Линии второго порядка в проективной геометрии

Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.

2014-06-21

417.92 KB

116 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Министерство образования и науки РФ

Московский государственный областной университет

Курсовая работа

на тему:

«Линии второго порядка в проективной геометрии»

Выполнила:

Студентка ФМФ

Группа МИ-21

Житенева Марья

г. Москва, 2014

Содержание:

  1.  Введение……………………………………………………...3
  2.  Понятие «линия второго порядка» на проективной плоскости………………………………………………………………….5
  3.  Классификация линий второго порядка…………………...8
  4.  Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка………………………11
  5.  Полюс. Поляра. Поляритет………………………………..12
  6.  Теорема Штейнера…………………………………………17
  7.  Теоремы Паскаля и Брианшона…………………………...19
  8.  Примеры задач……………………………………………...24
  9.  Заключение…………………………………………………29
  10.  Список использованной литературы……………………..30

  1.  Введение

Проективная геометрия возникла в первой половине XIX века. Ее возникновение связано с именем известного французского математика Понселе (1788—). Серьезный вклад в эту ветвь математики внесли также Шаль (1793—) и Штейнер (1796—).

Проективная геометрия своим происхождением обязана потребностям графики и архитектуры. «По существу, следующая практическая задача, которой впервые занимался еще Леонардо да Винчи (1452—), явилась источником возникновения этой ветви математики: изобразить на плоскости данный трехмерный объект так, чтобы различные части изображения в совокупности представились нам в таком виде, как и соответствующие им части объекта».[2]

Проективная геометрия находится в тесной связи с высшей алгеброй. Она имеет большое значение как теоретическая база прикладной геометрической дисциплины, носящей название начертательная геометрия. 

Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.

Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки. Она же играет видную роль в графостатикенауке, решающей графическим путем вопросы равновесия твердых тел.

В той или иной мере проективной геометрией пользуются рабочие, мастера и конструкторы на заводах, топографы и геодезисты, архитекторы и декораторы, художники и скульпторы. Проективная геометрия необходима и космографам, изучающим Землю, Луну и планеты по фотоснимкам, сделанным с космических кораблей.

Цель же моей курсовой работы - рассмотреть линии второго порядка в проективной плоскости, их основные свойства, теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона, практические задачи с линиями второго порядка в проективной плоскости.

2. Понятие «линия второго порядка» в проективной плоскости

Для большей общности дополним проективную плоскость комплексными числами, то есть в выбранном репере  точкой будем называть любую тройку чисел  не равных одновременно нулю. Причем данная тройка чисел – комплексные числа, а все точки в репере имеют действительные координаты.

Определение 1.

Множество всех точек    проективной плоскости, координаты которых в некотором репере удовлетворяют действительному однородному уравнению второй степени, т.е. уравнению вида:

называется линией или кривой второго порядка на проективной плоскости.

В однородном уравнении все действительные числа  не обращаются в нуль одновременно. Для удобства положим, что , , тогда уравнение (1) можно записать в следующем виде:

Мы можем опустить знак суммы, исходя из правила А.Эйнштейна, если очевидны пределы суммирования:

  (3)

Теорема 1.

Понятие линии второго порядка на проективной плоскости  не зависит от выбора репера R.

Доказательство:

Понятие линии второго порядка является геометрическим и не зависит от выбора репера на проективной плоскости. Если фигура  в репере  имеет уравнение (3), а  –другой проективный репер, формулы преобразования координат точек при переходе от репера R к реперу R представляются в следующем виде, исходя из формулы преобразования координат точки проективного пространства  измерений:

λ xj  = bji yi , j = , λ0   (4)

где  –координаты точки в репере R, а  –координаты этой же точки в репере R'. Подставляя выражения (4) в уравнение (3), имеем:

0 = aij xi xj = aij (bik yk) (bjm ym) = ( aij bik bjm) yk ym

Полагая a'ij = ars bri bsj, получаем уравнение линии второго порядка в репере R':

a'ij yi yj = 0 (5)

Определение 2.

Линия второго порядка называется невырожденной, если ее ранг максимален, то есть равен 3, в этом случае .

Определение 3.

