Применение свойств движений к решению задач элементарной геометрии

Рассмотрим задачи на элементарной геометрии при решении которых удобно использовать свойства различных видов движений. Рассмотрим примеры задач для решения которых удобно использовать параллельный перенос. Рассмотрим параллельный перенос на вектор где и центры окружностей. Рассмотрим вращение вокруг точки В на угол .

2015-02-09

57.51 KB

38 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция 13. Применение свойств движений к решению задач элементарной геометрии.

Литература. [1] § 51.

Рассмотрим задачи на элементарной геометрии, при решении которых удобно использовать свойства различных видов движений.

Трудно дать конкретные рекомендации по использованию геометрических преобразований для решения задач элементарной геометрии. Общие же соображения таковы: геометрические преобразования применяются для упрощения задачи, для отыскания закономерностей, позволяющих определить решение. При этом рассматривается либо образ всей фигуры, либо её части. Применяя движение при решении задачи элементарной геометрии, следует помнить, что оно преобразует элементы фигуры в соответствующие элементы её образа. Например, высоты треугольника преобразуются в высоты,  центр вписанной окружности - в центр вписанной окружности образа и т.д.

Рассмотрим примеры задач, для решения которых удобно использовать параллельный перенос.

Пример 1. Даны две пересекающиеся окружности равных радиусов, расстояние между центрами которых равно m. Прямая l,  параллельная линии центров, пересекает первую окружность в токах A и B, а вторую - в точках С и D (лучи AB и CD сонаправлены). Найти длину отрезка АС.

 Решение. Пусть  и  - данные окружности (рис. 140). Рассмотрим параллельный перенос   на вектор , где  и  - центры окружностей. По условию прямая l параллельна вектору , лучи AB и CD которой сонаправлены,  Отсюда следует, что  Поэтому .

 Пример 2. Доказать, что в трапеции разность длин оснований по модулю больше абсолютной величины разности длин боковых сторон.

Решение. Пусть АВСD - данная трапеция (рис. 141). Осуществим параллельный перенос стороны AD на вектор .  Получим отрезок CF . Четырехугольник АВСF- параллелограмм. Поэтому AF=BC, FC =AB и DF = AD - BC. Так как

в любом треугольнике модуль разности двух сторон меньше третьей, то AD - BC > AB - CD. Утверждение доказано.

Приведем пример решения задачи, в которой удобно использовать свойства вращения плоскости.

 Пример 3. На прямой l даны три точки A, B и C, причем точка В лежит между A и C. На отрезках AB и BC  построены  равносторонние треугольники АВP и ВСQ  так,  что  вершины  P и  Q лежат  в  одной полуплоскости относительно прямой l.  Обозначим  через  M середину отрезка АQ, a через N - середину СP. Доказать, что треугольник ВMN также является равносторонним.

 Решение. Пусть АВP и ВСQ - данные  треугольники  (рис.142). Рассмотрим   вращение вокруг точки В на угол . При этом преобразовании точки A и Q переходят соответственно  в точки P и C. Поэтому образом отрезка AQ является  отрезок РС. Так как при движении середина отрезка преобразуется в середину, то образом точки M при указанном вращении служит точка N. Отсюда следует, что треугольник BMN - равносторонний.

Рассмотрим решения задач, в которых используется осевая симметрия.

 Пример 4. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна длине высоты, опущенной из вершины основания на боковую сторону.

 Решение. Пусть АВС - данный треугольник, M - произвольная точка его основания АС, MP и MQ - перпендикуляры, опущенные на стороны AB и BC (рис. 143).  Из  равенства углов BAC и BCA при основании треугольника следует, что другие острые углы прямоугольных треугольников АРМ и МСQ также равны между собой:

                         РМА = QMC                      (30.1)  

Рассмотрим осевую симметрию с осью АС. Точка В преобразуется в B, P - P, сторона AB в сторону АВ. Из свойств осевой симметрии следует, что . Поэтому, учитывая равенство (37.1), имеем: . Отсюда вытекает: точки P, M и Q лежат на одной прямой. Отрезок PQ - общий перпендикуляр параллельных прямых AB и AB. Поэтому его длина h равна высоте треугольника, опущенной на боковую сторону. Но, PM= P'M,  следовательно, PM+MQ=P'Q= h. Утверждение доказано.

