Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В.Клетеник

Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии тех факультетов высших технических учебных заведений, где действуют нормальные программы по физико-математическим и общетехническим дисциплинам, и совершенно не содержит задач по разделам аналитической геометрии, не входящим в программу втузов

2014-08-04

27.6 MB

346 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Д.В.Клетеник

"Сборник задач по аналитической геометрии". М., Наука, Физматлит, 1998.

Предисловие к первому изданию

Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии тех факультетов высших технических учебных заведений, где действуют нормальные программы по физико-математическим и общетехническим дисциплинам, и совершенно не содержит задач по разделам аналитической геометрии, не входящим в программу втузов. При составлении сборника автор обращал особое внимание на потребности теоретической механики, поскольку она является первым и непосредственным потребителем материала аналитической геометрии.

Использование этого сборника на факультетах экономического, химического и сельскохозяйственного профилей не исключается; однако ни в расположении, ни в подборе задач специфика этих факультетов не учитывалась.

По основным вопросам аналитической геометрии, входящим в программу втузов, дано задач несколько больше того, что обычно предлагается студентам на групповых занятиях и на дом. Тем самым при использовании сборника руководители практических занятий будут иметь возможность выбора материала, а домашние задания смогут давать в нескольких вариантах. Особенно значительный по объёму § 16 ("Окружность") включает комбинированные задачи на уравнения окружности и прямой, что дает возможность повторить один из наиболее важных разделов курса - уравнение прямой на плоскости.

После изучения теории линий второго порядка полезно давать студентам индивидуальное домашнее задание - на приведение общего уравнения второй степени к каноническому виду; в § 22 содержится достаточное количество аналогичных задач с различными числовыми данными.

Имея в виду студентов заочных институтов и лиц, изучающих высшую математику самостоятельно, автор в начале каждой главы даёт, кроме списка формул, также все основные определения и формулировки теорем.

Настоящий сборник задач составлен применительно к учебнику Н. В. Ефимова "Краткий курс аналитической геометрии"; при составлении сборника учитывались последовательность изложения материала в книге Н. В. Ефимова и употребляемая в ней символика.

Считаю своим долгом выразить благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского лесотехнического института за помощь при составлении этого сборника и за критику первого варианта рукописи.

Д. Клетеник

Предисловие ко второму изданию

Для второго издания сборник задач переработан и дополнен. Наиболее существенной переработке подверглась первая часть задачника ("Аналитическая геометрия на плоскости"). Значительно изменён характер главы 1 ("Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости") и главы 3 ("Линии первого порядка"). Здесь изменения имеют принципиальный характер, поскольку во втором издании в первой части исключено понятие свободного вектора. Значительно переделана также глава 5 (в основном посвящённая общей теории линий второго порядка). Переработка этой главы направлена к тому, чтобы выдвинуть на первый план уравнения центральных кривых второго порядка (упрощение которых наиболее существенно для теоретической механики). Количество задач во всех разделах значительно увеличено (в первом издании задачник содержал 920 задач, в новом-1261). Увеличение объёма задачника произведено в значительной степени за счёт включения комбинированных и более сложных задач.

В новом издании задачник, сохраняя тесную связь с курсом аналитической геометрии Н. В. Ефимова (2-е издание), полностью приспособлен для использования с курсом И. И. Привалова. Считаю своим долгом выразить благодарность Н. Т. Хроленко за оказанную мне помощь при проверке ответов.

Д. Клетеник

Часть 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Глава 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости

Глава 1. Ось и отрезок оси. Координаты на прямой

1

Построить точки А(3), В(5), С(-1), D(2/3), Е(-3/7),, .

2

Построить точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям:

2.1

 

2.2

2.3

2.4

3

Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты

которых удовлетворяют неравенствам:

3.1

x>2

3.2

x – 3? 0

3.3

12 – x <0

3.4

2x – 3 ? 0

3.5

3x – 5 >0

3.6

1 < x < 3

3.7

–2 < x < 3

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

x2 – 8x +15 ? 0

3.13

x2 – 8x + 15 >0

3.14

x2 + x – 12>0

3.15

x2 + x -12? 0

4

Определить величину АВ и длину отрезка, заданного точками:

4.1

А(3) и В(11)

4.2

А(5) и В(2)

4.3

А(-1) и В(3)

4.4

А(-5) и В(-3)

4.5

А(-1) и В(-3)

4.6

А(-7) и В(-5)

5

Вычислить координату точки А, если известны:

5.1

В(3) и АВ=5

5.2

В(2) и АВ=-3

5.3

В(-1) и ВА=2

5.4

В(-5) и ВА=-3

5.5

В(0) и =2

5.6

В(2) и =3

5.7

В(-1) и =5

5.8

В(-5) и =2

6

Охарактеризовать геометрически расположение точек, координаты

которых удовлетворяют следующим неравенствам:

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

7

Определить отношение l =AC/CB, в котором точка С делит отрезок АВ

при следующих данных:

7.1

А(2), В(6), С(4)

7.2

А(2), В(4), С(7)

7.3

А(-1), В(5), С(3)

7.4

А(1), В(13), С(5)

7.5

А(5), В(-2), С(-5)

8

Даны три точки А(-7), В(-1), С(1). Определить отношение l ,

в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

9

Определить отношение l =М1М/ММ2, в котором данная точка М(х) делит отрезок М1М2,

ограниченный точками М11) и М22).

10

Определить координату х точки М, деляющей отрезок М1М2, ограниченный

данными точками М11) и М22), в данном отношении l (l1М/ММ2).

11

Определить координату х середины орезка, ограниченного данными точками

М11) и М22).

12

Определить координату х середины отрезка, ограниченного двумя данными точками,

в каждом из следующих случаев:

12.1

А(3) и В(5)

12.2

С(-1) и D(5)

12.3

M1(-1) и M2(-3)

12.4

P1(-5) и P2(1)

12.5

Q1(3) и Q2(-4)

13

Определить координату точки М, если известны:

13.1

М1(3), М2(7) и l1М/ММ2=2

13.2

А(2), В(-5) и l =АМ/МВ=3

13.3

С(-1), D(3) и l =CM/MD=1/2

13.4

А(-1), В(3) и l =АМ/МВ=-2

13.5

А(1), В(-3) и l =ВМ/МА=-3

13.6

А(-2), В(-1) и l =ВМ/МА=-1/2

14

Даны две точки А(5) и В(-3). Определить:

14.1

координату точки M, симметричной точке А относительно точки В

14.2

координату точки N, симметричной точке В относительно точки А

15

Даны две точки А(5) и В(19), разделен на три равные части.

Определить координаты точек деления.

16

Определить координаты концов А и В отрезка, который точками

P(-25) и Q(-9) разделен на три равные части.

Глава 2. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

17

Построить точки А(2; 3), В(-5; 1), С(-2; -3), D(0, 3); E(-5; 0), F(-1/3; 2/3).

18

Найти координаты проекций на ось абсцисс точек

А (2; 3), B(3; -1), C(-5; 1), D(-3; 2), E(-5; -1).

19

Найти координаты проекция на ось ординат точек

А(-3; 2), B(-5; 1), C(3; -2), D(-1; 1), E(-6; -2).

