Визуализация численных методов. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Первые дифференциальные уравнения возникли из задач механики...

2014-08-04

143.97 KB

126 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


«Сибирский государственный университет телекоммуникации

и информатики»

Уральский технический институт связи и информатики

Кафедра физики, прикладной математики и информатики.

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ИНФОРМАТИКЕ

На тему:

«Визуализация численных методов.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений».

                                                                           Выполнил:

студент группы РЕ-91

Кобенко М.А.

                                                                               Проверила:

Тюпина О.М.                                                                                                    

Екатеринбург

2010 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи…………………………………………………….4

2. Описание методов решения…………………………………………..5

2.1. Суть задачи………………………………………………………….5

2.2. Геометрический смысл задачи…………………………………….5

2.3. Численные методы решения задачи Коши……………………….6

2.4. Метод Эйлера модифицированный……………………………….6

2.5. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка………………………………….8

3.Алгоритм решения задачи в VISUAL BASIC………………………..11

3.1.Алгоритмы подпрограмм……………………………………………11

           3.1.1.Алгоритм общего решения………………………………………..11

           3.1.2.Алгоритм метода Эйлера………………………………………….11

           3.1.3.Алгоритм  метода  Рунге-Кутта  4 порядка……………………....12

           3.2. Алгоритм функции………………………………………………….13

           3.3. Алгоритм программы………………………………………………14

           4.Форма программы……….……..…….…………………………….….17                                          

           5.Листинг программы на языке Visual Basic……….………………… 18

           6.Решение в MATHCAD…………….……….……………………….…22

           6.1.Эйлер модифицированный………………….….…………………...22

           6.2.Рунге-Кутт 4-го порядка…………………….……………………....23

           6.3.Общее решение……………………………………..………………..24

           Вывод по курсовой работе…………………………………..…………..25

          

Введение

Дифференциальными  уравнениями называются уравнения, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Первые дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Но  в данной работе мы будем рассматривать методы решения обычных дифференциальных уравнений. В данной курсовой работе я поставил перед собой цель - решить дифференциальное уравнение двумя численными методами : методом Эйлера модифицированного и методом Рунге-Кутта 4 прядка. Для этого мне необходимо: решить дифференциальное уравнение с помощью приложения MathCad; написать программу для решения дифференциального уравнения двумя численными методами в программе Visual Basic; сравнить полученные результаты разными методами с общим решением.

1. Постановка задачи.

Решить методами Рунге-Кутта и Эйлера модифицированного задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка на отрезке [X0; Xk] с шагом h и начальным условием: Y(X0) = Y0.

Ответ должен быть получен в виде таблицы результатов:

X

Y(1)

Y(2)

YT

X0

Y0(1)

Y0(2)

Y(X0)

X1

Y1(1)

Y1(2)

Y(X1)

Xk

Yk(1)

Yk(2)

Y(Xk)

Где Y(1), Y(2) – решения, полученные различными численными методами, YT – точное решение дифференциального уравнения.

Возможно представление результатов решения не в виде таблицы, а в виде списков.

Данные таблицы визуализировать на форме в виде графиков.

Перед вычислением последнего столбца таблицы результатов необходимо из начальных условий вычесть значение коэффициента c, используемого в общем решении.

  

Дифференциальное уравнение

X0

Xk

h

Y0

Общее решение

(y2 -2*x*y)dx+x2 dy=0

1

2

0,1

0,2

y=x2/(c+x)


2. Описание методов решения.

2. 1.Суть задачи.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши. Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом:

Пусть дано дифференциальное уравнение  и начальное условие y(x0) = у0. Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.

Численное решение задачи Коши сводится к табулированию искомой функции.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

2. 2. Геометрический смысл задачи.

y’ = f(x,y)  - тангенс угла наклона касательной к графику решения в точке (х, у) к оси 0Х, - угловой коэффициент (рис. 1).

Рисунок 1. Геометрический смысл задачи Коши.

Существование решения:

Если правая часть f(x, y) непрерывна в некоторой области R, определяемой неравенствами

|x-x0| < а; |y-y0| < b,

то существует, по меньшей мере, одно решение у = у(х), определённое в окрестности |х – х0| < h, где h - положительное число.

Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y),

где N - некоторая постоянная (константа Липшица), зависящая, в общем случае, от а и b. Если f(x, у) имеет ограниченную производную

fy(x, y) в R, то можно положить N = мах |fy(х, у)| при (х, y) принадлежащим R.

2. 3. Численные методы решения задачи Коши.

При использовании численных методов выполняется замена отрезка [х0, X] - области непрерывного изменения аргумента х множеством . состоящего из конечного числа точек х0 < х1 < ... < xn = Х - сеткой.

При этом xi называют узлами сетки.

Во многих методах используются равномерные сетки с шагом:

Задача Коши, определённая ранее на непрерывном отрезке [х0, X], заменяется её дискретным аналогом - системой уравнений, решая которую можно последовательно найти значения y1, y2,…,yn - приближённые значения функции в узлах сетки.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники, и число разработанных для него методов достаточно велико. Эти методы могут быть разделены на следующие группы.

Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей точки на
кривой у =
f(x) требуется информация лишь об одном предыдущем шаге.
Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рунге - Кутта.

Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для отыскания следующей точки кривой у = f(x) требуется информация более чем об одной из  предыдущих точек.   Чтобы  получить достаточно точное  численное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов относятся методы Милна, Адамса - Башфорта и Хемминга.

Явные методы, в которых функция Ф не зависит от yn+1.

Неявные методы, в которых функция Ф зависит от yn+1.

2. 4. Метод Эйлера модифицированный.

          Для уменьшения погрешности вычислений часто используется модифицированный метод Эйлера. Этот метод имеет так же следующие названия: метод Эйлера-Коши или метод Рунге-Кутта  второго порядка точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

с начальным условием

y(x0) = y0.

Выберем шаг h и введём обозначения:

 xi = x0 + i.h   и   yi = y(xi) ,   где    i = 0, 1, 2, …,

xi – узлы сетки,

yi- значение интегральной функции в узлах .

При использовании модифицированного метода Эйлера шаг h делится на два отрезка.

Иллюстрации к решению приведены на рисунке 4.

Рисунок 4. Метод Эйлера модифицированный.

Проведем решение в несколько этапов.

  1.  Обозначим точки: A(xi, yi), C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)) и B(xi+1, yi+1).
  2.  Через точку  А проведем прямую под углом α, где

  1.  На этой прямой найдем точку C(xi+h/2, yi+h/2*f(xi,yi)).
  2.  Через точку  С проведем прямую под углом α1, где

  1.  Через точку А проведем прямую, параллельную последней прямой.
  2.  Найдем точку В(xi+1, yi+1). Будем считать  В(xi+1, yi+1) решением дифференциального уравнения при x=xi+1.
  3.  После проведения вычислений, аналогичных вычислениям, описанным в методе Эйлера, получим формулу для определения значения yi+1:

.

Модифицированный метод Эйлера дает меньшую погрешность. На рисунке 4 это хорошо видно. Так величина ε1 характеризует погрешность метода Эйлера, а ε – погрешность метода Эйлера модифицированного.

Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Эйлера модифицированным приведена на рисунке 5.

                                                                Рисунок 5. Блок-схема процедуры

                                                           решения дифференциального уравнения  

                                                     методом Эйлера модифицированным.

2.5. Метод Рунге-Кутта 4 порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка   с начальным условием y(x0)=y0.   Выберем шаг h и введем обозначения:

xi = x0 + ih  и yi = y(xi),   где   i = 0, 1, 2, ... .

Аналогично описанному выше методу производится решение

дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.

         Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения yi   искомой функции y определяются по формуле:

yi+1 = yi +∆yi                      где i = 0, 1, 2 ...

            

             y=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6                           

                    

a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:

k1  = h*f(xi, yi )

k2  = f (xi +h/2, yi +k1 /2)*h

k3  = F(xi +h/2, yi +k2 /2)*h

k4  = F(xi +h, yi +k3 )*h

Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.

На рисунке приведена блок-схема процедура RUNGE(X0,XK,Y0,N,Y) для решении задачи Коши описанным

выше метадом Рунге-Кутта

F(x, у) - заданная функция - должна

быть описана отдельно.

Входные параметры:
Х0,
XК - начальное и конечное

значения независимой

переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия

y(x0)=y0;

N - количество отрезков разбиения;

Выходные параметры:

Y - массив значений искомого решения

в узлах сетки.

