Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл

Дивергенция векторного поля ее свойства инвариантное определение и физический смысл План. Дивергенция векторного поля ее свойства инвариантное определение и физический смысл. Ротор векторного поля его свойства инвариантное определение и физический смысл. Потенциальные векторные поля условие потенциальности.

2015-01-30

72.98 KB

13 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике                                      6

        

Лекция 34

ТЕМА: Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл

План.

  1.  Формула Гаусса-Остроградского.
  2.  Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл.
  3.  Формула Стокса.
  4.  Ротор векторного поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл.
  5.  Оператор Гамильтона, его использование и свойства.
  6.  Потенциальные векторные поля, условие потенциальности.
  7.  Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
  8.  Соленоидальные и гармонические векторные поля.

   

                    Формула Гаусса-Остроградского.

Зададим в пространстве замкнутую трехмерную область V, ограниченную поверхностью S и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D.

    z

                      S2 (z=f2(x,y))

                      S3

                       V

                    S1 (z=f1(x,y))

       O                                           y

                            

x                             D     

                 Рис. 1.

Будем считать, что поверхность S можно разбить на три части: S1, заданную уравнением    z = f1(x, y), S2 ( z = f2 (x, y) ) и S3 – цилиндрическую поверхность с образующей, параллель-ной оси Oz (рис.1).

Зададим в каждой точке области V и поверхности S непрерывные функции  P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) и вычислим интеграл

              

                

Зададим ориентацию поверхности S, выбрав направление внешней нормали, тогда на S1

cos(n, z) < 0, на S2  cos(n, z) > 0, a на S3 cos(n, z) = 0. Двойные интегралы, стоящие в правой части предыдущего равенства, равны соответствующим поверхностным интегралам:

       ,

       .

(Знак «-» во втором интеграле появляется за счет того, элементы площади поверхности S1 и области D связаны соотношением  dxdy = ΔS(-cos(n, z)) ). Следовательно, исходный интеграл можно представить в виде:

Окончательный результат можно записать так:

             

Таким же образом можно получить соотношения

   

Складывая эти три равенства, получаем формулу Гаусса-Остроградского:

          (28/1.1)

Воспользовавшись формулой, задающей связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода, можно записать формулу Гаусса-Остроградского в ином виде:

                                   (28/1.2)

где запись «S+» означает, что интеграл, стоящий справа, вычисляется по внешней стороне поверхности S.

                                       Дивергенция векторного поля.    

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение. Дивергенцией векторного поля  A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется

                   .                                                                  (28/1.3)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция харак-теризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (28/1.1) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля {P, Q, R}, а в правой – поток этого вектора через ограни-чивающую тело поверхность S:

                                                                                       (28/1.4)

  Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы коор-динат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограни-ченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (28/1.4) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

                                                .                                         (28/1.5)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

                                                   Формула Стокса.

Рассмотрим поверхность S такую, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает ее в одной точке. Обозначим границу поверхности λ и выберем в качестве положительного направления нормали такое, при котором она образует с положительным направлением оси Оz острый угол. Если уравнение поверхности имеет вид z = f(x, y), то направляющие косинусы нормали задаются формулами

               ,    ,

                  .

Рассмотрим некоторую трехмерную область V, в которой целиком лежит поверхность S, и зададим в этой области функцию P(x, y, z), непрерывную вместе с частными производны-ми первого порядка. Вычислим криволинейный интеграл 2-го рода по кривой λ:

                    z                                                                             .

                                               n    

                                     σ                                 

                                            λ

                      O                               y

                                      D               

      x                                     L         

                           Рис. 2.

Уравнение линии λ имеет вид z = f(x, y), где х, у – координаты точек линии L, являющейся проекцией λ на плоскость Оху (рис.2). Поэтому, используя формулу (10.8), получаем:

                                  =.

Обозначим P(x, y) = P(x, y, f(x, y)), Q(x, y) = 0 и применим к интегралу, стоящему в правой части предыдущего равенства, формулу Грина:

                        

где область D ограничена линией L. Преобразуем левое подынтегральное выражение, используя формулу производной сложной функции:

                    

и подставим его в предыдущее равенство:

         . Тогда

      

    = Теперь применим к интегралам, стоящим справа, формулу (13.7) и перейдем к поверхностным интегралам 1-го рода по поверхно-сти σ:

 

 

так как . Следовательно, окончательный результат преобразований выглядит так:

 =.

При этом направление обхода контура λ выбирается соответствующим положительному направлению нормали (рис.2).

Задавая в области V непрерывно дифференцируемые функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), можно получить для них аналогичные соотношения:

 =,

 =.

Складывая левые и правые части полученных равенств, получим формулу Стокса, уста-навливающую связь между поверхностным интегралом 1-го рода по поверхности σ и криволинейным интегралом 2-го рода по ограничивающему ее контуру λ с учетом ориен-тации поверхности:

 

                                                                    (28/1.6)

Последняя запись позволяет лучше запомнить подынтегральное выражение в правой части формулы Стокса, которое можно получить, раскрывая определитель по первой строке и учитывая, что во второй его строке стоят операторы частного дифференцирова-ния по соответствующим переменным, применяемые к функциям, стоящим в третьей строке.