20

Найти координаты точек, симметричных отосительно оси Ох точкам:

20.1

А(2; 3);

20.2

B(-3; 2);

20.3

C(-1; -1);

20.4

D(-3; -5);

20.5

E(-4; -6);

20.6

F(a, b);

21

Найти координаты точек, симметричных относитель оси Оу точкам:

21.1

A(-1; 2);

21.2

B(3; -1);

21.3

C(-2; -2);

21.4

D(-2; 5);

21.5

E(3; -5);

21.6

F(a; b);

22

Найти координаты точек симметричных относительно начала координат точкам:

22.1

A(3; 3);

22.2

B(2; -4);

22.3

C(-2; 1);

22.4

D(5; -3);

22.5

E(-5; -4);

22.6

F(a; b);

23

Найти координаты точек, симметричных относительно начала координат точкам:

23.1

A(2; 3);

23.2

B(5; -2);

23.3

C(C(-3; 4);

24

Найти координаты точек, симметричных относительно биссектрисы

второго координатного угла точкам:

24.1

A(3; 5);

24.2

B(-4; 3);

24.3

C(7; -2);

25

Определить, в каких четвертях может быть расположена точка М(x; y), если:

25.1

xy>0;

25.2

xy<0;

25.3

x-y=0;

25.4

x+y=0;

25.5

x+y>0;

25.6

x+y<0;

25.7

x-y>0;

25.8

x-y<0;

Глава 3. Полярные координаты

26

Построить точки, заданные полярными координатами:

A(3; p /2), B(2; p ), C(3; -p /4), D(4; 22/7), E(5; 2) и F(1; -1).

27

Определить полярные координаты точек, симметричных относительно

полярной оси точкам M1(3; p /4), M2(2; -p /2), M3(3; -p /3), M4(1; 2), M5(5; -1),

заданным в полярной системе координат.

28

Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам

M1(1; p /4), M2(5; p /2), M3(2; -p /3), M4(4; 5p /6), M5(3; -2),

заданными в полярной системе координат.

29

В полярной системе координат даны две вершины А(3; -4p /9) и B(5; 3p /14)

параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом.

Определить две другие вершины этого параллелограмма.

30

В полярной системе координат даны токи A(8; p /2) и B(6; p /3).

Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.

31

В полярной системе координат даны точки

А(3; p /2), B(2; -p /4), C(1; p ), D(5; -3p /4), E(3; 2), F(2; -1).

Положительное направление полярной оси изменено на противоположное.

Определить полярные координаты заданных точек в новой системе.

32

В полярной системе координат даны точки

M1(3, p /3), M2(1; 2p /3), M3(2; 0), M4(5; p /4), M5(3; -2p /3), M6(1; 11p /12).

Полярная ось повернута так, что в новом положении она проходит через точку M1.

Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.

33

В полярной системе координат даны точки М1(12; 4p /9), M2(12; -2p /9).

Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки М1 и М2.

34

В полярной системе координат даны точки М1(r 1, q 1) и М2(r 2, q 2).

Вычислить расстояние d между ними.

35

В полярной системе координат даны точки М1(5; p /4), М2(8; -p /2).

Вычислить расстояние d между ними.

36

В полярной системе координат даны две смежные вершины квадрата

М1(12; -p /10), М2(3; p /15). Определить его площадь.

37

В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата

P(6; -7p /12), Q(4; p /6). Определить его площадь.

38

В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника

А(4; -p /12), B(8; 7p /12). Определить его площадь.

39

Одна из вершин треугольника OAB находится в полюсе, две другие суть точки

А(r 1, q 1) и В(r 2, q 2). Вычислить площадь этого треугольника.

40

Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки

А(5; p /4), B(4, p /12). Вычислить площадь этого треугольника.

41

Вычислить площадь треугольника, вершины которого

А(3; p /8), B(8; 7p /4), C(6; 5p /8) заданы в полярных координатах.

42

Полюс полярной системы координат совпадает

с началом декартовых прямоугольных координат,

а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

В полярной системе координат даны точки

M1(6; p /2), M2(5; 0), M3(2; p /4), M4(10; -p /3), M5(8; 2p /3), M6(12; -p /6).

Определить декартовы координаты этих точек.

43

Полюс полярной системы координат совпадает с началом

декартовых прямоугольных координат,

а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

В декартовой прямоугольной системе координат даны точки

М1(0; 5), M2(-3; 0); M3(; 1), M4(; ), M5(1; ).

Определить полярные координаты этих точек.

Глава 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на координатные оси. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками.

44

Вычислить проекцию отрезка на ось u, если даны его длина d и угол j наклона к оси:

44.1

d=6, j =p /3;

44.2

d=6, j =2p /3;

44.3

d=7, j =p /2;

44.4

d=5, j =0;

44.5

d=5, j =p ;

44.6

d=4, j = -p /3.

45

Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат,

зная их проекции на координатные оси:

45.1

X=3, Y=2;

45.2

X=2, Y=-5;

45.3

X=-5, Y=0;

45.4

X=-2, Y=3;

45.5

X=0, Y=3;

45.6

X=-5, Y=-1;

46

Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; -1),

зная их проекции на координатные оси:

46.1

X=4. Y=3;

46.2

X=2, Y=0;

46.3

X=-3, Y=1;

46.4

X=-4, Y=-2;

46.5

X=0, Y=-3;

46.6

X=1, Y=-3.

47

Даны точки М1(1; -2), М2(2; 1), М3(5; 0), М4(-1; 4), М5(0; -3).

Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:

47.1

47.2

47.3

47.4

48

Даны проекции X=5, Y=-5 отрезка на координатные оси;

зная, что его начало в точке М1(-2; 3), найти координаты его конца.

49

Даны проекции X=4, Y=-5 отрезка на координатные оси;

зная, что его конец в точке B(1; -3), найти координаты его начала.

50

Построить на чертеже отрезки, исходящие оиз начала координат,

зная длину d и полярный угол q каждого из них:

50.1

d=5, q =p /5;

50.2

d=3, q =5p /6;

50.3

d=4, q =-p /3;

50.4

d=3, q =-4p /3.

51

Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М(2; 3),

зная длину и полярный угол каждого из них (координаты точки М декартовы):

51.1

d=2, q =-p /10;

51.2

d=1, q =p /9;

51.3

d=5, q =-p /2ж

52

Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная длину

d и полярный угол q каждого из них:

52.1

d=12, q =2p /3;

52.2

d=6, q =-p /6;

52.3

d=2, q =-p /4.

53

Даны проекции отрезков на координатные оси. Вычислить длину каждого из них.

53.1

X=3, Y=-4;

53.2

X=12, Y=5;

53.3

X=-8, Y=6.

54

Даны проекции отрезков на координатные оси.

Вычислить длину d и полярный угол q каждого из них.

54.1

X=1, Y=;

54.2

X=, Y=;

54.3

X=, Y=2.

55

Даны точки М1(2; -3), M2(1; -4), M3(-1; -7), M4(-4; 8).

Вычислить длину и полярный угол слдующих отрезков:

55.1

55.2

55.3

55.4

56

Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4.

Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии,

что он образует с осью ординат:

56.1

Острый угол;

56.2

Тупой угол.

57

Длина отрезка равна 13; его начало в точке М(3; -2),

проекция на ось абсцисс равна –12.

Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат:

57.1

Острый угол;

57.2

Тупой угол.

58

Длина отрезка равна 17, его конец в точке N(-7; 3),

проекция на ось ординат равна 15.

Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс:

58.1

Острый угол;

58.2

Тупой угол.

59

Зная проекции X=1, Y= отрезка на координатные оси,

найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ox угол q =2p /3.

60

Даны две точки M1(1; -5), M2(4; -1).

Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол q =-p /6.

61

Даны две точки P(-5; 2), Q(3; 1).

Найти проекцию отрезка на ось, которая составляет с осью Ox угол

62

Даны две точки M1(2; -2), M2(7; -3).

Найти проекцию отрезка на ось, проходящую через точки

A(5; -4), B(-7; 1) и направленную:

62.1

от А к В;

62.2

от В к А.

63

Даны точки A(0; 0), B(3; -4), C(-3; 4), D(-2; 2), E(10; -3).

Определить расстояние d между точками:

63.1

А и В.

63.2

В и С.

63.3

А и С.

63.4

C и D.

63.5

A и D.

63.6

D и E.

64

Даны две смежные вершины квадрата A(3; -7) и В(-1; 4).