    Рисунок 4 – Блок-схема процедуры

              RUNGE.

На рисунке 5 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции yj в точках xj методом Рунге – Кутта.

Исходными данными в данной задаче являются:

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия  y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения.

Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов:

X – массив значений узлов сетки;

Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.

Ввод X0, XK, Y0, N

RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y)

h = (XK – X0) / N

i = 0 … N

X = X0 + i * h

Вывод X, Yi

End

Рисунок 5. Блок-схема алгоритма основной программы для решения

задачи Коши с фиксированным количеством отрезков разбиения N.

3.Алгоритм решения задачи в VISUAL BASIC

3.1.Алгоритмы подпрограмм.

                                            3.1.1.Алгоритм общего решения.

3.1.2.Алгоритм метода Эйлера модифицированного.

3.1.3.Алгоритм метода Рунге-Кутта 4 порядка

3. 2. Алгоритм функции

3. 3Алгоритм программы.

4.Форма программы

5.Листинг программы на языке Visual Basic.

Rem "Описание переменных"

Dim x() As Single

Dim y() As Single

Dim z() As Single

Dim s() As Single

Private n, i As Integer

Private xk, x0, kx, ky As Single

Private k, k1, k2, k3, k4 As Single

Private h, max, min, y0 As Single

Rem "Описание функции,график которой необходимо построить"

Private Function f(a, b As Single) As Single

f = (-b ^ 2 + 2 * a * b) / a ^ 2

End Function

Private Function v(x As Single) As Single

v = (x ^ 2 * y0) / (x0 ^ 2 - y0 * x0 + x * y0)

End Function

Rem "Метод Эйлера"

Private Sub EilerMod()

Rem "Переопределение динамических массивов"

ReDim x(n)

ReDim y(n)

y(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = x0 + h * i

Next i

For i = 0 To n - 1

y(i + 1) = y(i) + h * f(x(i) + h / 2, y(i) + h / 2 * f(x(i), y(i)))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 0) = Str(x0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 0) = Str(x(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 1) = Str(y0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 1) = Str(y(i + 1))

Next i

End Sub

Rem "Метод Рунге-Кутта 4-го порядка"

Private Sub Rynge_Kytt()

ReDim z(n)

z(0) = y0

For i = 0 To n

x(i) = x0 + h * i

Next i

For i = 0 To n - 1

k1 = h * f(x(i), z(i))

k2 = h * f(x(i) + h / 2, z(i) + k1 / 2)

k3 = h * f(x(i) + h / 2, z(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(x(i) + h, z(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

z(i + 1) = z(i) + k

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 2) = Str(z(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 2) = Str(z(0))

Next i

End Sub

Rem "Общее решение"

Private Sub Obshee()

ReDim s(n)

For i = 0 To n

s(0) = y0

x(i) = x0 + h * i

s(i) = v(x(i))

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(s(i))

Next i

End Sub

Rem "Ввод данных"

Private Sub Command1_Click()

x0 = Val(Text1.Text)

xk = Val(Text2.Text)

h = Val(Text3.Text)

y0 = Val(Text4.Text)

Rem "Расчёт кол-ва отрезков табулирования"

n = (xk - x0) / h

Rem "Расчёт кол-ва строк в таблице"

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

Rem "Подписи заголовков таблицы"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер Модиф."

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутт"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее решение"

Label7.Caption = Str(x0)

Label8.Caption = Str(xk)

EilerMod

Rynge_Kytt

Obshee

Rem "Формировани массивов и поиск экстремумов"

max = y0

min = y0

For i = 0 To n

If y(i) > max Then

max = y(i)

End If

If y(i) < min Then

min = y(i)

End If

If z(i) > max Then

max = z(i)

End If

If z(i) < min Then

min = z(i)

End If

If s(i) > max Then

max = s(i)

End If

If s(i) < min Then

min = s(i)

End If

Next i

Rem "Запись значений экстремумов на шаблоне графика"

Label5.Caption = Str(max)

Label6.Caption = Str(min)

Rem "Расчёт коэффициентов масштабирования"

kx = (6600 - 960) / (xk - x0)

ky = (5160 - 240) / (max - min)

Rem "Очистка картинки"

Picture1.Cls

Rem "Расчёт экранных координат и построение графика функции"

For i = 1 To n - 1

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (y(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (y(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 0, 9999)

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (z(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (z(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 9999, 0)

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (s(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (s(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(9999, 0, 0)

Next i

End Sub

Private Sub Command2_Click()

End

End Sub

6.Решение в MATHCAD.

