Освоить методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Лагранжа с равномерным расположением узлов

ЦЕЛЬ РАБОТЫ Освоить методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Лагранжа с равномерным расположением узлов. Изучить свойства интерполяционного полинома Лагранжа. Исследовать зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Лагранжа.

2014-06-16

265.87 KB

12 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск



Министерство Образования и Науки Украины

    Севастопольский национальный технический университет

Кафедра Технической кибернетики

Отчёт по лабораторной работе

«ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМАМИ»

                                                                Выполнил:

студент группы А-22д

                                                                                                   Сулейманов Н.Р.

                                                                Проверил:

ст. преп. Альчаков В.В.

Севастополь

2011 г.

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

  •  Освоить методы алгоритмизации и программирования формы представления интерполяционного полинома Лагранжа с равномерным расположением узлов.
  •  Изучить свойства интерполяционного полинома Лагранжа.
  •  Исследовать зависимость ошибки интерполирования функции от количества и расположения узлов для интерполяционного полинома Лагранжа.

2 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

   Интерполирование - это приближённое определение значений функции f(x) в промежуточных точках заданного замкнутого интервала xB  x  xE  изменения её аргумента x по известным значениям f(x1), f(x2),…, f(xm). Значения аргумента xi[xB, xE] , i=1,2…,m  интерполируемой функции f(x) называются узлами интерполяции.

Интерполирование функции f(x) полиномом означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

         f(k)(xi) = Fm(k)(xi) ,  i = 1,2,…,m ,  k = 0,1,…,mi-1 .

   Здесь f(k)(xi) – известные значения функции f(x) и её производных k- ого порядка f(k)(x) в узлах интерполяции, а mi – кратность i- ого узла. Если mi=1, i-тый узел называется простым. 

   Интерполирование функций f(x) полиномом с простыми узлами (mi=1, i =1,2,…,m) означает построение такого полинома минимальной степени Fm(x), который в m узлах интерполяции удовлетворяет условиям:

f(xi) = Fm(xi) ,  i = 1,2,…,m .

Интерполяционный полином Ньютона может быть представлен в виде

Fm (x) = , где   ,  i(x,0)=1.

Ошибка интерполирования функции f(x) на интервале обычно оценивается как максимальное значение на этом интервале абсолютной величины ошибки. Поскольку вычислить E(x) во всех точках интервала невозможно, то в работе предлагается вычислить её значение в точках

 zi = (i-1)·0,01 ,  i = 1,2,…,101        

и определить оценку ошибки интерполирования функции на заданном интервале [0,1], как e = |E(zi)| .

3 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Функция ,   

для которой необходимо построить интерполяционный полином Fm(x) в форме Лагранжа

Вариант №2

№            

С1

С2

С3

С4

С5

2

0

0,5

0,4

-2,47

1,46

4 СХЕМА РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

5 ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#include <math.h>

const double c1=0;

const double c2=0.5;

const double c3=0.4;

const double c4=-2.47;

const double c5=1.46;

double f(double x)

{

return (c1*x+c2)/(x*x*x+c3*x*x+c4*x+c5);

}

int main()

{

   double shag,Wi,T,Z,x,e,emax,q,uz;

   int m,i,j,k;

   system("chcp 1251");

   printf("Введите количество узлов интерполирования \n");

   scanf("%d",&m);

   double Q[m];//массив коэффициентов

   double t[m];//массив узлов интерполирования

   shag=1/((double)m-1);

   printf("   Узел   Точное значение  Значение полинома   Ошибка\n");

   //подсчёт и запоминание в массиве значений коэффициентов интерполяционного полинома Fm(x);

   for(i=1;i<=m;i++) t[i]=(i-1)*shag;//узлы

   for(i=1;i<=m;i++)

   {

    Wi=1;

    T=t[i];

    for(j=1;j<=m;j++) if (i!=j) Wi=Wi*(T-t[j]);//Коэфф 2 ф-лы 5

    Q[i]=f(t[i])/Wi;    //коэфф 1 ф-лы 5

   }

   //вычисление в цикле при   Zi=(i-1)·0,01 ,  i = 1,2,…,101 значений функции, полинома и ошибки интерполирования

   for(k=1;k<=101;k++)

   {

           Z=(k-1)*0.01;

           x=0;

           //Значение полинома >>

           for(i=1;i<=m;i++)

           {

                   Wi=1;

                   for(j=1;j<=m;j++) if(i!=j) Wi=Wi*(Z-t[j]);//Коэфф 2 ф-лы 5

                   x=x+Q[i]*Wi;

                   }

   e=f(Z)-x;//Ошибка

   if (emax<fabs(e))

   {

                     uz=Z;

                     emax=fabs(e);

                     }

   //Таблица пункта 3.1 с соотв. значением аргумента,вывод 20 значений (k-1)*0.05

   if ((k-1)%5==0) printf("i=%lf F(i)=%lf Fm(Zi)=%lf E=%lf \n",Z,f(Z),x,e);

}

   printf("Оценка ошибки на интервале=%lf,в узле %lf\n",emax,uz);

   system("PAUSE");

   return 0;

}

6 РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

При m=5

Графики функции f(x), а также график полинома Fm(x).Также представлен график изменения ошибки

При m=20

Графики функции f(x), а также график полинома Fm(x).Также представлен график изменения ошибки