Вычислить его площадь.

65

Даны две противоположные вершины квадрата P(3; 5), Q(1; -3).

Вычислить его площадь.

66

Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть

A(-3; 2), B(1; 6).

67

Даны три вершины А(3; -7), В(5; -7), С(-2; 5) параллелограмма ABCD,

четвертая вершина которого D противоположна B.

Определить длины диагоналей того параллелограмма.

68

Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки

P(4; 9), Q(-2; 1). Вычислить площадь этого ромба.

69

Сторона ромба равна , две его противоположные вершины суть точки

P(3; -4), Q(1; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.

70

Доказать, что точки А(3; -5), В(-2; -7), С(18; 1) лежат на одной прямой.

71

Доказать, что треугольник с вершинами A1(1; 1), A2(2; 3), A3(5; -1) прямоугольный.

72

Доказать, что точки А(2; 2), В(-1; 6), С(-5; 3), D(-2; -1) являются вершинами квадрата.

73

Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами

M1(1; 1), M2(0; 2), M3(2; -1) тупой угол.

74

Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами

M(-1; 3), N(1; 2), P(0, 4) острые.

75

Вершины треугольника суть точки A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3).

Вычислить его внутренние углы.

76

Вершины треугольника суть точки А(; 1), B(0, 2), C(; 2).

Вычислить его внешний угол при вершине А.

77

На оси абсцисс найти такую точку М,

расстояние от которой до точки N(2; -3) равнялось бы 5.

78

На оси ординат найти такую точку М, расстояние от которой до точки

N(-8; 13 равнялось бы 17.

79

Даны две точки M(2; 2), N(5; -2); на оси абсцисс найти такую точку

Р, чтобы угол MPN был прямым.

80

Через точку А(4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей.

Определить ее центр С и радиус R.

81

Через точку М1(1; -2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ox.

Определить центр С окружности.

82

Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2)

относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0), В(-1; -2).

83

Даны две противоположные вершины квадрата А(3; 0) и С(-4; 1).

Найти две его другие вершины.

84

Даны две смежные веришны квадрата А(2; -1) и В(-1; 3).

Определить две его другие вершины.

85

Даны вершины треугольника M1(-3; 6), M2(9; -10), M3(-5; 4).

Определить центр С и радиус R круга, описанного около этого треугольника.

Глава 5. Деление отрезка в заданном отношении

86

Даны концы А(3; -5), В(-1; 1) однородного стержня.

Определить координаты его центра масс.

87

Центр мас однородного стержня находится в точке М(1; 4),

один из его концов Р(-2; 2).

Определить координаты точки Q – другого конца этого стержня.

88

Даны вершины треугольника А(1; -3), В(3; -5), С(-5; 7).

Определить середины его сторон.

89

Даны точки А(3; -1), С(2; 1). Определить:

89.1

Координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;

89.2

Координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.

90

Точки А(2; -1), N (-1; 4), P(-2; 2) являются серединами сторон треугольника.

Определить его вершины.

91

Даны три вершины параллелограмма А(3; -5), B(5; -3), C(-1; 3).

Определить четвертую вершину D, противоположную B.

92

Даны две смежные вершины параллелограмма А(-3; 5), B(1; 7)

и точка пересечения его диагоналей M(1; 1).

Определить две другие вершины.

93

Даны три вершины А(2; 3), B(4; -1), C(0; 5) параллелограмма ABCD.

Найти его четвертую вершину D.

94

Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2).

Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.

95

Отрезок, ограниченный точками A(1; -3), B(4; 3)

разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

96

Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7).

Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла

при вершине В со стороной АС.

97

Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3), C(-1; -2).

Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

98

Даны вершины треугольника А(-1; -1), B(3; 5), C(-4; 1).

Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла

при вершине А с продолжением стороны ВС.

99

Даны вершины треугольника А(3; -5), B(1; -3), C(2; -2).

Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.

100

Даны точки А(1; 1), В(3; 3), С(4; 7).

Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок,

ограниченный двумя другими.

101

Определить координаты концов А и В отрезка, который точками

P(2; 2), Q(1; 5) разделен на три равные части.

102

Прямая проходит через точки M1(-12; -13), M2(-2; -5).

На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

103

Прямая проходит через точки M(2; -3), N(-6, 5).

На этой прямой найти точку, ордината которой равна –5.

104

Прямая проходит через точки A(7; -3), B(23; -6).

Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

105

Прямая проходит через точки A(5; 2), B(-4; -7).

Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

106

Даны вершины четырехугольника А(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4), D(5; 8).

Определить, в каком отношении его диагональ AC делит диагональ BD.

107

Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2), D(6; 10).

Определить точку пересечения его диагоналей AC и BD.

108

Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

Определить координаты ее центра масс.

Центр масс находится в точке пересечения медиан.

109

Точка M пересечения медиан треугольника лежт на

оси абсцисс, две вершины его – точки А(2; -3) и B(-5; 1),

третья вершина C лежит на оси ординат.

Определить координаты точек M и C.

110

Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3).

Если соединить середины ее сторон, то образуется

новая однородная треугольная пластинка.

Доказать, что центры масс обеих пластинок совпадают.

111

Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12,

в которой сделан квадратный вырез, прямые разрезы проходят через

центр квадрата, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис.).

Определить центр масс этой пластинки.

112

Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными a и b,

в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят

через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис).

Определить центр масс этой пластинки.

113

Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2a,

от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины

двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (Рис).

Определить центр масс пластинки.

114

В точках A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) сосредоточены массы m, n, p.

Определить координаты центра тяжести этой системы.

115

Точки A(4; 2), B(7; -2), C(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр масс этого треугольника.

Глава 6. Площадь треугольника

116

Вычислить площадь треугольника, вершинами которого являются точки:

116.1

A(2; -3), B(3; 2), C(-2; 5);

116.2

M1(-3; 2), M2(5; -2), M3(1; 3);

116.3

M(-3; 4), N(-2; 3), P(4; 5).

117

Вершины треугольника суть точки A(3; 6), B(-1; 3), C(2; -1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины С.

118

Определить площадь паралелограмма три вершины которого суть точки A(-2; 3), B(4; -5), C(-3; 1).

119

Три вершины параллелограмма суть точки A(3; 7), B(2; -3), C(-1; 4). Вычислить длину его высоты, опущенного из вершины В на сторону АС

120

Даны последовательные вершины однородной четырехугольной пластинки A(2; 1), B(5; 3), C(-1; 7), D(-7; 5). Определить координаты ее центра масс.

121

Даны последовательные вершины A(2; 3), B(0; 6), C(-1; 5), D(0; 1), E(1; 1) однородной пятиугольной пластинки. Определить координаты ее центра масс.

122

Площадь треугольника S=3, две его вершины суть точки A(3; 1), B(1; -3), а третья вершина С лежит на оси Oy. Определить координаты вершины С.

123

Площадь треугольника S=4, вде его вершины суть точки А(2; 1), B(3; -2), а третья вершина С лежит на оси Ox. Определить координаты вершины С.

124

Площадь треугольника S=3, две его вершины суть точки A(3; 1), B(1; -3), центр масс этого треугольника лежит на оси Ox. Определить координаты третьей вершины С.

125

Площадь параллелограмма S=12; две его вершины суть точки A(-1; 3), B(-2; 4). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

126

Площадь параллелограмма S=17; две его вершины суть точки A(2; 1), B(5; -3). Найти две другие вершины этого параллелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.

Глава 7. Преобразование координат

127

Написать формулы преобразований координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку:

127.1

А(3; 4);

127.2

B(-2; 1);

127.3

C(-3; 5).

128

Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку O’(3; -4). Координаты точек А(1; 3), B(-3; 0), C(-1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129

Даны точки A(2; 1), B(-1; 3), C(-2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей):

129.1

в точку А;

129.2

в точку В;

129.3

в точку С.

