ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Первая задача теории корреляции – установить форму корреляционной связи то есть вид функции регрессии линейная квадратичная и так далее. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии по несгруппированным данным Пусть имеются две случайные величины и проводится их измерение.

2014-07-09

54.63 KB

18 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


§ 4. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

4.1. Понятие функциональной, 

статистической и корреляционной зависимости.

Две случайные величины  и  могут быть связаны функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, либо быть независимыми. 

Зависимость величины  от  называется функциональной, если каждому значению величины  соответствует единственное значение .

 Строгая функциональная зависимость в окружающем нас мире встречается редко, так как обе величины  и , или одна из них , подвержены

еще действию случайных факторов. Если среди этих факторов есть общие для обеих величин, то в этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называется зависимость, при которой изменение одной величины влечет изменение распределения другой.

Если изменение одной из переменных сопровождается изменениями условного среднего значения другой переменной величины, то такая зависимость является корреляционной.

Условным средним  называют среднее арифметическое значений , соответствующих значению .

Например, пусть при  случайная величина  приняла значения , , . Тогда условное среднее равно .

Если каждому значению  соответствует одно значение условной средней, то условная средняя есть функция от . В этом случае говорят, что случайная величина  зависит от  корреляционно. 

Корреляционной зависимостью  от  называют функцию .

Уравнение   называют уравнением регрессии   на ,  а ее графиклинией регрессии  на .

Аналогично определяется условная средняя  и корреляционная зависимость   от  .

Условным средним  называется  среднее арифметическое значений , соответствующих . 

Корреляционной зависимостью  от  называют функцию .

Уравнение   называют уравнением регрессии   на ,  а ее графиклинией регрессии  на .

Корреляционный анализ рассматривает две задачи.

Первая задача теории корреляцииустановить форму корреляционной связи, то есть вид функции регрессии (линейная, квадратичная и так далее).

Вторая задача теории корреляцииоценить силу (тесноту) корреляционной связи. Теснота корреляционной связи (зависимости) на  оценивается по величине рассеивания значений  вокруг условного среднего. Большое рассеивание свидетельствует о слабой зависимости  от , малое рассеивание указывает на наличие сильной зависимости.

4.2. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии

по несгруппированным данным

Пусть имеются две случайные величины, и проводится их измерение.

 В результате  независимых опытов получены,  пар чисел ,  , ,   

Будем искать линейное выборочное уравнение регрессии  на  в  виде:

Так как по выборочным данным можно получить только оценки параметров, то оценку коэффициента  обозначим через , а оценку  — через , то есть   .

Параметры   и  находим методом наименьших квадратов по формулам:

,

Аналогично находится выборочное уравнение линейной регрессии  на :

, 

где 

,

.

Для оценки связи (тесноты) между случайными величинами обычно используется выборочная ковариация и выборочный коэффициент корреляции.

Выборочная ковариация (эмпирический корреляционный момент) записывается в виде: 

,

а выборочный коэффициент корреляции имеет вид:

     или     ,

где   ,  .

 Абсолютная величина (модуль) выборочного коэффициента корреляции не превосходит единицы, то есть    или . С возрастанием  линейная корреляционная зависимость становится более тесной,  и при   переходит в функциональную. Если  , то корреляционная связь испытаний  и   отсутствует.

Пример 11. В результате независимых испытаний получены пары значений случайных величин  и  :

10

20

25

28

30

4

8

7

12

14

В таблице значения  расставлены в возрастающем порядке.

Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции. Построить прямые регрессии  на и   на .

4.3. Отыскание параметров выборочного уравнения линейной регрессии

по сгруппированным данным

При большом числе опытов одно и то же значение  может встретиться  раз, а одно и то же значение , соответственно,  раз. Причем  обычно

 ,  где   - объем выборки.

 Одна и та же пара значений   может наблюдаться  раз.

В этом случае наблюдаемые значения группируют. Для этого подсчитывают частоты, и все эти результаты вносят в таблицу, которая называется корреляционной табл. 17.

Таблица 17.