Линия второго порядка называется вырожденной, если ее ранг меньше 3.

Необходимо заметить, что ранг линии второго порядка никогда не будет равен нулю.

Лемма 1.

Любая проективная прямая имеет с невырожденной проективной линией второго порядка не более двух различных общих действительных точек.

Доказательство:

Доказывать лемму будем от противного.

Пусть некая прямая d имеет, по крайней мере, три общие точки M1, M2, M3 с данной линией второго порядка γ. Репер R={A1,A2,A3,E} выберем так, чтобы точки A1 и А2 совпадали соответственно с точками M1 и M2, а точка M3 будет совпадать с точкой пересечения прямых A1A2 и A3E.

Рисунок 1 (без линии второго порядка).

Запишем уравнение линии второго порядка γ в виде (1). Точки M1, M2, M3 имеют координаты (1,0,0), (0,1,0), (1,1,0). Подставим эти значения в уравнение (1), получаем следующее:

Мы пришли к противоречию, так как отсюда следует, что γ вырожденная линия.

3. Классификация линий второго порядка

Пусть линия второго порядка на проективной плоскости в некотором репере имеет общее уравнение:

(3)

Рассмотрим квадратичную форму для  в трехмерном векторном пространстве.

(6)

В  трехмерном векторном пространстве найдется базис, в котором квадратичная форма  имеет нормальный вид. По определению Г.Вейля,  порождает проективную плоскость , значит в проективной плоскости найдется репер R, в котором линии второго порядка имеют вид:

где  равны -1, 0 или 1, но не обращаются в нуль одновременно. 

Перебирая все возможные варианты для коэффициентов , убеждаемся, что существует 5 типов линий второго порядка на проективной плоскости. Все типы линий второго порядка на проективной плоскости указаны в таблице 1 «Классификация линий второго порядка».

Таблица 1. «Классификация линий второго порядка»

Название линии

Каноническое
уравнение

Ранг линии

Овальная линия

(x1)2+(x2)2-(x3)2=0

3

Нулевая линия

(x1)2+(x2)2+(x3)2=0

Пара прямых

(x1)2-(x2)2=0

Пара мнимых прямых

(x1)2+(x2)2=0

Пара совпадающих прямых

(x1)2=0

Следует заметить, что не существует проективного преобразования, которое линию одного типа переводит в линию другого типа, а это значит, что указанные типы линий проективно различны.

Следует так же заметить, что любые две линии одного и тоже типа проективно эквивалентны.

Пример: 

Пусть γ и γдве овальные линии , которые в реперах R и R' заданы каноническими уравнениями:

Рассмотрим проективное преобразование f, которое репер R пере-водит в репер R'. В этом преобразовании каждая точка плоскости с координатами переходит в точку с координатами :

поэтому образ линии  в репере R' имеет следующее уравнение:

Это означает, что в преобразовании f линия у переходит в линию '.

4. Пересечение проективной линии второго порядка с прямой. Касательная к линии второго порядка

Пусть  невырожденная линия второго порядка, которая в репере R задается уравнением (3), а  – прямая, проходящая через точки  и  заданная уравнением в том же репере R:

   (7)

Найдем координаты точек A пересечения линии  с прямой . Для этого подставим (7) в (3):

где:

Решим уравнение (8), получим:

Исходя из леммы 1 делаем вывод, что в уравнении  (8) хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. В итоге получаем 3 случая:

  1.  то  в двух действительных точках
  2.  то  в двух совпавших точках
  3.  то  в двух комплексно-сопряженных точках

Второй случай пересечения прямой и линии второго порядка в проективной плоскости – условие касания, т.е. 

9)

«В каждой точке невыраженной линии второго порядка существует единственная касательная.»[1]

Положим, что точка  принадлежит линии второго порядка на проективной плоскости, тогда 

и условие касания (9) принимает простой вид:

Расписывая соотношение (10), заменяя точку Q на текущую точку X(x1,x2,x3), приходим к уравнению касательной:

Следует помнить, что 

5. Полюс. Поляра. Поляритет

Положим, что на проективной плоскости P2 задана овальная линия, имеющая в некотором репере R уравнение (3).