130

Определить старые координаты начала O’ новой системы, если формулы преобразования заданы следующими равенствами:

130.1

, ;

130.2

, ;

130.3

 , ;

130.4

 , ;

131

Написать формулы преобразований координат, если координатные оси повернуты на один из следующих углов:

131.1

600;

131.2

–450;

131.3

900;

131.4

–900;

131.5

1800.

132

Координатные оси повернуты на угол =600. Координаты точек А(; -4), B(; 0), C(0; ) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе.

133

Даны точки M(3; 1), N(-1; 5), P(-3; -1). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на угол:

133.1

–450;

133.2

900;

133.3

–900;

133.4

1800.

134

Определить угол , на который повернуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

134.1

, ;

134.2

, ;

135

Определить координаты точки O’ – нового начала координат, если точка А(3; -4) лежит на новой оси абсцисс, а точка B(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136

Написать формулы преобразования координат, если точка M1(2; -3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M2(1; -7) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

137

Две системы координатных осей Ox, Oy и Ox’, Oy’ имеют общее начало О и преобразуются одна в дргую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; –4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ox’ определено отрезком .

138

Начало координат перенесено в точку O’(-1; 2), координатные оси повернуты на угол . Координаты точек M1(3; 2), M2(2; -3), M3(13; -13) определены в новой системе. Вычислить координаты эти же точек в старой системе координат.

139

Даны точки A(5; 5), B(2; -1), C(12; -6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а координатные оси повернуты на угол .

140

Определить старые координаты нового начала и угол , на который повернуты оси, если формулы преобразвоания координат заданы следующими равенствами:

140.1

, ;

140.2

, ;

140.3

, ;

141

Даны точки M1(9; -3), M2(-6; 5). Начало координат перенесено в точку M1, а координатные оси повернуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка . Вывести формулы преобразования координат.

142

Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(1; 2) и полярные координаты точек M1(7; /2), M2(3; 0), M3(5; -/2), M4(2; 2/3), M5(2; -/6). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе координат.

143

Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M1(5; /4), M2(3; -/4), M3(1; 3/4), M4(6; -3/4), M5(2; -/12). Определить декартовы прямоугольные ординаты этих точек.

144

Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса O(3; 2) и точек M1(5; 2), M2(3; 1), M3(3; 5), M4(, ), M5(; 3). Определить полярные координаты этих точек.

Часть 2. Уравнение линии

Глава 8. Функция двух переменных

146

Даны две функции P и Q, расстояние между которыми равно а, и функция , где d1=MP и d2=MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка P, а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147

При условиях задачи 146 определить выражение функции f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 146), если:

147.1

Начало координат выбрано в середине отрезка PQ, ось Ох направлена по отрезку PQ.

147.2

Начало координат выбрано в точке Р, а ось Ох направлена по отрезку QP.

148

Даны квадрат ABCD со стороной a и функция , где d1=MA, d2=MB, d3=MC, d4=MD. Определить выражение этой функции, если за оси координат приняты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку АС, ось Оу – по отрезку BD).

149

При условиях задачи 148 определить выражение для f(M) (непосредственно и при помощи преобразования координат, используя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось Ох – по отрезку АВ, ось Оу – по отрезку AD).

150

Дана функция f (x, y)=x2+y2+6x+8y. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если начало координат перенесено (без изенения направления осей) в точку О’ (3; –4).

151

Дана функция f (x, y)=x2y2–16. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол –45° .

152

Дана функция f (x, y)=x2+y2. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на некоторый угол a .

153

Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)=x2–4y2–6x+8y+3=0 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

154

Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции f (x, y)==x2–4xy+4y2+2x+y–7 не содержало членов первой степени относительно новых переменных.

155

На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции f (x, y)==x2–2xy+y2+6x+3 после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?

156

На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции после преобразования не содержало члена с произведением новых переменных?

Глава 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

157

Даны точки М1(2; -2), М2(2; 2), М3(2; -1), М4(3; -3), М5(5; -5), М6(3; -2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением , и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).

158

На линии, определенной уравнением , найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1). 0; 2). –3; 3). 5; 4). 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5). 3; 6). –5; 7). –8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).

159

Установить, какие линии определяются следующими уравнениями (построить их на чертеже):

159.1

;

159.2

;

159.3

;

159.4

;

159.5

;

159.6

;

159.7

 ;

159.8

;

159.9

;

159.10

;

159.11

;

159.12

 ;

159.13

;

159.14

 ;

159.15

;

159.16

;

159.17

;

159.18

;

159.19

;

159.20

;

159.21

;

159.22

;

159.23

;

159.24

;

159.25

;

159.26

;

159.27

;

159.28

;

159.29

;

159.30

;

159.31

.

160

Даны линии. Определить, какие из них проходят через начало координат.

160.1

;

160.2

;

160.3

;

160.4

;

160.5

.

161

Даны линии. Найти точки их пересечения: а). С осью Ох; б). С осью Оу.

161.1

;

161.2

;

161.3

;

161.4

;

161.5

;

161.6

;

161.7

.

162

Найти точки пересечения двух линий:

162.1

, ;

162.2

 , ;

162.3

, ;

162.4

, .

163

В полярной системе координат даны точки М1(1; /3), М2(2; 0), М3(2, /4), М4(;/6) и М5(1; 2/3). Установить, какие из этих точек лежат на линии, оперделенной в полярных координатаха уравнением , и какие не лежат на ней. Какая линия определяется данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже).

164

На линии, определенной уравнением , найти точки, полярные углы которых равны следующим числам: а). , б). ; в). 0; г). . Какая линия определена данным уравнением: (Построить ее на чертеже).

165

На линии, определенной уравнением , найти точки, полярные радиусы которых равны следующим числам: а). 1; б). 2; в). . Какая линия определена данным уравнением? (Построить ее на чертеже).

166

Установить, какие линии определяются в полярных координатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

166.1

;

166.2

;

166.3

;

166.4

;

166.5

;

166.6

;

166.7

;

166.8

;

166.9

.

167

Построить на чертеже следующие спирали Архимеда:

167.1

;

167.2

;

167.3

;

167.4

.

168

Построить на чертеже следующие гиперболические спирали:

168.1

;

168.2

;

168.3

;

168.4

.

169

Построить на чертеже следующие логарифмические спирали:

169.1

 ;

169.2

 .

170

Определить длины отрезков, на которые рассекает спираль Архимеда луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом . Сделать чертеж.

171

На спирали Архимеда взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172

На гиперболической спирали найти точку Р, полярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173

На логарифмической спирали найти точку Q, полярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.

Глава 10. Вывод уравнений заранее данных линий

174

Вывести уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от координатных осей.

175

Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии а от оси Оу.

176

Вывести уравнение геометрического места точек, находящихся на расстоянии b от оси Ох.

177

Из точки Р(6; -8) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью абсцисс. Составить уравнение геометрического места их середин.

178

Из точки С(10; -3) проведены всевозможные лучи до пересечения с осью ординат. Составить уравнение геометрического места их середины.

179

Вывести уравнение траектории точки, которая в каждый момент движения одинаково удалена от точек:

179.1

А(3; 2) и В(2; 3);

179.2

А(5; -1) и В(1; -5);

179.3

А(5; -2) и В(-3; -2);

179.4

А(3; -1) и В(3; 5).

180

Составить уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний которых до точек А(-а; 0) и В(а; 0) равна с.

181

Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат и радиус r.

182

Вывести уравнение окружности, имеющей, имеющей центр С(; ) и радиус r.

183

Дано уравнение окружности . Составить уравнение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.

184

Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до точек А(-3; 0) и В(3; 0) равна 50.

185

Ввершины квадрата суть точки А(а; а), В(-а; а), С(-а; -а) и D(а; -а). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квадрата есть величина постоянная, равна 6а2.

