СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В радиотехнике наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций синусов и косинусов кратных аргументов. Периодический сигнал с периодом может быть разложен в ряд Фурье вида...

2015-01-08

57.24 KB

60 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


PAGE  11

РОСТОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

СЕРВИСА И ТУРИЗМА

________________________________________________________________

Кафедра Радиоэлектроники

Лазаренко С.В.

ЛЕКЦИЯ № 3

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

по дисциплине “Радиотехнические цепи и сигналы”

г. Ростов-на-Дону

2012 г.

ЛЕКЦИЯ 3

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

по дисциплине РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

Время: 2 часа

Изучаемые вопросы:  1. Ряд Фурье в тригонометрической форме

2. Ряд Фурье в показательной форме

3. Спектры простейших сигналов

1 РЯД ФУРЬЕ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

В радиотехнике наибольшее распространение получила ортогональная система основных тригонометрических функций - синусов, и косинусов кратных аргументов. Это объясняется, прежде всего тем, что гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через линейную цепь. Могут измениться лишь амплитуда и (или) начальная фаза этого колебания.

Не трудно убедиться, что система функций (проверите это !)

(1)

является ортогональной на интервале , причем , если за  принять 1, а - для других функций системы (1).

Периодический сигнал  с периодом  может быть разложен в ряд Фурье вида

,   (2)

где .

Коэффициенты разложения (2) определяются в соответствии с выражением для коэффициентов обобщенного ряда Фурье, которое для этого случая принимает вид

  (3)

.    (4)

Форма записи ряда Фурье (2) не является единственной. Из тригонометрии известно соотношение

.  (5)

Раскладывая косинус суммы двух углов в правой части выражения (5), получим

,

откуда следуют очевидные соотношения

, ,      (6)

, .    (7)

С учетом сказанного выше ряд (2) запишется следующий образом

.    (8)

Форма (8) записи ряда Фурье наиболее наглядно выражает физический смысл представления периодического сигнала в виде суммы гармонических составляющих. Каждое слагаемое ряда (8) соответствует одной гармонической составляющей с амплитудой , угловой частотой  и начальной фазой .

Величина  соответствует постоянной составляющей сигнала, т.е. его среднему значению за период.

2 РЯД ФУРЬЕ В ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФОРМЕ

Ряд Фурье может быть представлен в третьей форме, комплексной. Для получения комплексной формы ряда Фурье воспользуемся формулой Эйлера

.

В этом случае выражение (8) примет вид:

.  (9)

До сих пор предполагалось, что числа , определяющие номера гармонических составляющих сигнала, только положительные. Действительно, не может быть составляющих с отрицательной частотой. Если формально допустить существование составляющих, соответствующих отрицательным , то с учетом явных соотношений, вытекающих из (6) и (7),

,    ,   ,   ,

вторую сумму выражения (9) можно представить в виде

.

Так как , то , , и весь ряд (9) можно записать в виде

,    (10)

где  - комплексная амплитуда -ной составляющей.

В соответствия с общим правилом нахождения коэффициентов обобщенного ряда Фурье комплексные амплитуды могут быть выражены через  с учетом выражений (6) и (7)

.       (11)

Выбор формы записи ряда Фурье производится с учетом удобства записи и вычислении в каждом отдельном случае.

Таким образом, любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде совокупности гармонических колебании кратных частот (гармоник). Эта совокупность гармоник называется спектром сигнала.

Спектры можно изображать графически на временной диаграмме (рисунок 1).

Рисунок 1

Однако такое изображение весьма неудобно и громоздко, особенно при большом числе спектральных составляющих. Поэтому принято изображать спектр в виде так называемых спектральных диаграмм

По оси абсцисс декартовой системы координат откладывают частоты гармонических составляющих. По оси ординат в каком-либо выбранном масштабе откладывают либо амплитуды (амплитудная спектральная диаграмма) либо начальные фазы (фазовая спектральная диаграмма) этих составляющих.

Часто амплитудную и фазовую спектральные диаграммы называют просто амплитудным и фазовым спектрами сигнала

Для построения спектров необходимо сигнал представить в виде (8), используя для этого выражения (5).(6) или (11).

3 СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ СИГНАЛОВ

В качестве примера определим спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с периодом повторения , длительностью  и амплитудой  (рисунок 2)

Рисунок 2

Аналитически такой сигнал в пределах периода может быть записан в виде

.

Используя выражение (11), получим

.(12)

Амплитудный спектр описывается выражением

,

а фазовый

.

Пояснить особенности амплитудного и фазового спектра периодических сигналов. Спектральная диаграмма приведена на рисунке 3.

Рисунок 3

Как видно из полученного выражения, форма огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов определяется множителем , где , представляющим собой известную математическую функцию. График этой функции изображен на рисунке 4.

Рисунок 4

При построении спектра на графике учитываются только амплитуды составляющих, а знаки функции  относятся к фазам этих составляющих. Множитель  в выражении (12) определяет масштаб огибающей и одновременно масштаб всего спектра.

Точки, в которых огибающая спектра равна нулю, соответствуют значениям частоты , при которых числитель выражения (12) для огибающей равен нулю. Это условие выполняется при , где  или

.