Определение 4

Точки P (p1, p2, p3) и Q (q1, q2, q3) называются сопряженными относительно овальной линии, если выполняется условие

aij piqj = 0 (12)

Сопряженность точек относительно овальной линии не зависит от выбора репера R. 

«Если точка P лежит на овальной линии, то, вспоминая уравнение касательной прямой к линии второго порядка, убеждаемся, что точки P и Q сопряжены относительно γ  тогда и только тогда, когда точка Q лежит на касательной к линии второго порядка в точке P».[1]

Следующая теорема раскрывает геометрический смысл сопряженности двух точек, не лежащих на данной овальной линии.

Теорема 2

Пусть на проективной плоскости заданы овальная линия  γ, и две точки P и Q, не лежащие на  γ,  причем прямая (PQ) пересекает  γ  в двух различных точках M и N. Для того, чтобы P и Q были сопряжены относительно γ, необходимо и достаточно, чтобы пара точек P и Q гармонически разделяла пару точек M и N, (т.е. чтобы сложное отношение четырех точек P, Q, M и N было равно -1: (PQ, MN) = -1.

Доказательство:

Доказательство. Выберем на проективной плоскости произвольный репер R = (A1, A2, A3, E), пусть в этом репере овальная линия имеет уравнение (1) и точки P и Q приобретают проективные координаты P (p1, p2, p3) , Q (q1, q2, q3); прямая (PQ) задается параметрическими уравнениями

x1= λp1 + μq1; x2= λp2 + μq2; x3= λp3 + μq3     (13)

Рисунок 2.

Пусть точки пересечения прямой (PQ) и овальной линии имеют следующие координаты:

M1 p1 + μ1 q1, λ1 p2 + μ1 q2, λ1 p3 + μ1 q3)

N2 p1 + μ2 q1, λ2 p2 + μ2 q2, λ2 p3 + μ2 q3) .

Вычислим сложное отношение (PQ, MN). Обозначим через P′, Q′, M′, N проекции точек P, Q, M, N на координатную прямую (A1A2) из центра A3, тогда в репере R3 = (A1, A2, E3) (E3 =( A3 E ∩ (A1 A2)) имеем , Q (q1, q2), M(λ1 p1 + μ1 q1, λ1 p2 + μ1 q2), N(λ2 p1 + μ2 q1, λ2 p2 + μ2 q2).

(PQ, MN) = (PQ′, MN) =  =

Заметим, что  тогда и только тогда, когда .

Подставляя соотношение (13) в уравнение (3), получаем после деления на λ2:

A22+ 2A12  +  A11 = 0           (14)

Поскольку точки P и Q не лежат на овальной линии, то A22 = aijpiqj0 A11 = aij piqj0.

Так как точки M и N лежат на овальной линии, то  = - 

Точки P и Q сопряжены относительно γ тогда и только тогда, когда aijpiqj = A12= 0, т.е. P и Q сопряжены, если и только если  = 0, что в свою очередь равносильно тому, что (PQ, MN) = -1.

Определение 5

Пусть на проективной плоскости задана овальная линия γ и точка P. Полярой называется множество точек d, сопряженных с точкой P относительно γ, а сама точка P называется полюсом поляры d.

Если овальная линия задается в некотором репере уравнением (3), точка P имеет координаты (p1, p2, p3), то из условия сопряженности (12) получаем уравнение поляры d:

(ai1pi) x1 + (ai2pi) x2 + (ai3pi) x3 = 0      (15)

Поскольку овальная линия невырождена, то не все коэффициенты при x1, x2, x3 равны нулю, поэтому dпрямая. Для каждой точки P (p1, p2, p3), проективной плоскости существует поляра (15) относительно овальной линии (3), и обратно для каждой прямой u1 x1 + u2x2 + u3x3 = 0  существует единственный полюс P, координаты которого определяются системой уравнений

a11p1+ a21 p2+ a31 p3 = λu1
a12p1+ a22 p2+ a32 p3 = λu2
a13p1+ a23 p2+ a33 p3 = λu3,

где λ0.

