Поверхности второго порядка

Если два собственных числа совпадают эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Поверхности вращения. Поверхность описываемая некоторой линией вращающейся вокруг неподвижной прямой d называется поверхностью вращения с осью вращения d. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: Fx2 y2 z = 0 то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

2015-01-30

38.33 KB

6 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


6

Глухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике

Лекция 14

ТЕМА: Поверхности второго порядка

План.

  1.  Поверхности второго порядка.*
  2.  Цилиндрическая и сферическая системы координат.*

Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

  -          (1)

уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.

Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы  и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (1) можно привести к одному из следующих видов:

  1.  Если λ1, λ2, λ3 – одного знака, уравнение (1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:

а)                                    -                                                         (2)

каноническое уравнение эллипсоида.

Замечание. Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (2) становится уравнением сферы.

б)                     -                                                                              (3)

уравнение задает точку в пространстве;

в)                    -                                                                              (4)

пустое множество.

  1.  Если собственные числа разных знаков, уравнение (1) приводится к каноническому виду:

а)    -  каноническое уравнение однополостного гиперболоида,  (5)

б)     -                                                                                                   (6)

  •  каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,

в)  -                                                                                                     (7)

уравнение конуса второго порядка.

  1.  Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (1):

а)   -                                                                                                    (8)

каноническое уравнение эллиптического параболоида,

б)   -                                                                                                          (9)

каноническое уравнение гиперболического параболоида 

и уравнения цилиндрических поверхностей:

в)   - эллиптический цилиндр,                                                     (10)

г)   - гиперболический цилиндр.                                                 (11)

Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:

д) .                                                                                                (12)

  1.  Если два собственных числа равны 0, уравнение (1) приводится к одному из следующих видов:

а)   - параболический цилиндр,                                            (13)

б)     - пара параллельных плоскостей,                                  (14)

в)          - пустое множество.

Цилиндрические поверхности.

 Определение. Цилиндрическими поверхностями называются поверхности, образованные линиями, параллельными какой-либо фиксированной прямой.

Рассмотрим поверхности, в уравнении которых отсутствует составляющая z, т.е. направляющие параллельны оси Оz. Тип линии на плоскости ХOY (эта линия называется направляющей поверхности) определяет характер цилиндрической поверхности. Рассмотрим некоторые частные случаи в зависимости от уравнения направляющих:

  1.  - эллиптический цилиндр.

2) - гиперболический цилиндр.

  1.  x2 = 2pyпараболический цилиндр.

Поверхности вращения.

 Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.

Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:

F(x2 + y2, z) = 0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.

Аналогично: F(x2 + z2, y) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Оу,

F(z2 + y2, x) = 0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.

Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых частных случаев:

  1.   - эллипсоид вращения
  2.   - однополостный гиперболоид вращения
  3.   - двуполостный гиперболоид вращения 
  4.   - параболоид вращения

Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.

Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некоторые типы которых рассмотрены ниже:

Сфера:  

Трехосный эллипсоид:

В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.

Однополостный гиперболоид:

Двуполостный гиперболоид:

 

Эллиптический параболоид:

Гиперболический параболоид:

Конус второго порядка:

Цилиндрическая и сферическая системы координат.

Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Цилиндрическая и сферическая системы координат являются обобщением для пространства полярной системы координат.

Введем в пространстве точку О и луч l, выходящий из точки О, а также вектор . Через точку О можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вектору нормали .

Для введения соответствия между цилиндрической, сферической и декартовой прямоугольной системами координат точку О совмещяют с началом декартовой прямоугольной системы координат, луч l – с положительным направлением оси х, вектор нормали – с осью z.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются в тех случаях, когда уравнение кривой или поверхности в декартовой прямоугольной системе координат выглядят достаточно сложно, и операции с таким уравнением представляются трудоемкими.

Представление уравнений в цилиндрической и сферической системе позволяет значительно упростить вычисления.

         z

           М

      

                     h

                                     0                       x

          r

           M1

     y

 ОМ1 = r;    MM1 = h;

 Если из точки М опустить перпендикуляр ММ1 на плоскость, то точка М1 будет иметь на плоскости полярные координаты (r, ).

Определение. Цилиндрическими координатами точки М называются  числа (r, , h), которые определяют положение точки М в пространстве.

Определение. Сферическими координатами точки М называются числа (r,,), где - угол между и нормалью.

