Криволинейные интегралы первого и второго рода

Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f определенную в каждой точке этой кривой. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Если существует конечный предел интегральной суммы не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек Mi то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .

2015-01-30

58.67 KB

27 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике                                      5

        

Лекция 32

ТЕМА: Криволинейные интегралы первого и второго рода

План.

  1.  Криволинейные интегралы первого рода. Свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
  2.  Криволинейный интеграл второго рода. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.
  3.  Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Формула Грина.
  4.  Практическое применение криволинейных интегралов.

Криволинейные интегралы первого рода

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δsi длиной Δsi и выберем на каждой из частей точку Mi. Составим интегральную сумму  . Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой.

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi, то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается

            .                                  (26.1)

Например, если функция f(M) задает плотность в точке М, то интеграл (26.1) равен массе рассматриваемой кривой.

                     Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

  1.  Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл  существует.
  2.  Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

                                                                                 (26.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

             Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где  Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

           ,

где  - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла  Следовательно,

              =                                                         (26.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

     x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),       t0tT,   

то, применяя в интеграле (26.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

             

получим:

                    (26.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример.   Вычислить  где L:  

Применяя формулу (26.4), получим:

Криволинейный интеграл второго рода

Вновь рассмотрим кривую L, в каждой точке которой задана функция f(M), и зададим разбиение кривой на отрезки. Выберем на каждом отрезке точку Mi и умножим значе-ние функции в этой точке не на длину i-го отрезка, как в случае криволинейного инте-грала 1-го рода, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность    xixi-1 = Δxi. Составим из полученных произведений интегральную сумму .

Определение. Если существует конечный предел при интегральной суммы , не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек Mi, то от называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

                   .                           (26.5)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

                                

Определение. Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы

       ,

то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

 .           (26.6)

Замечание. Если считать, что сила  действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

                              ,

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода

  1.  Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (26.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения).

  1.  При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

                                                                                (26.7)

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода

Теорема 1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

                        x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t),     α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (26.5) существует и имеет место равенство

                       .                           (26.8)

Доказательство.

Запишем Δxi = xixi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа:   φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (26.5), получим:           

                        .

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

                        ,

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

 

                                           (26.9)

Пример.

Вычислим интеграл , где L – отрезок прямой от точки А(1,2,-2) до точки В(0, -1, 0). Запишем уравнение этой прямой в параметрическом виде:

                                  

Следовательно, φ΄(t) = -1, ψ΄(t) = -3, χ΄(t) = 2. Тогда

Скалярное и векторное поле. Циркуляция векторного поля вдоль кривой

Если в каждой точке М определенной пространственной области задано значение некоторой скалярной или векторной величины, то говорят, что задано поле этой величины (соответственно скалярное или векторное).

Примерами скалярных полей являются поле температур или поле электрического потенциала, примерами векторных полей – поле сил или поле скоростей.

Рассмотрим некоторые характеристики скалярных и векторных полей.

Определение. Если в некоторой области задано скалярное поле U(x,y,z), то поверхность, определяемая уравнением

                           U(x, y, z) = C,                                                                              (26.10)

называется поверхностью уровня. В двумерном случае линия уровня задается уравнением

                           U(x, y) = C.                                                                              (26.11)

Определение. Если в некоторой области задано векторное поле , то кривая, направление которой в каждой ее точке М совпадает с направлением вектора  в этой точке, называется векторной линией. Она задается уравнениями

                                                                                             (26.12)

Поверхность, составленная из векторных линий, называется векторной поверхно-стью. Если векторная поверхность образована векторными линиями, проходящими через каждую точку некоторой замкнутой кривой, то она называется векторной трубкой.

Определение. Пусть задано скалярное поле U(x, y, z). Вектор

                                                                                  (26.13)

называется градиентом величины U в соответствующей точке.

Замечание. Таким образом, скалярное поле  U(x, y, z) порождает векторное поле градиента gradU.

Определение. Пусть дано векторное поле   . Интеграл

                                                                                 (26.14)

называется линейным интегралом от вектора  вдоль кривой L. Если кривая L замкнута, то этот интеграл называют циркуляцией вектора  вдоль кривой L.

Здесь  - скалярное произведение векторов  и

Замечание. Иногда криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначают .

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля ={x, xy, xyz} вдоль контура L:

x² + y² = 9, z = 2 (направление обхода контура – от точки (3,0,2) к точке (0,3,2)).

Зададим контур L параметрически: x = 3cos t, y = 3sin t, z = 2 (0 ≤ t ≤ 2π). Тогда

                                              Формула Грина

Установим связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом по границе L этой области.

Пусть в плоскости Оху дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D. Кривые, ограничивающие эту область снизу и сверху, заданы уравнениями

y = y1(x) и y = y2(x),   y1(x) ≤ y2(x),   a ≤ x ≤ b (рис.1).  

   

       y

                           P

                         y=y2(x)

              M           D          N

                        y=y1(x)

                          Q    

       O     a                       b       x   

                      Рис. 1.

Зададим в области D непрерывные функции P(x, y) и Q(x, y), имеющие непрерывные частные производные, и рассмотрим интеграл

                     .

Переходя к двукратному интегралу, получим:

   (26.5)   

Так как у = у2(х) – параметрическое выражение кривой МPN, то

                    

где справа стоит криволинейный интеграл по кривой MPN. Аналогично получаем, что

              .             

Подставим полученные результаты в формулу (26.5):

                              (26.6)

так как контур L представляет собой объединение кривых MPN и NQM.

Так же можно получить, что                                  (26.7)

Вычтем из равенства (26.6) равенство (26.7):

                              

При этом обход контура L происходит по часовой стрелке. Изменим направление обхода. Тогда предыдущее равенство примет вид:

                                                                                  (26.8)

Эта формула, задающая связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода, называется формулой Грина.