186

Через начало координат проведены всевозможные хорды окружности . Составить уравнение геометрического места середин этих хорд.

187

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-3; 0), F2(3; 0) есть величина постоянная, равная 10.

188

Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-5; 0), F2(5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

189

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(3; 0) равно расстоянию до данной прямой .

190

Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется эллипсом, точки F1 и F2 – фокусами эллипса. Доказать, что уравнение эллипса имеет вид , где .

191

Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек F1(-c; 0), F2(c; 0) есть величина постоянная, равная 2а. Это геометрическое место называется гиперболой, точки F1 и F2 – фокусами гиперболы. Доказать, что уравнение гиперболы имеет вид , где .

192

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых расстояние до данной точки F(p/2; 0) равно расстоянию до данной прямой x=-p/2. Это геометрическое место называется параболой, точка F – фокусом параболы, данная прямая – ее директрисой.

193

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-4; 0) к расстоянию до данной прямой равно 4/5.

194

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых отношение расстояния до данной точки F(-5;0) к расстоянию до данной прямой равно 5/4.

195

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей , равны между собой.

196

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до двух данных окружностей , равны между собой.

197

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых кратчайшие расстояния до данной окружности и до данной прямой равны между собой.

198

Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

199

Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом . Составить уравнение этого луча в полярных координатах.

200

Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной оси под углом 450. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

201

В полярных координатах составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от полярной оси равны 5.

202

Окружность радиуса R=5 проходит через полюс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.

203

Окружность радиуса R=3 касается полярной оси в полюсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.

Глава 11. Параметрические уравнения линии

204

Стержень АВ скользит своими концами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части АМ=а и ВМ=b. Вывести параметрические уравнения траектории точки М, приняв в качестве параметра угол t= (см. рис). Исключить затем параметр t и найти уравнение траектории точки М в виде А(x, y)=0.

205

Траекторией точки М является эллипс, уравнение которого (см. задачу 190). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

206

Траекторией точки М является гипербола, уравнение которой (см. задачу 191). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

207

Траекторией точки М является парабола, уравнение которой (см. задачу 192). Вывести параметрические уравнения траектории точки М, принимая в качестве параметра t:

207.1

ординату точки М;

207.2

угол наклона отрезка ОМ к оси Ох;

207.3

угол наклона отрезка FM к оси Ох, где точка F – фокус параболы.

208

Даны полярные уравнения следующих линий. Составить параметрические уравнения этих линий в декартовых прямоугольных координатах, совмещая положительную полуось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра полярный угол.

208.1

;

208.2

;

208.3

.

209

Даны параметрические уравнения линий. Исключив параметр t, найти уравнения этих линий в виде F(x, y)=0.

209.1

 , ;

209.2

, ;

209.3

 , ;

209.4

, ;

209.5

, ;

209.6

, ;

209.7

, .

ЧАСТЬ 3. Линии первого порядка

Глава 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

210

Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой и какие на ней не лежат.

211

Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой ; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.

212

Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой ; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213

Определить точки пересечения прямой с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

214

Найти точку пересечения двух прямых , .

215

Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями , , . Определить координаты его вершин.

216

Даны уравнения двух сторон параллелограмма , и уравнение одной из его диагоналей . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

217

Стороны треугольника лежат на прямых , , . Вычислить его площадь S.

218

Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой . Определить координаты вершины С.

219

Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой . Определить координаты третьей вершины С.

220

Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:

220.1

k=2/3, b=3;

220.2

k=3, b=0;

220.3

k=0, b=-2;

220.4

k=-3/4, b=3;

220.5

k=-2, b=-5;

220.6

k=-1/3, b=2/3.

221

Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:

221.1

;

221.2

;

221.3

;

221.4

;

221.5

.

222

Дана прямая . Определить угловой коэффициент k прямой:

222.1

Параллельной данной прямой;

222.2

Перпендикулярно к данной прямой.

223

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):

223.1

Параллельно данной прямой;

223.2

Перпендикулярно данной прямой.

224

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

225

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение одной из его диагоналей . Найти вершины прямоугольника.

226

Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой .

227

Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой .

228

В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

228.1

, ;

228.2

, ;

228.3

, ;

228.4

, ;

228.5

, .

229

Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

229.1

M1(2; -5), M2(3; 2);

229.2

P(-3, 1), Q(7; 8);

229.3

A(5; -3), B(-1; 6).

230

Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.

231

Даны середины сторон треугольника M1(2; 1), M2(5; 3), M3(3; -4). Составить уравнение его сторон.

232

Даны две точки P(2; 3), Q(-1; 0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрезку .

233

Составить уравнение прямой, если точка P(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

234

Даны вершины треугольника M1(2; 1), M2(-1; -1), M3(3; 2). Составить уравнения его высот.

235

Стороны треугольника даны уравнениями , , . Определить точку пересечения его высот.

236

Даны вершины треугольника A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведенную из вершины В.

237

Даны вершины треугольника A(2; -2), B(3; -5), C(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины С на биссектрису внутреннего угла при вершине А.

238

Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вершинами A(3; 2), B(5; -2), C(1; 0).

239

Через точки M1(-1; 2), M2(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240

Доказать, что условие, при котором три точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) лежат на одной прямой, может быть записано в следующем виде:

241

Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки M1(x1, y1), M2(x2, y2), может быть записано в следующем виде:

242

Даны последовательные вершины выпуклого четырехугольника A(-3; 1), B(3; 9), C(7; 6), D(-2; -6). Определить точку пересечения его диагоналей.

243

Даны две смежные вершины A(-3; -1), B(2; 2) параллелограмма ABCD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

245

Даны вершины треугольника A(1; -2), B(5; 4), C(-2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

246

Составить уравнение прямой, проходящей через точку P(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек A(-7; 3) и B(11; -15).

247

Найти проекцию точки P(-8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; -3), B(-5; 1).

248

Найти точку M1, симметричную точке М2(8; -9) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -4), B(-1; -2).

249

На оси абсцисс найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(1; 2), N(3; 4) была наименьшей.

250

На оси ординат найти такую точку P, чтобы сумма ее расстояний до точек M(-3; 2), N(2; 5) была наибольшей.

251

На прямой найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек A(-7; 1), B(-5; 5) была бы наименьшей.

252

На прямой найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1), B(0; 4) была бы наибольшей.

253

Определить угол между двумя прямыми:

253.1

, ;

253.2

, ;

253.3

, ;

253.4

, .

254

Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0(2; 1) под углом 450 к данной прямой.

255

Точка А(-4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256

Даны две противоположные вершины квадрата A(-1; 3), C(6; 2). Составить уравнения его сторон.

257

Точка E(1; -1) является центром квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

258

Из точки M0(-2; 3) под углом к оси Ox направлен луч света. Известно, что . Дойдя до оси Ox, луч от нее отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат падающий и отраженный лучи.

259

Луч света направлен по прямой , луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

260

Даны уравнения сторон треугольника , , . Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

261

Доказатть, что уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; y1) параллельно прямой , может быть записано в виде .

262

Составить уравнение прямой, проходящей через точку М1(2: -3) параллельно прямой:

262.1

;

262.2

;

262.3

;

262.4

;

262.5

.

263

Доказать, что условие перпендикулярности прямых ; может быть записано в следующем виде: .

264

Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

264.1

 , ;

264.2

, ;

264.3

, ;

264.4

, ;

264.5

, ;

264.6

, .

265

Доказать, что формула для определения угла между прямыми , может быть записана в следующей форме:

266

Определить угол , образованный двумя прямыми. Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

266.1

, ;

266.2

 , ;

266.3

 , .

267

Даны две вершины треугольника M1(-10; 2), M2(6; 4); его высоты пересекаются в точке N(5; 2). Определить координаты третьей вершины M3.

268

Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.

