального уравнения

Решение.

Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром

m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены

Производная новой функции z(x) будет равна

Разделим исходное уравнение Бернулли на

Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать:

Заменяя y на z, находим:

Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z(x). Интегрирующий множитель здесь будет равен

Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u(x) = x. Можно проверить, что после умножения на u(x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z(x)u(x):

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением:

Возвращаясь к исходной функции y(x), записываем решение в неявной форме:

Итак, полный ответ имеет вид:

      

Уравнения с разделяющимися переменными

Найти все решения дифференциального уравнения 

y' = −xey.

Решение.

Преобразуем уравнение следующим образом:

Очевидно, что деление на ey не приводит к потере решения, поскольку ey > 0. После интегрирования получаем

Данный ответ можно выразить в явном виде:

В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.

Найти частное решение уравнения, при

y(0) = 0.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде:

Разделим обе части на 1 + ex:

Поскольку 1 + ex > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение:

       

Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0.

      

Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

Уравнение Клеро

Найти общее и особое  решения дифференциального уравнения 

y = xy' + (y')2

Решение

Полагая  y' = p, его можно записать в виде

Продифференцировав по переменной x, находим:

Заменим dy на pdx:

Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:

Теперь подставим это во второе уравнение:

В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение:

Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как

Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой:

С геометрической точки зрения, парабола

является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением.

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения

Решение.

Введем параметр  y' = p:

Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем:

Поскольку dy = pdx, то можно записать:

Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение:

Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.

Второй случай описывается уравнением

Найдем соответствующее параметрическое выражение для y:

Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем:

       

Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий.

ЛИТЕРАТУРА

  1.  Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление", том второй, издательство "Наука", Москва 1985

  1.  В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит, 2001.

  1.   К.Н. Лунгу, В.П. Норин и др. "Сборник задач по высшей математике", второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

  1.   Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

  1.  Источники информации в интернете.

PAGE   \* MERGEFORMAT19



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
13541. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка 113.05 KB
  Рассмотрим уравнение XxdxYydy=0 1 в котором коэффициент при dx зависит только от x а коэффициент при dy – только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Тогда уравнение 1 можно переписать так . К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида p1xp2ydx q1xq2ydy = 0 в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.
13536. Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 129.39 KB
  Такие уравнения называются дифференциальными. Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания. Для того чтобы найти эту функцию отделим переменные t и x друг от друга собрав члены с x в левой части уравнения а члены с t в правой: .
19450. Численные методы решения нелинейных уравнений 156.56 KB
  Видим что обе части не являются алгебраическими и содержат тригонометрические формулы значит это трансцендентное уравнение для решения которого не существует формул для отыскания корней. Построим график для того чтобы примерно определить промежутки содержащие корни см. Для этого реализуем метод половинного деления. Для того чтобы использовать эту функцию напишем скрипт который будет выводить первые пять корней отмечать их на графике а также использовать встроенную функцию для проверки решения и вычислять резонансные частоты стержня.
6217. Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений 284.94 KB
  Методы нахождения корней системы нелинейных уравнений. Для системы из 2 уравнений это можно сделать графически но для систем высоких порядков удовлетворительных методов отделения корней не существует. Проблема решения системы 1 возникает при решении многих прикладных задач например поиска безусловного экстремума функций многих переменных с помощью необходимых условий...
1726. Вычисление корней нелинейных уравнений методом Ньютона 123.78 KB
  Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Первый раздел теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона.
19491. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 267.96 KB
  Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
6215. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1.42 MB
  Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции. Общим интегралом уравнения. неявным образом причем число постоянных интегрирования равно порядку уравнения. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция.
13538. Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений 153.35 KB
  Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
3551. Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 143.97 KB
  Дифференциальными уравнениями называются уравнения, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Первые дифференциальные уравнения возникли из задач механики...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.