Овальная линия не вырождена, определитель системы не равен нулю, поэтому точка P определяется однозначно (координаты точки P находятся с точностью до ненулевого множителя).

Таким образом, любая овальная линия определяет биекцию 

P2 → (P2) проективной плоскости P2 на множество (P2) ее прямых.

Теорема 3 (о взаимности поляритета)

Пусть на проективной плоскости задана овальная линия. Если точка Q лежит на поляре точки P, то точка P лежит на поляре точки Q.

6. Теорема Штейнера

«Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка при помощи отображения одного пучка прямых на другой».[1]

Теорема 4. Теорема Штейнера 

На проективной плоскости множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективных, но не перспективных пучков есть невырожденная кривая  второго порядка. И обратно, два пучка с центрами на кривой второго порядка, у которых соответствующие прямые пересекаются на этой кривойпроективны.

Доказательство:

Пусть даны два пучка с различными центрами O1 и O2 и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Докажем, что множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков есть овальная линия, проходящая через точки O1 и O2.

Рисунок 3

Обозначим через m прямую (O1O2) и рассмотрим прообраз n этой прямой m=f(n). Отображение f зададим с помощью трех попарно различных прямых  n, m, l пучка O1 и их образов m, m′, l в пучке O2:

f: n m; m m;  l  l

Прямые n, m′, l  попарно различны, так как f не является перспективным отображением, поэтому точки O1=nm, O2=mm и O3=nm не лежат на одной прямой, точка E=ll не принадлежит прямым m, m′, n, следовательно, мы получим репер R = (O1, O2 , O3 ,E,).

Пусть X (x1,x2,x3) произвольная точка, не лежащая на сторонах трехвершинника O1O2O3 . По определению сложного отношения прямых (mn, l(O1  X)) = (O2O3,E1,X1), и (mm, l(O2  X)) = (O3O1,E2,X2) (см. рисунок 3).

В репере R2 = (O2, O3,E1) на координатной прямой  (O1O2) точка X1 имеет координаты  (x2, x3), поэтому (O2O3,E1,X1) = . Аналогично,  (O3O1,E2,X2) = . Таким образом, (, (O1X)) = (O2O3,E1,X1);   ((O2X)) = (O3O1,E2,X2).

Если Xγ, то в силу сохранения проективным отображением сложного отношения имеем 

Поэтому , и мы получаем уравнение линии второго порядка:

(x1x2) - (x3)2 = 0 (16)

Если т.е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (16). 

Если точка X лежит на  сторонах трехвершинника O1O2O3, то ее координаты удовлетворяют уравнению (16), если, и только если Х совпадает с одной из точек O1(1,0,0) и O2(0,1,0), которые принадлежат множеству γ. 

Уравнение (16) есть уравнение второй степени, ранг максимален, следовательно, оно определяет невыраженную линию второго порядка, на которой есть действительные точки O1 и O2, т.е. овальную линию.

7. Теоремы Паскаля и Брианшона

Пусть шесть точек A1, A2,, A6 заданы на овальной линии второго порядка. Тогда три точки пересечения прямых (A1, A5) и (A2, A4), (A3, A4) и (A1, A6), (A2, A6) и (A3, A5) лежат на одной прямой.

Если шестивершинник есть любая шестизвенная замкнутая ломанная, а под сторонами шестивершинника понимают прямые, содержащие звенья ломанной, то теорему Паскаля можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5. Теорема Паскаля 

Противолежащие стороны шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Рисунок 4.

Доказательство:

Пусть вершины шестивершинника A1A2A3A4A5A6 лежат на овальной линии γ. Докажем, что точки O = (A1A6) ∩ (A3A4), N = (A2A4) ∩ (A1A5) и N′ = (A2A6) ∩ (A3A5) лежат на одной прямой.

Рисунок 5.

Пусть fпроективное отображение пучков с центрами A1 и A3, которое устанавливается овальной линией γ  согласно теореме Штейнера. Отображение f порождает проективное отображение φ: (A2, A4)(A2, A6), в которой каждой точке  Х1 на (A2, A4) соответствует точка Х2 прямой (A2,A6), такая, что прямые (A1, Х1) и (A32) пересекаются в точке Х, принадлежащей линии γ. Поскольку φ(A2)= A2, то φперспективное отображение, центром его является точка O, причем N = φ(N), следовательно N, O, N принадлежат одной прямой.