6.1.Эйлер модифицированный.

6.2.Рунге-Кутт 4-го порядка.

6.3.Общее решение.

Вывод по курсовой работе.

В результате курсовой работы мною была достигнута основная цель:  решить дифференциальное уравнение методами Эйлера модифицированного и Рунге-Кутта 4 прядка, и составить программу для решения данного дифференциального уравнения этими методами в программе VISUAL BASIC . Результат решение  был проверен с помощью приложения MATHCAD . При сравнении результатов, полученных разными методами, с общим решением сделал вывод, что метод Рунге-Кутта является более точным. Поэтому считаю , что мною полностью выполнена данная работа.


tg(α) = f(x,y)

α

  y(i)>max

y(i)=min

t(i) <min

t(i)=min

g(i) > max

Yi+1= Yi + h*F(x+h/2,Yi+h/2*F(xi,yi))

 RyngeKytt

k2 = h * f(x(i) + h / 2, g(i) + k1 / 2)

x = X0 + i * h

h = (XK – X0) / N

i = 0  to  n

g(i)=max

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 0) = Str(x0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 0) = Str(x(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 1) = Str(y0)

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 1) = Str(y(i + 1))

EilerM(X0, XK, Y0, N, Y)

i = 0, … , N-1

F(x, y) – заданная функция – должна быть описана отдельно.

Входные параметры: 

X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;

Y0 – значение y0 из начального условия  y(x0) = y0;

N – количество отрезков разбиения;

Выходные параметры: 

Y – массив значений искомого решения в узлах сетки.

α1

α

ε

ε1

xi+1

xi

h

h/2

В

С

   i = 1, …, n-1

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (y(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (y(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 0, 9999)

 Конец

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (s(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (s(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(9999, 0, 0)

Label4

MSFlexGrid16

Конец

X1 = 960 + Round(kx * (x(i - 1) - x0))

X2 = 960 + Round(kx * (x(i) - x0))

Y1 = 5160 - Round(ky * (z(i - 1) - min))

Y2 = 5160 - Round(ky * (z(i) - min))

Picture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), RGB(0, 9999, 0)

        Конец

nd

          Yi+1= Yi+k

k=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6

k4= h*F(x+h, Yi +k3)

=

k3= h*F(x+h/2, Yi +k2/2)

k2=h*F(x+h/2, Yi +k1/2)

            k1=h*F(x,Yi)

x = X0 + i ∙ h

i = 0, …, N-1

Command2

Text4

h = (Xk – X0)/N

Text3

Text2

Text1

Command1

Labe31

Labe21

MSFlexGrid1.Rows = n + 2

Label7.Caption = Str(x0)

Label8.Caption = Str(xk)

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 0) = "x"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 1) = "Эйлер Модиф."

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 2) = "Рунге-Кутт"

MSFlexGrid1.TextMatrix(0, 3) = "Общее решение"

Label5.Caption = Str(max)

Label6.Caption = Str(min)

i = 1, …, n-1

kx = (6600 - 960) / (xk - x0)

ky = (5160 - 240) / (max - min)

t(i) > max

                                       i = 1, …, n-1

i = 0, … n

y(i)=max

n = (xk - x0) / h

max = y0

min = y0

EilerMod

Rynge_Kytt

Obshee

Label1

y0, x0,xk,h

Начало

Конец

 f = (-b ^ 2 + 2 * a * b) / a ^ 2

f(a,b)

x(i) = x0 + h * i

t(i) = v(x(i))

v = (x ^ 2 * y0) / (x0 ^ 2 - y0 * x0 + x * y0)

Конец

i = 0 To n

   V(x)

ReDim t(n)

t(0) = y0

Obhee

g(i + 1) = g(i) + k

k3 = h * f(x(i) + h / 2, g(i) + k2 / 2)

k4 = h * f(x(i) + h, g(i) + k3)

k = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6

          x(i) = x0 + h * i

            k1 = h * f(x(i), g(i))

 y(i)<min

x(i) = x0 + h * i

y(i + 1) = y(i) + h * f(x(i) + h / 2, y(i) + h / 2 * f(x(i), y(i)))

i = 0  to  n

ReDim x(n)