 Пример 5. Дан треугольник АВС,  CL - биссектриса его  внешнего угла, M - произвольная точка луча СL. Доказать, что .

Решение. Пусть АВС - данный треугольник. Рассмотрим точку B симметричную вершине В относительно биссектрисы СL. Так  как биссектриса является осью симметрии угла, то точка B принадлежит продолжению стороны FC треугольника (рис. 144). Из свойств симметрии следует: , . Из неравенств, связывающих длины сторон треугольника АМВ вытекает: . Таким образом, . Утверждение доказано.

PAGE  245


EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8

EMBED Word.Picture.8



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
9398. Классификация подобий. Подобия пространства. Применение свойств подобия к решению задач элементарной геометрии 89.62 KB
  Определим аналитические выражения подобия. Представим данное подобие p в виде произведения движения d на гомотетию H, причем в качестве центра гомотетии примем начало прямоугольной декартовой системы координат. Тогда аналитические выражения движения и гомотетии, как следует из результатов настоящего параграфа и параграфа
7988. Создание аналитической геометрии Р.Декартом. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение 30.59 KB
  Тема: Создание аналитической геометрии Р. Геометрии Лобачевского Римана и их применение. Создание аналитической геометрии Рене Декартом. Геометрии Лобачевского Римана и их применение: а геометрия Лобачевского; б создание неевклидовой геометрии; в утверждение геометрии Лобачевского; г геометрия Римана.
9400. Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач 138.88 KB
  Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то произвольная точка прямой АВ является неподвижной, а любая инвариантная точка преобразования f принадлежит прямой АВ.
3532. Сборник задач по аналитической геометрии. Д.В.Клетеник 27.6 MB
  Настоящий сборник задач соответствует курсу аналитической геометрии тех факультетов высших технических учебных заведений, где действуют нормальные программы по физико-математическим и общетехническим дисциплинам, и совершенно не содержит задач по разделам аналитической геометрии, не входящим в программу втузов
17594. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 247.6 KB
  Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение, задач повышенной трудности. Таким образом, школьниками забываются проблемы общезначимости процентов, разнообразия сфер их применения.
20065. Методика обучения решению задач методике Герасимова (факультативный курс) 37.81 KB
  Венгерский и американский математик Дьёрдь Пойа говорил: Если вы хотите научиться плавать то смело входите в воду а если хотите научиться решать задачи то решайте их. Поэтому очень любят решать задачи и не испытывают страха при ответе у доски. Задачи играют огромную роль в жизни человека. Формирование умения решать задачи происходит в процессе обучения всем школьным предметам.
5538. Формирование познавательных УУД на основе использования приема моделирования в процессе обучения решению задач 263 KB
  Данные изучения уровня умения решать арифметические задачи по результатам первой методики на констатирующем этапе. Данные изучения уровня умения решать арифметические задачи по результатам второй методики на констатирующем этапе...
853. Линии второго порядка в проективной геометрии 417.92 KB
  Проективная геометрия, изучающая свойства геометрических фигур, которые сохраняются при любом проектировании данной фигуры с одной плоскости на другую, показала, что задачи начертательной геометрии составляют один из классов задач проективной геометрии.
3193. Социально-политические идеалы средневековых еретических движений 7.67 KB
  Принято различать раннехристианские и средневековые ереси. Все эти ереси были массовыми движениями плебейскокрестьянского или бюргерского характера направленными против папства и феодализма. существовали мистические ереси. Основоположник иоахимитской ереси монах Иоахим Флорский и его последователи считали что церковь разложилась и вместе с существующим миром должна быть осуждена.
9396. Классификация движений первого и второго родов. Движения пространства 81.01 KB
  Рассмотрим первый случай, движение g имеет, по крайней мере, две инвариантные точки. Тогда, согласно лемме 2, прямая, проходящая через них целиком состоит из неподвижных точек.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.