ВЫВОД

Был изучен метод алгоритмизации и программирования представления интерполяционного полинома Ньютона с равномерным расположением узлов интерполирования, исследована зависимость ошибки интерполирования от числа узлов m. Cоставлена программа, реализующая интерполирование функций полинома методом Лагранжа. Сделаны следующие выводы:

- для достижения заданной точности вычислений на интервале [0,1] необходимо 20 узлов интерполирования;

- имея возможность подробного анализа погрешности метода (так как задана исходная функция для вычисления точных значений), были составлены графики погрешности метода для различных m (кол-во узлов), из которых следует:

1) наименьшая погрешность достигается в точках интервала, находящихся наиболее близко к узлам интерполирования; погрешность возрастает приближаясь к середине интервала между узлами;

2) наибольшая погрешность наблюдаются на интервалах между узлами, лежащими на “краях” интервала интерполирования [0,1].



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
14006. Создание класса и его дальнейшее использование в программном продукте для интерполирования функции с помощью полинома Лагранжа 149.27 KB
  С помощью языка С++ можно решать всевозможные задачи ставящиеся перед современным программистом: написание системных программ, разработка полноценных windows-приложений, объектное моделирование. Благодаря тому, что язык С++ первоначально разрабатывался как язык системного программирования, то он предоставляет программисту широкие возможности для работы с аппаратурой. Но так как язык С++ подвергся полномасштабной обработки
2151. МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ 357.74 KB
  Методы представления сигналов в виде диаграмм Глазковые диаграммы Диаграммы состояний Алгоритмические диаграммы диаграмма Треллиса и древовидная диаграмма Особенности представления цифровых сигналов. Помимо достаточно хорошо известных методов измерения аналоговых сигналов с использованием осциллограмм и спектрального анализа в методологии измерений цифровых сигналов широкое распространение получили специальные диаграммы что определяется дискретной природой сигналов. При проведении измерений используются два основных класса...
20838. Изучение истории возникновения программирования и основных принципов и подходов при создании языка программирования 705.86 KB
  Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: Проанализировать информационные источники по технологиям программирования; Рассмотреть историю развития технологий программирования; Выявить этапы развития технологий программирования. Создать базу данных для хранения информации о сотрудниках. Язык программирования – формализованный язык для описания алгоритма решения задачи на компьютере. Для автоматизации программирования разрабатывался для каждой ЭВМ свой автокод или Ассемблер.
8621. Языки программирования. Системы программирования. Среды визуального проектирования 21.13 KB
  Bsic язык имеющий и компиляторы и интерпретаторы по популярности он занимает первое место в мире. Этот язык занимает по популярности второе место после Bsic. В настоящее время наиболее популярны следующие среды визуального программирования для языков...
4849. Формы и методы осуществления функций государства 197.3 KB
  Термин «функция» имеет в отечественной и зарубежной научной литературе далеко не одинаковое значение. В философском и общесоциологическом плане, он рассматривается, как «внешнее проявление свойств какого-либо объекта в данной системе отношений»; как совокупность обычных или же специфических действий отдельных лиц или органов
21362. Формы и методы государственной промышленной политики РФ 35.23 KB
  Если оставить в стороне идеологические вопросы то для обоснования необходимости промышленной политики следует сравнить темпы экономического роста в условиях проведения промышленной политики с темпами роста в отсутствие государственного вмешательства. Однако отсутствие эмпирических данных для непосредственного анализа ставит под сомнение справедливость любых рассуждений об обоснованности проведения промышленной политики но в то же время позволяет ограничиться рассмотрением частичных последствий государственного вмешательства в тех областях...
7562. Методы, средства, формы воспитания и самовоспитания 23.98 KB
  Методы средства формы воспитания и самовоспитания Требования к компетентности по теме □ знать и уметь раскрывать сущность понятий метод воспитания; уметь обосновать ориентированность воспитательного взаимодействия на ценностные отношения; □ знать и уметь осуществлять классификацию методов воспитания; □ знать и уметь характеризовать методы формирования сознания личности методы организации деятельности и опыта общественного поведения методы стимулирования деятельности и отношений методы контроля и самоконтроля в воспитании; уметь...
18235. Формы и методы формирования знаний о здоровом образе жизни 284.43 KB
  Теоретическое обоснование формирования знаний о здоровом образе жизни младших школьников Сущность понятий здоровье здоровый образ жизни формирование знаний о здоровом образе жизни. Составляющие понятия здоровый образ жизни младшего школьника. Формы и методы формирования знаний о здоровом образе жизни у младших школьников. Опытно-экспериментальная проверка эффективности форм и методов формирования здорового образа жизни у младших школьников 2.
1864. Исследование уровня сформированности УУД у младших школьников в процессе алгоритмизации 937.54 KB
  Слово «алгоритм» происходит от имени выдающегося математика средневекового Востока Мухаммеда бена Муса аль-Хорезми. В одном из своих трудов он описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правила выполнения арифметических действий над целыми числами и обыкновенными дробями.
13294. Методы и формы обеспечения возвратности банковских ссуд на примере АО «Цеснабанк» 146.79 KB
  Учебник рассматривает различные формы и виды залога. Так же он упоминает о том что различают два вида залога: При котором предмет залога может оставаться у залогодержателя; При котором предмет залога передается в распоряжение во владение залогодержателю. Договор залога. При этом по условиям залога кредитор имеет преимущественное право перед другими кредиторами возместить средства из стоимости заложенного имущества.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.