Замечание 1. Если в криволинейном интеграле по замкнутому контуру не указано направление обхода, то предполагается, что он производится против часовой стрелки.

Замечание 2. Если рассматривать в плоскости Оху векторное поле {P(x,y), Q(x,y)}, то в правой части формулы (26.8) стоит его циркуляция по контуру L.

Пример. Вычислим циркуляцию векторного поля {x + sin x, х – eу} по контуру x²+ y²=1.

Применим формулу Грина, учитывая, что :

Область D при этом – круг единичного радиуса с центром в начале координат. Перейдем к полярным координатам:

Практическое применение криволинейных интегралов

 

Криволинейный интеграл 1-го рода.

  1.  Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

                                                                                            (28.14)

  1.  Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

                                                                                        (28.15)

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области:                          -                                                    (28.16)

  •  статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

                                    -                                             (28.17)

  •  момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

       -                       (28.18)

  •  моменты инерции кривой относительно координатных осей.
  •  

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

    .                    (28.19)     

           

Криволинейный интеграл 2-го рода.

Если считать, что сила  действует на точку, движущуюся по кривой (АВ), то работа этой силы может быть представлена как

                              ,                                         (28.20)

то есть криволинейным интегралом 2-го рода.

афедра информатики и высшей математики КГПУ



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
9396. Классификация движений первого и второго родов. Движения пространства 81.01 KB
  Рассмотрим первый случай, движение g имеет, по крайней мере, две инвариантные точки. Тогда, согласно лемме 2, прямая, проходящая через них целиком состоит из неподвижных точек.
9395. Движения первого и второго родов. Аналитическое выражение движения. Леммы о инвариантных точках и прямых пространства 128.96 KB
  Два репера имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода от одного репера ко второму положителен. Их ориентации различны, если такой определитель меньше нуля.
8671. Двойной интегралы и его свойства 70.63 KB
  Пусть в области D задана функция z = fx y. Сумма вида называется интегральной суммой для функции fx y в области D.1 при и не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Pi то он называется двойным интегралом от функции fx y по области D и обозначается . Для выяснения вопроса об условиях интегрируемости функции двух переменных можно по аналогии со случаем определенного интеграла ввести понятие верхней и нижней интегральных сумм выбирая в каждой части области D точки...
12452. Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Закон Архимеда 87.12 KB
  Закон Архимеда Решение задачи о силе давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае сводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Сила давления жидкости в этих случаях приводится к равнодействующей силе лежащей в плоскости симметрии.8 и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях: а жидкость расположена сверху на рисунке слева и б жидкость расположена снизу на рисунке справа.
7216. ГЭУ двойного рода тока 47.17 KB
  ГЭУ двойного рода тока 4. Основные сведения Гребными установками двойного рода тока называются такие установки в которых в качестве источников электроэнергии используются синхронные генераторы переменного тока а в качестве гребных электродвигателей – электродвигатели постоянного тока. Появление мощных на сотни кВт выпрямителей позволило объединить высокие маневренные качества ГЭУ постоянного тока с достоинствами ГЭУ переменного тока возможность применения высокооборотных первичных двигателей малые массогабаритные показатели.
283. Категория рода имени существительного 6.84 KB
  Род существительных – лексико-грамматическая категория, проявляющаяся в способности существительных сочетаться с определенными для каждой родовой разновидности формами согласуемых слов. В русском языке род имен существительных определяется по двум основаниям
18670. Балантидиоз - болезнь, вызываемая инфузорией рода Balantidium 43.44 KB
  Восприимчивы свиньи крысы болеет и человек. При изменении среды кишечника балантидии проникают в слизистую оболочку и глубже в кровеносные и лимфатические сосуды и там питаются эритроцитами лейкоцитами продуктами воспаления. При неблагоприятных условиях они инцистируются. Взрослые животные не имеющие даже никаких признаков болезни выделяют часто цисты.
15073. Рассмотрение мембранных (ионоселективных) электродов с различного рода мембранами 127.48 KB
  Для этого существуют разнообразные ионоселективные электроды главной особенностью которых является так называемая селективность к определенному виду ионов. Электроды с жидкой и пленочной мембраной Жидкие мембраны это растворы в органических растворителях ионообменных веществ жидкие катиониты или аниониты или нейтральных хелатов отделенные от водных растворов нейтральными пористыми перегородками полимерными стеклянными или др. В настоящее время промышленность выпускает пленочные ионоселективные электроды на катионы N К NH4 Са2...
20382. ВИДЫ РОДА HYPERICUM L. В КОЛЛЕКЦИИ БОТАНИЧЕСКОГО САДА КУБАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2.16 MB
  Листья супротивные, редко мутовчатые, цельнокрайние, сидячие или с короткими черешками, на поверхности и по краям или только по краям часто с прозрачными, иногда с черными точечными железками. Чашечка пятираздельная, остающаяся; чашелистиков 5, равные или иногда неравные или неодинаковые по форме
11768. ОТКРЫТИЕ ВТОРОГО ФРОНТА 16.1 KB
  Одним из самых дискуссионных остается вопрос: почему открытие Второго фронта в Европе стало реальностью только на пятом году Второй мировой войны и можно ли было открыть Второй фронт в 1942 году Вначале чтобы было понятно поясню что Первым фронтом хотя такой термин и не употребляется был советскогерманский фронт на Востоке. Известно что за открытие Второго фронта Советский Союз вел тяжелую борьбу три года с июня 1941 по июнь 1944. При этом впервые вопрос об открытии Второго фронта был поставлен советским правительством уже через...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.