где

   ;   - значения случайных величин и   или середины интервалов;

  ;   - соответствующие им частоты;

   - частота, с которой встречается пара .

 Выборочный коэффициент корреляции определяется по формуле:

   

        ,  где    .

.

 Вычисление  значительно упрощается, если ввести условные варианты 



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
20738. Элементы математической статистики и корреляционного анализа 1.26 MB
  Обработка данных наблюдений и проверка гипотез Статистическое распределение выборки Расчет сводных характеристик выборки Расчет интервальных оценок генеральных параметров Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности критерию Пирсона Построение гистограммы выборки и теоретической нормальной прямой...
2276. S – элементы 28.09 KB
  Общая характеристика S – элементов П группы. Физические и химические свойства S – элементов П группы. Важнейшие соединения S – элементов I и П групп. Биологическая роль и применение в медицине соединений S – элементов.
15942. d–Элементы 317.61 KB
  У d-элементов валентными являются энергетически близкие девять орбиталей: одна s-орбиталь три np-орбитали и пять n–1d-орбиталей: n–1d ns np Приведем электронные конфигурации валентные электроны атомов d-элементов 4-го периода периодической системы...
15952. P-элементы 392.32 KB
  При этом у атомов элементов IIIА группы остается одна незанятая орбиталь а число валентных электронов остается меньше числа доступных по энергии орбиталей. Поэтому многие ковалентные соединения элементов IIIА группы являются кислотами Льюиса – акцепторами электронной пары приобретая которую они не только повышают координационное число до четырех но и изменяют геометрию своего окружения – одна из плоскостей становится тетраэдрической состояние sр2-гибридизации. При переходе от l к G рост эффективного заряда ядра оказывается более...
2148. ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 2.96 MB
  Выполнение защиты плавкими предохранителями эффективно только в том случае если плавкая вставка расплавляется быстрее чем температура защищаемого элемента системы электроснабжения достигает недопустимых значений. Основными характеристиками предохранителя являются: номинальный ток плавкой вставки ; номинальный ток предохранителя ; номинальное напряжение предохранителя ; номинальный ток отключения предохранителя . Одновременно с нагревом плавкой вставки нагреваются до установившегося состояния и другие элементы предохранителя например...
2287. ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ VА 25.94 KB
  Гидроксиламин получают восстановлением раствора HNO3 атомарным водородом в процессе электролиза: HNO3 6H → NH2OH 2H2O. Образуется при действии азотистой кислоты на водный раствор гидразина: N2H4 HNO2 = HN3 2H2O. В лаборатории NO получают действием разбавленной HNO3 на Cu: 3Cu 8HNO3разб. 4NO2 O2 2H2O = 4HNO3 эта реакция используется в промышленности для получения...
2283. ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ VI А 42.45 KB
  Характерные степени окисления в соединениях равны –2 H2Se 2 TeBr2 PoCl2 4 SeO2 TeO2 6 H2SeO4 H6TeO6. = H2SeO3 4NO2 HOH; Ро 8HNO3 конц. При нагревании селен теллур и полоний легко окисляются кислородом галогенами при сплавлении реагируют с металлами: to to Se Te O2 → SeO2 TeO2 2Se C → CSe2 to...
2281. ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ VII A 27.7 KB
  Атомы галогенов могут образовывать ионные связи NCl KF ковалентные полярные связи HCl BF3 ковалентные неполярные связи. Окислительные свойства галогенов проявляются и при...
2266. ЭЛЕМЕНТЫ ГРУППЫ I В 17.54 KB
  Нахождение в природе и получение меди серебра и золота. Нахождение в природе и получение меди серебра и золота Содержание Cu g u в земной коре невелико: содержание меди равно 001 масс серебра 105 масс и золота 5 ∙ 107 масс. Часто промывку совмещают с растворением золота в жидкой ртути с последующей разгонкой амальгамы. Лучшим методом отделения золота от пустой породы является цианидный метод.
4466. Элементы комбинаторики 13.55 KB
  Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при вычислении вероятностей.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.