Используя связь между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода (формула (13.9)), можно записать формулу Стокса в ином виде:

 .        (28/1.7)

                                           

Ротор векторного поля.

Определение. Ротором или вектором вихря векторного поля  A = {Ax, Ay, Az}, где Ax, Ay, Az – функции от x, y, z, называется вектор, определяемый следующим образом:

                            .                          (28/1.8)

Замечание 1. Ротор характеризует завихренность поля А в данной точке, то есть наличие вращательных движений, так как его модуль равен удвоенной угловой скорости в этой точке.

Замечание 2. Формула Стокса в векторной формулировке имеет вид:

                              ,                                         (28/1.9)

то есть циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, натянутую на данный контур.

Замечание 3. Можно дать другое, инвариантное, определение ротора. Для этого рассмотрим произвольное направление п, исходящее из данной точки М, и окружим эту точку плоской площадкой σ, перпендикулярной к п и ограниченной контуром λ. Приме-няя формулу Стокса, получим:

                                                   

Разделив обе части этого равенства на σ и стягивая площадку σ к данной точке, найдем в пределе, что

                                 .

Тем самым можно определить проекцию ротора на любую ось, то есть вектор rot A не зависит от выбора координатной системы.

                   

Оператор Гамильтона.

Вспомним определение градиента скалярной функции  u = u(x, y, z):

                grad u = 

Определим оператор, стоящий в скобках в правой части этого равенства, так:

Определение. Оператор

                                                                                              (28/1.10)

называется оператором Гамильтона или набла-оператором и обозначается символом

(«набла»).

При применении оператора Гамильтона удобно рассматривать его как «символический вектор» и использовать различные операции над векторами. Например:

1) если умножить «вектор» на скалярную функцию и, то получим градиент этой функ-ции:                                  u = grad u;                                                              (28/1.11)

2) составив скалярное произведение на вектор A = {Ax, Ay, Az}, получим дивергенцию вектора A:

           · A = ;                           (28/1.12)

3) перемножим теперь векторы и А  векторным образом. Результатом будет ротор вектора А:

    А =     (28/1.13)

4) рассмотрим скалярное произведение векторов и u = grad u:

                                · (u) = div (grad u) = =

Определение. Оператор

                                        Δ = · = ² =                          (28/1.14)

называется оператором Лапласа и обозначается символом Δ («дельта»).

Определение. Уравнение

                                                                                    (28/1.15)

называется уравнением Лапласа, а функция, удовлетворяющая ему – гармонической функцией.

Замечание. Отметим еще раз, результатом применения к скалярной функции и оператора Гамильтона является вектор, а оператора Лапласа – скаляр.

Потенциальные векторные поля.

Определение. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется потенциальным, если вектор А является градиентом некоторой скалярной функции u = u(x, y, z):

                                 A = grad u = .                                   (28/1.16)

При этом функция и называется потенциалом данного векторного поля.

Примерами потенциальных полей являются поле тяготения точечной массы т, помещен-ной в начале координат, электрическое поле точечного заряда е, находящегося в начале координат, и другие.

Выясним, при каких условиях векторное поле является потенциальным. Так как из (28/1.16) следует, что  то

так как смешанная производная второго порядка не зависит от порядка дифференцирования. Из этих равенств легко получаем, что

                                                      rot A = 0 –                                                         (28/1.17)

  •  условие потенциальности векторного поля.

Определение. Векторное поле  A = {Ax, Ay, Az}, для которого  rot A = 0, называется безвихревым.

Из предыдущих рассуждений следует, что любое потенциальное поле является безвихре-вым. Можно доказать и обратное, то есть то, что любое безвихревое поле есть поле потен-циальное.

Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода

от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода , где L – кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MPN и MQN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.1).

                               Q           

           • М                            • N                           Рис. 1.

            

                                 P

Предположим, что, то есть

Тогда , где L – замкнутый контур, состав-ленный из кривых MPN и NQM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегриро-вания равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 1. Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные  и . Тогда для того, чтобы для любого замкну-того контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

                  ,

необходимо и достаточно, чтобы  =  во всех точках области D.

Доказательство.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкну-тый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

                         .

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие  выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой -  ≠ 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0)  -  > 0. Так как в левой части неравенства стоит непре-рывная функция, она будет положительна и больше некоторого δ > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

     

Отсюда по формуле Грина получаем, что , где L` - контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию . Следовательно, =  во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

                                       

от пути интегрирования являются:

                                      .                                     (28/1.18)

Замечание 2. При выполнении условий (28/1.18) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

       

При этом функцию и можно найти по формуле

                            (28/1.19)

где (x0, y0, z0) – точка из области D, a C – произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (28/1.19), равны P, Q и R.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода  по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (28/1.18):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (28/1.19), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

. Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

Соленоидальные и гармонические векторные поля.

Определение. Векторное поле A = {Ax, Ay, Az} называется соленоидальным в области D, если в каждой точке этой области

                             div A = 0.                                                                          (28/1.20)

Замечание. Так как дивергенция характеризует плотность источников поля А, то в облас-ти, где поле соленоидально, нет источников этого поля. Примером соленоидального поля может служить поле точечного заряда е во всех точках, кроме точки, где расположен заряд.