ReDim y(n)

y(0) = y0

     EilerMod    

ReDim g(n)

g(0) = y0

Rynge4(X0, Xk, Y0, N, Y)

А

О

y=y(x)

x

y

end

g(i)<min

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 2, 2) = Str(g(i + 1))

MSFlexGrid1.TextMatrix(1, 2) = Str(g(0))

      Конец

Labe1100001

t(i)=max

g(i)=min

MSFlexGrid1.TextMatrix(i + 1, 3) = Str(t(i))

Labe51

Labe61

Labe91

Labe71

Picture1

Labe81



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
13538. Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений 153.35 KB
  Недостатки метода Эйлера 4. Идея метода Эйлера очень проста. В результате приходим к приближённому уравнению: Поскольку по определению у= окончательно имеем следующее уравнение являющееся основой метода Эйлера: 8 Конечно это уравнение является лишь приближённым и мы надеемся что чем меньше величина шага h тем оно будет более точным уменьшается локальная погрешность метода то есть погрешность на одном его шаге.
20. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутты 520.86 KB
  Программа интегрирования имеет пять основных частей: Главная вызывающая программа; Процедура вычисления правых частей; Процедура одного шага интегрирования методом РунгеКутты второго порядка RК_2; Процедура одного шага интегрирования методом РунгеКутты четвертого порядка RК_4; Функция вычисления точного решения TochSolve. Текст программы приведен в приложение Б Программа содержит в себе следующие переменные: tochпеременная для хранения точного решения ДУ; tfвеличина определяющая конец интервала интегрирования; h текущее...
19443. Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 72.36 KB
  Для начала рассмотрим метод Эйлера так как является самым простым из существующих численных методов решения дифференциальных уравнений и в конце сравним результаты. Метод Эйлера является явным одношаговым методом первого порядка точности основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функцией...
6215. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1.42 MB
  Порядком обыкновенного дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от искомой функции. Общим интегралом уравнения. неявным образом причем число постоянных интегрирования равно порядку уравнения. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения называется функция.
13536. Элементы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка 129.39 KB
  Такие уравнения называются дифференциальными. Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания. Для того чтобы найти эту функцию отделим переменные t и x друг от друга собрав члены с x в левой части уравнения а члены с t в правой: .
19491. Решение дифференциальных уравнений в частных производных 267.96 KB
  Экранированная двухпроводная линия РАСЧЕТ Для выполнения расчета необходимо запустить PDE Toolbox для этого необходимо выполнить команду pdetool в рабочей области MTLB.– Двухмерная модель проводящей линии Сначала из геометрических примитивов строиться модель системы см...
6396. Виды нелинейных дифференциальных уравнений 1-го порядка 163.25 KB
  Дифференциальное уравнение уравнение связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение содержащее производные неизвестной функции является дифференциальным уравнением. Нелинейное дифференциальное уравнение дифференциальное уравнение обыкновенное или с частными производными в которое по крайней мере одна...
13541. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка 113.05 KB
  Рассмотрим уравнение XxdxYydy=0 1 в котором коэффициент при dx зависит только от x а коэффициент при dy – только от y. Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Тогда уравнение 1 можно переписать так . К уравнению с разделенными переменными легко приводится уравнение вида p1xp2ydx q1xq2ydy = 0 в котором коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения функции от x на функцию от y.
8653. Решение систем линейных уравнений 91.38 KB
  Если число уравнений системы совпадает с числом неизвестных m=n то система называется квадратной. Решением линейной системы 2.2 называется набор чисел которые при подстановке вместо неизвестных обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Для системы линейных уравнений матрица А = называется матрицей системы а матрица А= называется расширенной матрицей системы Определение.
841. Теоретическая информатика. Решение систем линейных уравнений методом Крамара 90.58 KB
  Информация ее виды и свойства Единицы количества информации: вероятностный и объемный подходы. Теоретическая информатика математическая дисциплина использующая методы математики для построения и изучения моделей обработки передачи и использования информации. Но как правило эти модели наполнены конкретным содержанием связанным со спецификой информации того объекта который нас интересует. В них разрабатываются методы позволяющие использовать достижения логики для анализа процессов переработки информации с помощью...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.