269

В треугольнике АВС даны: уравнение стороны АВ: , уравнения высот АМ: и BN: . Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

270

Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершина А(1; 3) и уравнения двух медиан , .

271

Составить уравнения сторон треугольника, сли даны одна из его вершин B(-4; -5) и уравнения двух высот , .

272

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин A(4; -1) и уравнения двух биссектрис , .

273

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин B(2; 6), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины.

274

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из различных вершин.

275

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; -1), а также уравнения высоты и медианы , проведенной из одной вершины.

276

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину B(2; -7), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из различных вершин.

277

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину C(4; 3), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из одной вершины.

278

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(3; -1), а также уравнения биссектрисы и медианы , проведенных из различных вершин.

279

Составить уравнение прямой, которая проходит черезначало координат и вместе с прямыми , образует треугольник с площадью, равной 1,5.

280

Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.

281

Через точку Р(-3; -1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключенный между прямыми , , делится в точке Р пополам.

282

Через точку Р(0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключенный между прямыми , , делился бы в точке Р пополам.

283

Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна .

284

Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(-5; 4), зная, что длина ее отрезка, заключенного между прямыми , , равна 5.

Глава 13. Неполные уравнения прямой. Совместное исследование уравнений двух и трех прямых. Уравнение прямой "в отрезках"

285

Определить, при каком значении a прямая :

285.1

Параллельна оси абсцисс;

285.2

Параллельна оси ординат;

285.3

Проходит через начало координат.

286

Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси абсцисс и отсекает на оси ординат отрезок, равный –3 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

287

Определить, при каких значениях m и n прямая параллельна оси ординат и отсекает на оси абсцис отрезок, равный +5 (считая от начала координат). Написать уравнение этой прямой.

288

Доказать, что в следующих случаях две данные прямые пересекаются, и найти точку их пересечения:

288.1

, ;

288.2

, ;

288.3

, ;

288.4

, ;

288.5

, .

289

Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

289.1

, ;

289.2

, ;

289.3

, ;

289.4

, .

290

Доказать, что в следующих случаях две данные прямые параллельны:

290.1

, ;

290.2

, ;

290.3

, .

291

Определить, при каких значениях a и b две прямые , :

291.1

Имеют одну общую точку;

291.2

Параллельны;

291.3

Совпадают

292

Определить, при каких значениях m и n две прямые , :

292.1

Параллельны;

292.2

Совпадают;

292.3

Перпендикулярны.

293

Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в одной точке, лежащей на оси абсцисс.

294

Определить, при каком значении m две прямые , пересекаются в точке, лежающей на оси ординат.

295

Установить, пересекаются ли в одной точке три прямые в следующих случаях:

295.1

, , ;

295.2

, , ;

295.3

, , .

296

Доказать, что если три прямые , , пересекаются в одной точке, то

.

297

Доказать, что если

,

то три прямые , , пересекаются в одной точке или параллельны.

298

Определить, при каком значении а три прямые , , будут пересекаться в одной точке.

299

Даны прямые. Составить для них уравнения «в отрезках» и построить эти прямые на чертеже.

299.1

 ;

299.2

;

299.3

;

299.4

;

299.5

.

300

Вычислить площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла.

301

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку M1(3; -7) и отсекает на коордиатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным от начала координат).

302

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку P(2; 3) и отсекает на координатных осях отрезки равной длины, считая каждый отрезок от начала координат.

303

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку С(1; 1) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равно 2.

304

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку В(5; -5) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 50.

305

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

306

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку Р(12; 6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 15.

307

Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения той прямой с осями координат.

308

Через точку M1(x1, y1), где x1y1>0, проведена прямая , отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна S. Определить, при каком соотношении между величинами x1, y1 и S отрезки a и b будут иметь одинаковые знаки.

Глава 14. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

309

Определить, какие из следующих уравнений прямых являются нормальными:

309.1

;

309.2

;

309.3

;

309.4

;

309.5

;

309.6

;

309.7

;

309.8

.

310

Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в каждом из следующих случаев:

310.1

;

310.2

;

310.3

;

310.4

;

310.5

.

311

Даны уравнения прямых. Определить полярный угол нормали и отрезок p для каждой из данных прямых: по полученным значениям параметров и р построить эти прямые на четеже (в последних двух случаях построение прямой выполнить, считая =300 и q=2).

311.1

;

311.2

;

311.3

 ;

311.4

;

311.5

;

311.6

;

311.7

;

311.8

, q>0, - острый угол.

311.9

, q>0, - острый угол.

312

Вычислить величину отклонения и расстояние d от точки до прямой в каждом из следующих случаев:

312.1

A(2; -1), ;

312.2

B(0; -3), ;

312.3

P(-2; 3), ;

312.4

Q(1; -2), .

313

Установить, лежат ли точка М(1; -3) и начало координат по одну или разные стороны каждой из следующих прямых:

313.1

;

313.2

;

313.3

 ;

313.4

;

313.5

.

314

Точка А(2; -5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Вычислить площадь этого квадрата.

315

Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и одна из его вершин А(-2; 1). Вычислить площадь этого прямоугольника.

316

Доказать, что прямая пересекает отрезок, ограниченный точками А(-5; 1), В(3; 7).

317

Доказать, что прямая не пересекает отрезка, ограниченного точками M1(-2; -3), M2(1; -2).

318

Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(-1; -4), C(7; -1), D(2; 9). Установить, является ли этот четырехугольник выпуклым.

319

Последовательные вершины четырехугольника суть точки A(-1; 6), B(1; -3), C(4; 10), D(9; 0). Установит, является ли этот четырехугольник выпуклым.

320

Даны вершины треугольника A(-10; -13), B(-2; 3), C(2; 1). Вычислить длину перпендикуляра, оущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

321

Стороны АВ, ВС, СА треугольника АВС, соответственно даны уравнениями , , . Вычислить расстояние от центра масс этого треугольника до стороны ВС.

322

Вычислить расстояние d между параллельными прямыми в каждом из следующих случаев:

322.1

, ;

322.2

, ;

322.3

, ;

322.4

, .

323

Две стороны квадрата лежат на прямых , . Вычислить его площадь.

324

Доказать, что прямая параллельна прямым , и делит расстояние между ними пополам.

325

Даны параллельные прямые , , . Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними.

326

Доказать, что через точку Р(2; 7) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(1; 2) были равны 5. Составить уравнения этих прямых.

327

Доказать, что через точку Р(2; 5) можно провести две прямые так, чтобы их расстояния от точки Q(5; 1) были равны 3. Составить уравнения этих прямых.

328

Доказать, что через точку С(7; -2) можно провести только одну прямую так, чтобы расстояние ее от точки А(4; -6) было равно 5. Составить ее уравнение.

329

Доказать, что через точку В(4; -5) невозможно провести прямую, чтобы расстояние от точки С(-2; 3) было равно 12.

330

Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от прямых равно –2.

331

Составить уравнение прямых, параллельных прямой и отстоящие от нее на расстояние d=3.

332

Даны две смежные вершины квадрата А(2; 0) и В(-1; 4). Составить уравнения его сторон.

333

Точка А(5; -1) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

334

Даны уравнения двух сторон квадрата , и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

335

Даны уравнения двух сторон квадрата , . Составить уравнения двух других его сторон при условии, что точка M1(-3; 5) лежит на стороне этого квадрата.

336

Отклонения точки М от прямых , равны соответственно –3 и –5. Определить координаты точки М.

337

Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(-2; 3) на одинаковых расстояниях от точек А(5; -1) и В(3; 7).

338

Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

338.1

, ;

338.2

, ;

338.3

, ;

339

Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми:

339.1

, ;

339.2

, ;

339.3

 , .

340

Составить уравнения прямых, которые проходят через точку Р(2; -1) и вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.

341

Определить, лежат ли точки М(1; -2) и начало координат в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

341.1

, ;

341.2

, ;

341.3

 , .