Условием соленоидальности поля является требование, что вектор А является ротором некоторого вектора В:  A = rot B. Докажем это.

Действительно, если , то

div A =

Определение. Скалярное поле, задаваемое функцией u = u(x, y, z), называется гармоническим в некоторой области, если функция и в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа:   Δ и = 0.

Примеры: линейная функция, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы.

афедра информатики и высшей математики КГПУ



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
5083. Интерполяционная формула Гаусса 81.13 KB
  Основным недостатком интерполяционных формул Ньютона является то, что они используют лишь односторонние значения функции. На практике часто оказывается полезным использовать формулы, в которых присутствуют как последующие
8650. Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл 36.38 KB
  Векторное и смешанное произведение векторов их основные свойства и геометрический смысл План лекции. Векторное произведение векторов его свойства. Смешанное произведение векторов его свойства. Будем называть три вектора аbc для которых определен порядок следования тройкой или упорядоченной тройкой векторов.
8336. Предмет, задачи и история развития информатики. Определение информации, её свойства 22.3 KB
  Определение информации её свойства Предмет и задачи информатики Информатика техническая наука систематизирующая приемы создания хранения воспроизведения обработки и передачи данных средствами вычислительной техники ВТ а также принципы функционирования этих средств и методы управления ими. Другими словами можно сказать что информатика – это наука об информации и технических средствах ее сбора хранения обработки передачи. В составе основной задачи информатики выделяются следующие направления её практического приложения:...
10719. ФИЗИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ УПРАВЛЕНИЯ ПЕРЕДАЧЕЙ 126.69 KB
  Целью физического уровня является установление физических электрических электромагнитных оптических акустических функциональных и процедурных характеристик включения поддержания и отключения физических соединений именуемых также физическими каналами и или цепями данных. При использовании коммутируемых соединений функции физического уровня состоят в формировании и приеме вызова и обеспечении выполнения процедур включения и отключения этих соединений. В обоих случаях биты принимаются в конце физического соединения в том же порядке в...
2469. Смысл жизни 706.83 KB
  Если обратить внимание на слово жизнь то можно увидеть что по своему объему и содержанию оно намного шире слова смысл. Отсюда следует что смысл вопервых предполагает наличие у существа исправных чувств способности осмыслять действительность и прежде всего способность относиться к действительности в целом. Из вышесказанного можно сделать вывод что из всей жизни вопросом о смысле жизни и поиском ответов на него может задаваться только один биологический вид который называется человеком. Получается что первое...
5450. Экзистенция как смысл бытия человека 43.08 KB
  Вопрос о смысле жизни мучает каждого человека на протяжении всей его жизни или только некоторое время. Немного подкреплённые примерами из жизни сухие и не до конца ясные положения теории экзистенциализма помогут разобраться в дальнейшем в тонкостях этой теории и заодно лучше понять смысл и механизмы действия практик. Решение этого вопроса не может никого обойти: все мы включены...
7910. Смысл, цели и задачи инноватики в образовании 10.99 KB
  Все остальные изменения модернизация образования изменение продолжительности среднего или высшего образования доступ школ к Интернету и т. Развитие обусловлено не только заказом общества и личности на изменение системы образования но и необходимостью педагогического обеспечения связи прошлого и будущего. Педагогическая инноватика наука изучающая природу закономерности возникновения и развития педагогических инноваций в отношении субъектов образования а также обеспечивающая связь педагогических традиций с проектированием...
4264. Формула Рэлея-Джинса 48.59 KB
  Формула Рэлея-Джинса В рассмотренной выше полости кубической формы с идеально отражающими стенками тепловое излучение как электромагнитное поле может существовать только в виде суперпозиции прямых и отраженных волн то есть в виде стоячих электромагнитных волн имеющих узлы на стенках полости. Тогда для волны распространяющейся строго вдоль оси условие образования стоячей волны требует чтобы 1. то есть на длине между отражающими стенками должно укладываться целое число длин полуволн. Так как для такой волны волновой вектор где то условие...
12684. Система прав человека: уголовно процессуальный, международный и гуманитарный смысл 35.89 KB
  Международная концепция прав человека и ее влияние на российское законодательство 3. Права человека и борьба с преступностью 5. Объективный момент характеризуется следующими аспектами: человеческое достоинство ценность человека вообще независимо от конкретных качеств и особенностей; личное достоинство как ценность конкретного индивида в обладании им положительными духовными и физическими качествами; достоинство связанное с принадлежностью к определенной социальной общности группе.
2056. СТРУКТУРНА ФОРМУЛА КІНЕМАТИЧНОГО ЛАНЦЮГА ЗАГАЛЬНОГО ВИДУ 34.37 KB
  Плоский механізм - це такий механізм, усі точки ланок якого описують траєкторії, що лежать у паралельних площинах. У плоскому механізмі осі всіх кінематичних пар паралельні. Розглянемо які загальні обмеження накладені на рухи всіх ланок плоского механізму
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.