В начале координат при  имеет место известное из математики равенство

.

Теоретически спектр периодического сигнала простирается до бесконечности, т.е. имеет бесконечно большую ширину. Практически существенной является лишь некоторая часть спектра, включающая в себя все составляющие со сколько-нибудь значительными амплитудами, например, не менее 0,01 наибольшей из них. Ширина определенной таким образом практически существенной части спектра называется практической шириной спектра. В последующем будут даны дополнительные соображения по ее определению.

Из детального рассмотрения спектрального состава периодической последовательности прямоугольных импульсов можно сделать выводы, общие для спектров любых периодических сигналов.

1. Спектры периодических сигналов дискретны, т.е. состоят из отдельных составляющих.

2. Частоты гармонических составляющих спектра кратны частоте повторения периодического сигнала; самой низкой из них по частоте (кроме постоянной составляющей, частота которой равна нулю) является первая гармоническая составляющая, ее частота равна частоте повторения периодического сигнала.

3. Форма огибающей спектра определяется формой периодического сигнала, т.е. функцией .

4. Практическая ширина спектра определяется длительностью сигнала, образующего при непрерывном повторении периодическую последовательность, более короткому сигналу соответствует более широкий спектр и наоборот.

Выводы 1-3 следуют из общих соотношений для периодических сигналов. Вывод 4 получен для последовательности прямоугольных импульсов, последующее изложение подтверждает справедливость этого вывода для всех случаев.

Старший преподаватель кафедры Радиоэлектроника  С. Лазаренко



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
4267. Спектральный анализ 3.49 KB
  Спектральный анализ используется как в целях подавления шума так и для решения других проблем обработки данных. Спектром совокупности данных ух называют некоторую функцию другой координаты или координат Fw полученную в соответствии с определенным алгоритмом. Каждое из интегральных преобразований эффективно для решения своего круга задач анализа данных.
4262. Исследование периодических процессов 6.65 KB
  Цель анализа – разложить временные ряды с циклическими компонентами на несколько основных синусоидальных функций с определенной длиной волн. В результате анализа во временных рядах обнаруживаются несколько повторяющихся циклов различной длины которые на первый взгляд выглядят как случайный шум.
15525. ДЕКОНВОЛЮЦИЯ СИГНАЛОВ 79.04 KB
  Применяется для сжатия сигналов с целью повышения временного или пространственного разрешения результатов измерений. 3 где don - импульс Кронекера don = 1 при n = 0 don = 0 при n ≠ 0. Пример инверсии оператора через спектральное представление приведен на рис. При ограниченной импульсной реакции h[n] инверсный оператор h-1[n] в общем случае не ограничен.
9459. Детекторы сигналов 144.31 KB
  Из теоретических основ радиотехники известно, что диодный детектор может работать в двух режимах. Режим слабого сигнала, когда ВАХ диода аппроксимируется квадратичной параболой вида , характеризуется сильными нелинейными искажениями и, по этой причине, в радиоприемниках не применяется
5904. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ 84.87 KB
  Возникновение теории электрических и радиотехнических цепей неразрывно связано с практикой: со становлением электротехники, радиотехники и радиоэлектроники. В развитие указанных областей и их теории внесли свой вклад многие отечественные и зарубежные ученые.
17495. Генераторы измерительных сигналов 81.56 KB
  При нормировании метрологических характеристик низкочастотных генераторов вводится понятие индекса класса точности. За индекс класса точности принимается значение основной погрешности установки частоты и уровня выходного напряжения в процентах. Запись вида, например...
9215. СИСТЕМА ВОЗДУШНЫХ СИГНАЛОВ 339.13 KB
  Одним из важнейших параметров полета летательного аппарата (ЛА) является его скорость. В основу принципа действия современных бортовых средств измерения параметров движения летательного аппарата (ЛА) в воздушной среде положен аэрометрический метод. С развитием авиационной техники возросли требования к точности измерения аэрометрических параметров.
1481. Высокочастотный генератор синусоидальных сигналов 236.41 KB
  Из семи основных физических величин длина масса время сила электрического тока термодинамическая температура сила света и количество вещества эталоны времени и частоты являются самыми точными. Вторая половина лампы типа 6Х6С используется для компенсации начального отклонения...
8010. Передача сигналов в животных клетках 10.89 KB
  Первым шагом при этом всегда является связывание лиганда т. Эти соединения регулируют рост клеток при различных условиях в частности при эмбриогенезе созревании клеток или их пролиферации которая является частью иммунного ответа. Обычно сам рецептор и является мишенью происходит аутофосфорилирование но данные о том. Ни одна из субъединиц не является трансмембранным белком.
14732. Статистическое описание сигналов и помех 65.13 KB
  Учебноматериальное обеспечение Наглядные пособия схемы: Совокупность реализаций непрерывного случайного процесса Xtи его математического ожидания mxt. Графики одномерных дифференциальных и интегральных распределений случайного процесса. Графики одномерных дифференциальных и интегральных распределений случайного процесса. Явление это называется дробовым эффектом а вызванная им флуктуация анодного тока это типичный пример случайного процесса.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.