342

Определить, лежат ли точки М(2; 3) и N(5; -1) в одном, в смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых:

342.1

, ;

342.2

, ;

342.3

, .

343

Определить, лежит ли начало координат внутри или вне треугольника, стороны которого даны уравнениями , , .

344

Определить, лежит ли точка М(-3; 2) внутри или вне треугольника стороны которого даны уравнениями , , .

345

Определить, какой из углов, острый или тупой, образованных двумя прямыми , содержит начало координат.

346

Определить, какой из углов, острый или тупой, образованный двумя прямыми , , содержит точку М(2; -5).

347

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит начало координат.

348

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащего начало координат.

349

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , в котором лежит точка М(1; -3).

350

Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми , , смежного с углом, содержащим точку С(2; -1).

351

Составить уравнение биссектрисы острого угла, образованного двумя прямыми , .

352

Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного двумя прямыми , .

Глава 15. Уравнение пучка прямых

353

Найти центр пучка прямых, данного уравнением .

354

Найти уравнение прямой, принадлежащей пучку прямых и

354.1

Проходящей через точку А(3; -1);

354.2

Проходящей через начало координат;

354.3

Параллельной оси Ox;

354.4

Параллельной оси Oy;

354.5

Параллельной прямой ;

354.6

Перпендикулярной к прямой .

355

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отсекающий на оси ординат отрезок b=-3. Решить задачу, не определяя координат точки пересечения данных прямых.

356

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , и делит пополам отрезок, ограниченный точками M1(5; -6), M2(-1; -4). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

357

Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнение прямой этого пучка, проходящей через центр масс однородной треугольной пластинки, вершины которой суть точки A(-1; 2), B(4; -4), C(6; -1).

358

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пука, проходящую через середину отрезка прямой , заключенного между прямыми , .

359

Даны уравнения сторон треугольника , , . Не определяя координат его вершин, составить уравнения высот этого трегоульника.

(ВНИМАНИЕ. ИЗОБРАЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОБРЕЗАНО ВНИЗУ. РЕШЕНИЕ НЕ ПОЛНОЕ).

360

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , под углом 450 к прямой . Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

361

В треугольнике АВС даны уравнения высоты AN: , высоты BN: и стороны АВ: . Не определяя координат вершин и точки пересечения высот треугольника, составить уравнение двух других сторон и третьей высоты.

362

Составить уравнения сторон треугольника АВС, зная одну его вершину А(2; -1), а также уравнения высоты и биссектрисы , проведенных из одной вершины. Решить задачу, не вычисляя координат вершин В и С.

363

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отрезки которых, заключенные между прямыми , , равны .

364

Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая принадлежит этому пучку.

365

Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что прямая не принадлежит этому пучку.

366

Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каком значении С прямая будет принадлежать этому пучку.

367

Дано уравнение пучка прямых . Найти, при каких значениях a прямая не будет принадлежать этому пучку.

368

Центр пучка прямых является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

369

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат).

370

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие на координатных осях отрезки равной длины (считая от начала координат).

371

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, отсекающие от координатных углов треугольники с площадью, равной 9.

372

Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка существует только одна прямая, отстоящая от точки Р(2; -3) на расстояние . Написать уравнение этой прямой.

373

Дано уравнение пучка прямых . Доказать, что среди прямых этого пучка нет прямой, отстоящей от точки Р(3; -1) на расстояние d=3.

374

Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых , и отстоящей от точки С(-1; 2) на расстояние d=5. Решить задачу, не вычисляя точки пересечения даных прямых.

375

Дано уравнение пучка прямых . Написать уравнения прямых этого пучка, которые вместе с прямыми , образуют равнобедренные треугольники.

376

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку пересечения прямых , на одинаковых расстояниях от точек А(3; -2) и В(-1; 6). Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых.

377

Даны уравнения двух пучков прямых , . Не определяя их центров, составить уравнение прямой, принадлежащей обоим пучкам.

378

Стороны АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD заданы соответственно уравнениями , , , . Не определяя координат вершин этого четырехугольника, составить уравнения его диагоналей AC и BD.

379

Центр пучка прямых является одной из вершин треугольника, две высоты которого даны уравнениями , . Составить уравнения сторон этого треугольника.

Глава 16. Полярное уравнение прямой

380

Вывести полярное уравнение прямой, зная ее расстояние от полюса p и полярный угол нормали .

Задача 0380

РЕШЕНИЕ. 1-Й СПОСОБ. На данной прямой s (рис.) возьмем произвольную точку М с полярными координатами и . Точку пересечения прямой s с ее нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника ОРМ находим:

(1)

Мы получили уравнение с двумя переменными и , которму удовлетворяют координаты всякой точки М, лежащей на прямой s, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой. Таким образом, задача решена.

2-Й СПОСОБ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой s:

(2)

Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

, (3)

Подставив в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим

или

.

381

Вывести полярное уравнение прямой, если даны:

381.1

Угол наклона прямой к полярной оси и длину перпендикуляра p,опущенного из полюса на эту пряму; написать уравнение этой прямой в случае , p=3;

381.2

Отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, осчитая от полюса, и полярный угол нормали этой прямой; написать уравнение этой прямой в случае а=2; ;

381.3

Угол наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отекает прямая на полярной оси, считая от полюса; написать уравнение этой прямой в случае , а=6.

382

Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1(; ) и наклоненной к полярной оси под углом .

383

Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M1(; ), полярный угол нормали которой равен .

384

Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(; ) и M2(; ).

ЧАСТЬ 4. Геометрические свойства линий второго порядка

Глава 17. Окружность

385

Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:

385.1

центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R=3;

385.2

центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R=7;

385.3

окружность проходит через начало координат и ее центр совпадает с точкой С(6; -8);

385.4

окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой С(-1; 2);

385.5

точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

385.6

центр окружности совпадает с началом координат и прямая является касательной к окружности;

385.7

центр окружности совпадает с точкой С(1; -1) и прямая является касательной к окружности;

385.8

окружность проходит через точки А(3; 1) и В(-1; 3), а ее центр лежит на прямой ;

385.9

окружность проходит через три точки А(1; 1), В(1; -1), С(2; 0);

385.10

окружность проходит через три точки: М1(-1; 5), М2(-2; -2). М3(5; 5).

386

Точка С(3; -1) является центром окружности, отсекающей на прямой хорду, длина которой равна 6. Составить уравнение этой окружности.

387

Написать уравнения окружностей радиуса , касающихся прямой в точке М1(3; 1).

388

Составить уравнение окружности, касающейся прямых , , причем одна из них – в точке А(2; 1).

389

Составить уравнения окружностей, которые проходят через точку А(1; 0) и касаются прямых , .

390

Составить уравнение окружности, которая, имея центр на прямой , касается прямых , .

391

Составить уравнения окружностей, касающихся прямых , , причем одной из них – в точке М1(1; 2).

392

Составить уравнения окружностей, проходящих через начало координат и касающихся прямых , .

393

Составить уравнение окружностей, которые, имея центры на прямой , касаются прямых , .

394

Написать уравнения окружностей, проходящих через точку А(-1; 5) и касающихся прямых , .

395

Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

396

Написать уравнения окружностей, касающихся прямых , , .

397

Какие из нижеприводимых уравнений определяют окружности? Найти центр С и радиус R каждой из них:

397.1

 ;

397.2

 ;

397.3

;

397.4

;

397.5

;

397.6

;

397.7

;

397.8

;

397.9

;

397.10

 .

398

Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

398.1

;

398.2

;

398.3

;

398.4

;

398.5

;

398.6

;

398.7

;

398.8

;

398.9

 ;

398.10

.

399

Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:

399.1

;

399.2

;

399.3

;

399.4

;

399.5

.