Теорема 6. Обратная теорема Паскаля

Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.

«Двойственной к теореме Паскаля является следующая»[1]

Теорема 7. Теорема  Брианшона

Шестивершинник описан около овальной линии второго порядка тогда и только тогда, когда его большие диагонали пересекаются в одной точке.

Рисунок 6.

Рассмотрим частные случаи теорем Паскаля и Брианшона.

Представим себе, что точки определяющие какую-нибудь сторону вписанного шестивершинника, сливаются, тогда эта сторона превращается в касательную и получается фигура, изображенная на  рисунке 7.

Рисунок 7.

Теорема 8 

Касательная к линии второго порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятивершинника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятивершинника.

Двойственную этому предельному случаю теорему Брианшона получим, полагая, что две смежные стороны описанного шестисторонника сливаются в одну, а общая их вершина превращается в точку прикосновения.

Теорема 9

Прямая, соединяющая точку касания одной из сторон описанного пятисторонника с противоположной вершиной, проходит через общую точку прямых, соединяющих остальные две пары несмежных вершин этого пятисторонника.

Рисунок 8

8. Примеры задач 

№1

Даны пять точек кривой 2-го порядка. Построить касательную к кривой в одной из них.

Решение:

Рисунок 9

Пусть А, В, С, D, Е - данные пять точек. 

Требуется построить касательную к кривой в точке Е. 

  1.  Построим пятиугольник ABCDE и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и противоположные вершины (рис. 9). 
  2.  В силу теоремы 5 точки пересечения двух пар несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в противоположной вершине коллинеарны. 
  3.  В данном случае пятой, стороной является е, а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным образом: а, с и b, d. 
  4.  Построим точки ас = Х и bd = У
  5.  Построим прямую Паскаля ХY. Пусть XYе = Z, тогда прямая EZ есть искомая касательная.

2

Даны две стороны трехсторонника, описанного около кривой 2-го порядка, точки касания этих сторон и точка Брианшона. Построить третью сторону.

Решение:

Рисунок 10

Пусть z и x данные две стороны, B - точка Брианшона, C, B - точки касания.

Требуется построить сторону y. 

  1.  В силу теоремы Брианшона прямые, соединяющие вершины трехсторонника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке. 
  2.  zx=A, где А одна из вершин трехсторонника. bbz=B, cbx= C. 
  3.  Прямая BC = y и будет третьей стороной, точкой касания будет точка а, т.к Aby = a.

3

Овальная кривая второго порядка задана четырьмя точками и касательной в одной из них.

а) Построить касательную к кривой в одной из данных точек;

б) Построить еще одну точку кривой.

Решение:

Рисунок 11

Пусть заданы точки ,, ,, и прямая –касательная к кривой  в точке . 

  1.  Построим касательную к кривой в точке B. Примем точки  и  за центры пучков  и , порождающих кривую  (следствие теоремы Штейнера). В проективном отображении , которое переводит прямые , ,  соответственно в прямые , , , касательной к кривой  в точке  является прямая . Задача сводится к построению образа прямой  в заданном проективном отображении . Для этого построим точку  –центр перспективного отображения . Находим далее , . Прямая –искомая касательная.
  2.  Возьмем произвольную прямую  и найдем . Тогда по теореме Штейнера . 

9. Заключение

«В начале своего возникновения проективная геометрия имела довольно ограниченную область приложений, связанную, главным образом, с теорией проектирования фигур в евклидовом пространстве. Однако по мере накопления фактов эта ветвь геометрии постепенно освобождалась от метрических понятий и превратилась в самостоятельную дисциплину, изучающую свойства взаимного расположения геометрических фигур». [2]

Мы же рассмотрели линии второго порядка, их свойства, теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона, практические задачи с линиями второго порядка в проективной плоскости.