Связь цилиндрической и декартовой прямоугольной

системами координат.

Аналогично полярной системе координат на плоскости можно записать соотношения, связывающие между собой различные системы координат в пространстве. Для цилиндрической и декартовой прямоугольной систем эти соотношения имеют вид:

 h = z;         x = rcos;     y  = rsin;   cos = ;    sin = .

Связь сферической системы координат с

декартовой прямоугольной.

В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

 

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
2658. Кривые второго порядка 98.92 KB
  Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды. Господа! Парабола является, пожалуй, одной из самых известных кривых в математике и, наверное, никакая другая кривая не имеет в своём характере столько ужасных черт, как она.
853. Линии второго порядка в проективной геометрии 417.92 KB
  Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.
9108. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n-го порядка 52.4 KB
  Матрицей называется прямоугольная таблица чисел Обозначения: А – матрица элемент матрицы номер строки в которой стоит данный элемент номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Матрицы одинаковой размерности называются равными если у них соответственно равны элементы стоящие на...
7661. Волнистость и шероховатость поверхности 98.37 KB
  Если 50 то такие отклонения относят к шероховатости поверхности если 50 1000 к волнистости а при 1000 к отклонениям формы. 2 Параметры шероховатости ГОСТ 278973 предусматривает следующие параметры для оценки шероховатости поверхности детали: высотные: Rа среднее арифметическое отклонение профиля Rz высота неровностей профиля по 10 точкам Rmx наибольшая высота профиля; шаговые: S средний шаг неровностей профиля по вершинам Sm средний шаг неровностей профиля по средней линии tp относительная опорная длина профиля. Для...
11768. ОТКРЫТИЕ ВТОРОГО ФРОНТА 16.1 KB
  Одним из самых дискуссионных остается вопрос: почему открытие Второго фронта в Европе стало реальностью только на пятом году Второй мировой войны и можно ли было открыть Второй фронт в 1942 году Вначале чтобы было понятно поясню что Первым фронтом хотя такой термин и не употребляется был советскогерманский фронт на Востоке. Известно что за открытие Второго фронта Советский Союз вел тяжелую борьбу три года с июня 1941 по июнь 1944. При этом впервые вопрос об открытии Второго фронта был поставлен советским правительством уже через...
7699. Точность и качество обработки поверхности деталей 53.07 KB
  В процессе разработки технологического процесса Технолог представляет допуски на размеры заготовок которые необходимо выдержать при выполнении промежуточных технологических операций например допуски на длину заготовки при отрезке ее отпрутана размеры заготовки после ее черновой обработки и т. Необходимая точность обработки может быть достигнута следующими методами: Метод пробных рабочих ходов: Метод заключается в индивидуальной выверке устанавливаемой на станок заготовке и путем последовательного снятия стружкипутем пробных ходов и...
8959. Шероховатость поверхности. Основные параметры и методы их определения 2.8 MB
  Реальная и номинальная поверхности Базовая линия поверхность линия поверхность заданной геометрической формы определенным образом проведенная относительно профиля поверхности и служащая для оценки геометрических параметров поверхности. Профиль поверхности Средняя линия профиля m базовая линия имеющая форму номинального профиля и проведенная так чтоб в пределах базовой длины среднее квадратическое отклонение профиля до этой линии было минимально рис. Отклонение профиля y расстояние между точкой профиля и базовой линией рис....
8669. Криволинейные интегралы первого и второго рода 58.67 KB
  Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f определенную в каждой точке этой кривой. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Если существует конечный предел интегральной суммы не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек Mi то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .
19564. Организация розничного кредитования банками второго уровня 363.95 KB
  Данное направление экономической мысли успешно развивается усилиями многих ведущих экономистов и финансистов мира. Вместе с тем, многие аспекты совершенствования кредитных систем, банковской сферы и небанковских кредитных организаций требуют дальнейшей проработки, так как не только не освещены, но и до конца не изучены. Это побудило нас провести контент-анализ литературы и публикаций в прессе, который показал
12865. Машинная модель взволнованной водной поверхности и её обратного отражения разработанного ЭВМ 17.45 MB
  Важным этапом в разработке эффективных алгоритмов дистанционного мониторинга параметров взволнованной морской поверхности является исследование особенностей формирования пространственно-временной структуры отраженных полей декаметрового радиодиапазона и статистических характеристик радиолокационных отражений.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.