400

Определить уравнение линии центров двух окружностей, заданных уравнениями:

400.1

и ;

400.2

и ;

400.3

и ;

400.4

и .

401

Составить уравнение диаметра окружности , перпендикулярного к прямой .

402

Вычислить кратчайшее расстояние от точки до окружности в каждом из следующих случаев:

402.1

А(6; -8), ;

402.2

В(3; 9), ;

402.3

С(-7; 2), .

403

Определить координаты точек пересечения прямой и окружности .

404

Определить, как расположена прямая относительно окружности (пересекает ли, касаетлся или проходит вне ее), если прямая и окружность заданы следующими уравнениями:

404.1

 , ;

404.2

 , ;

404.3

, .

405

Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая :

405.1

пересекает окружность ;

405.2

касается этой окружности;

405.3

проходит вне этой окружности.

406

Вывести условие, при котором прямая касается окружности .

407

Составить уравнние диаметра окружности , проходящего через середину хорды, отсекаемой на прямой .

408

Составить уравнение хорды окружности , делящейся в точке М(8,5; 3,5) пополам.

409

Определить длину хорды окружности , делящейся в точке А(1; 2) пополам.

410

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, на которых окружность отсекает хорды длиною .

411

Даны окружности , , пересекающиеся в точках М1(x1, y1), М2(x2, y2). Доказать, что любая окружность, проходящая через точки М1, М2, а также прямая М1М2 могут быть определены уравнением вида при надлежащем выборе числе и .

412

Составить уравнение окружности, проходящей через точку А(1; -1) и точки пересечения окружностей , .

413

Составить уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения окружностей , .

414

Составить уравнение прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

415

Вычислить расстояние от центра окружности до прямой, проходящей через точки пересечения окружностей , .

416

Определить длину общей хорды окружностей , .

417

Центр окружности лежит на прямой . Составить уравнение этой окружности, если известно, что она проходит через точки пересечения окружностей , .

418

Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-1; 2).

419

Составить уравнение касательной к окружности в точке А(-5; 7).

420

На окружности найти точку М1, ближайшую к прямой , и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.

421

Точка М1(x1, y1) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1.

422

Точка М1(x1, y1) лежит на окружности . Составить уравнение касательной к этой окружности в точке М1.

423

Определить острый угол, образованный при пересечении прямой и окружности (углом между прямой и окружности называется угол между прямой и касательной к окружности, проведенной к точке их пересечения).

424

Определить, при каким углом пересекаются окружности , (углом между окружностями называется угол между их касательными в точке пересечения).

425

Вывести условие, при котором окружности, пересекаются под прямым углом.

426

Доказать, что окружности , пересекаются под прямым углом.

427

Из точки А(5/3; -5/3) проведены касательной к окружности . Составить их уравнения.

428

Из точки А(1; 6) проведены касательные к окружности . Составить их уравнения.

429

Дано уравнение пучка прямых . Найти прямые этого пучка, которые касаются окружности .

430

Из точки А(4; 2) проведены касательные к окружности . Определить угол, образованный этими касательными.

431

Из точки Р(2; -3) проведены касательные к окружности . Составить уравнение хорды, соединяющий точки касания.

432

Из точки С(6; -8) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от точки С до хорды, соединяющей точки касания.

433

Из точки Р(-9; 3) проведены касательные к окружности . Вычислить расстояние d от центра окружности до хорды, соединяющей точки касания.

434

Из точки Р(4; -4) проведены касательные к окружности . Вычислить длину d хорды, соединяющей точки касания.

435

Вычислить длину касательной, проведенной из точки А(1; -2) к окружности .

436

Составить уравнение касательных к окружности , параллельных прямой .

437

Составить уравнения касательных к окружности , перпендикулярных к прямой .

438

Составить уравнение окружности в полярных координатах в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра C(R, ).

439

Составить уравнение окружности в полярных координатах по данному радиусу R и полярным координатам центра окружности:

439.1

C(R, 0);

439.2

C(R, );

439.3

C(R, );

439.4

C(R, ).

440

Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

440.1

 ;

440.2

;

440.3

;

440.4

 ;

440.5

;

440.6

;

440.7

 ).

441

Окружности заданы уравнениями в полярных координатах. Составить их уравнения в декартовых прямоугольных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

441.1

 ;

441.2

;

441.3

.

442

Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах. Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох, а полюс – с началом координат.

442.1

;

442.2

;

442.3

;

442.4

;

442.5

.

443

Составить полярное уравнение касательной к окружности в точке М1(R, ).

Глава 18. Эллипс

444

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

444.1

его полуоси ранвы 5 и 2;

444.2

его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

444.3

его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2c=10;

444.4

расстояние между его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5.

444.5

его большая ось равна 20, а эксцентриситет e=3/5.

444.6

его малая ось равна 10, а эксцентриситет e=12/13;

444.7

расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2c=4;

444.8

его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

444.9

его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

444.10

расстояние между его директрисами равно 32 и e=1/2.

445

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично начала координат, зная, кроме того, что:

445.1

его полуоси равны соответственно 7 и 2;

445.2

его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8;

445.3

расстояние между его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13.

445.4

его малая ось равна 16, а эксцентриситет e=3/5.

445.5

расстояние между его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами равно 50/3;

445.6

расстояние между его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4.

446

Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

446.1

 ;

446.2

;

446.3

;

446.4

;

446.5

 ;

446.6

;

446.7

;

446.8

;

446.9

;

446.10

.

447

Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

448

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , а две другие совпадают с концами его малой оси.

449

Дан эллипс . Найти его полуоси, фокусы, эксцентриситет, уравнения директрис.

450

Вычислить площадь четырехугольника, две вершины которого лежат в фокусах эллипса , две другие лежат с концами его малой оси.

451

Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса до односторонней с этим фокусом директрисы.

452

Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса (считая, что изображены оси координат и задана масштабная единица).

453

На эллипсе найти точку, абсцисса которых равна –3.

454

Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-1; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2), A8(2; 1), A9(0; 15), A10(0; -16) лежат на эллипсе , какие внутри и какие вне его.

455

Установить, какие линии опеределяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже.

455.1

;

455.2

;

455.3

;

455.4

.

456

Эксцентриситет эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.

457

Эксцентриситет эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, односторонней с этой директрисой.

458

Дана точка М1(2; -5/3) на эллипсе ; составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки М1.

459

Убедившись, что точка M1(-4; 2,4) лежит на эллипсе , определить фокальные радиусы точки М1.

460

Эксцентриситет эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить расстояние от точки М1 эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, односторонней с данным фокусом.

461

Эксцентриситет эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом координат, одна из директрис дана уравнением x=16. Вычислить расстояние от точки M1 эллипса с абсциссой, равной –4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

462

Определить точки эллипса , расстояние которых до правого фокуса равно 14.

463

Определить точки эллипса , расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.

464

Через фокус эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

465

Составить уравнения эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

465.1

точка М1(; 2) эллипса и его малая полуось b=3;

465.2

точка М1(2; -2) эллипса и его большая полуось a=4;

465.3

точки М1(4; ) и М2(; 3) эллипса;

465.4

точка М1(; -1) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;

465.5

точка М1(2; -5/3) эллипса и его эксцентриситет e=2/3;

465.6

точка М1(8; 12) эллипса и расстояние r1=20 от нее до левого фокуса.

465.7

точка М1(; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.

466

Определить эксцентриситет e эллипса, если:

466.1

его малая ось видна из фокусов под углом 600;

466.2

отрезок между фокусами виден и вершин малой оси под прямым углом;

466.3

расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;

466.4

отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.

467

Через фокус F эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси (см. рис.). Определить, при каком значении эксцентриситета эллипса отрезки и будут параллельны.

468

Составить уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x0, y0), если известно, что оси симметрии эллипса параллельны осям координат.

469

Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

470

Точка С(-3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

471

Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

471.1

;

471.2

;