10. Список использованной литературы

  1.  Исаева М.А., Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В., Введение в действительную проективную геометрию. Учебное пособие.М.: Издательство МГОУ,  2010,  135с.
  2.  Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. 2.М.: Просвещение, 1976.
  3.  Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2 - М.: Просвещение, 1987. -352 с.
  4.  Певзнер С.Л. Проективная геометрия.М.: Просвещение, 1980.
  5.  Абруков Д.А., Электронный учебник по реометрии, ч.2Чебоксары: ЧГПУ, 2012. 



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
2658. Кривые второго порядка 98.92 KB
  Клянусь говорить правду, только правду и ничего, кроме правды. Господа! Парабола является, пожалуй, одной из самых известных кривых в математике и, наверное, никакая другая кривая не имеет в своём характере столько ужасных черт, как она.
8647. Поверхности второго порядка 38.33 KB
  Если два собственных числа совпадают эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Поверхности вращения. Поверхность описываемая некоторой линией вращающейся вокруг неподвижной прямой d называется поверхностью вращения с осью вращения d. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: Fx2 y2 z = 0 то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
9108. Определители второго и третьего порядков, их основные свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Определитель n-го порядка 52.4 KB
  Матрицей называется прямоугольная таблица чисел Обозначения: А – матрица элемент матрицы номер строки в которой стоит данный элемент номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы n – число ее столбцов. Числа m и n называются размерностями матрицы. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы. Матрицы одинаковой размерности называются равными если у них соответственно равны элементы стоящие на...
7988. Создание аналитической геометрии Р.Декартом. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение 30.59 KB
  Тема: Создание аналитической геометрии Р. Геометрии Лобачевского Римана и их применение. Создание аналитической геометрии Рене Декартом. Геометрии Лобачевского Римана и их применение: а геометрия Лобачевского; б создание неевклидовой геометрии; в утверждение геометрии Лобачевского; г геометрия Римана.
3532. Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В.Клетеник 27.6 MB
  Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии тех факультетов высших технических учебных заведений, где действуют нормальные программы по физико-математическим и общетехническим дисциплинам, и совершенно не содержит задач по разделам аналитической геометрии, не входящим в программу втузов
9401. Применение свойств движений к решению задач элементарной геометрии 57.51 KB
  Рассмотрим задачи на элементарной геометрии при решении которых удобно использовать свойства различных видов движений. Рассмотрим примеры задач для решения которых удобно использовать параллельный перенос. Рассмотрим параллельный перенос на вектор где и центры окружностей. Рассмотрим вращение вокруг точки В на угол .
11768. ОТКРЫТИЕ ВТОРОГО ФРОНТА 16.1 KB
  Одним из самых дискуссионных остается вопрос: почему открытие Второго фронта в Европе стало реальностью только на пятом году Второй мировой войны и можно ли было открыть Второй фронт в 1942 году Вначале чтобы было понятно поясню что Первым фронтом хотя такой термин и не употребляется был советскогерманский фронт на Востоке. Известно что за открытие Второго фронта Советский Союз вел тяжелую борьбу три года с июня 1941 по июнь 1944. При этом впервые вопрос об открытии Второго фронта был поставлен советским правительством уже через...
8669. Криволинейные интегралы первого и второго рода 58.67 KB
  Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f определенную в каждой точке этой кривой. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Если существует конечный предел интегральной суммы не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек Mi то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .
9398. Классификация подобий. Подобия пространства. Применение свойств подобия к решению задач элементарной геометрии 89.62 KB
  Определим аналитические выражения подобия. Представим данное подобие p в виде произведения движения d на гомотетию H, причем в качестве центра гомотетии примем начало прямоугольной декартовой системы координат. Тогда аналитические выражения движения и гомотетии, как следует из результатов настоящего параграфа и параграфа
19564. Организация розничного кредитования банками второго уровня 363.95 KB
  Данное направление экономической мысли успешно развивается усилиями многих ведущих экономистов и финансистов мира. Вместе с тем, многие аспекты совершенствования кредитных систем, банковской сферы и небанковских кредитных организаций требуют дальнейшей проработки, так как не только не освещены, но и до конца не изучены. Это побудило нас провести контент-анализ литературы и публикаций в прессе, который показал
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.