Метод моментів побудови оцінок

Використовують уже розглянуті нами оцінки початкових моментів – вибіркові початкові моменти які є незміщеними і сильно конзистентними. Кілька вибіркових початкових моментів прирівнюють до відповідних теоретичних початкових моментів обчислених для даного типу розподілу позначивши невідомі параметри . Оцінити методом моментів параметри рівномірного розподілу.

2015-02-05

111.37 KB

5 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


 Лекція 12

Метод моментів побудови оцінок

Метод моментів застосовується коли відомий тип розподілу, але невідомі його параметри . Наприклад, відомо, що Х – нормальний розподіл , але невідомі числа  і їх треба оцінити.

Використовують уже розглянуті нами оцінки початкових моментів – вибіркові початкові моменти , які є незміщеними і сильно конзистентними.

Кілька вибіркових початкових моментів  прирівнюють до відповідних теоретичних початкових моментів, обчислених для даного типу розподілу, позначивши невідомі параметри .  (Теоретичні початкові моменти будуть залежати від невідомих параметрів.)   

                               (неперервний розп.)                       (дискр. розп.)

   

   

                       ...

   .

Отримаємо систему  k рівнянь , з яких знаходимо невідомі через .

Можна деякі початкові моменти () заміняти на відповідні центральні моменти (), бо вони виражаються через початкові: , і для багатьох типів розподілів дисперсія  вже виражена через параметри: для нормального  ,  для рівномірного і т.д.

Приклад. Оцінити методом моментів параметри рівномірного розподілу.

Рівномірний розподіл має два параметри a,b. Тому потрібно скласти два рівняння.

Використаємо i, бо вони вже виражені нами через параметри a,b.

           ,

           

Розв'яжемо систему відносно . Помножимо друге рівняння на 3 і добудемо корінь квадратний з обох його частин, а потім додамо та віднімемо його від першого рівняння:

            

             

Отже, оцінки методом моментів параметрів рівномірного розподілу:, .

Теорема. Якщо розв'язки системи є неперервними функціями від , то оцінки отримані методом моментів є сильно конзистентними.

Доведення.                                                    

                                       

                                                  ...

                                 

Припустимо, що система р-нь має єдиний розв'язок, неперервний відносно вибіркових моментів:

 

 

                       ...

 

При великих обсягах вибірок вибіркові моменти .  Друга система при точних значеннях моментів дає точні значення параметрів. При неперервних функціях :

(всі границі з імовірністю 1).

Отже, отримані в прикладі оцінки для параметрів рівномірного розподілу є сильно конзистентними.        

  Метод Гауса (найбільшої правдоподібності)

Знову ж відомий тип розподілу, але невідомі параметри і їх треба оцінити за вибіркою, тобто виразити їх через .

Знаходимо ймовірність реалізації вибірки (  ), використовуючи відомий тип  розподілу Х. Ця ймовірність буде залежати від параметрів =() і називається функцією правдоподібності:  =

=L( ,) =L(,).

Врахуємо, що експерименти незалежні, тоді– незалежні в.в. з однаковим розподілом Х.    L(,)=, де формули для ймовірностей беруть з даного типу розподілу, тут дискретного.

Для неперервного розподілу функція правдоподібності має вигляд:  L(,)=

=, тобто використовують щільність даного типу.

Метод найбільшої правдоподібності полягає у підборі таких значень параметрів , при яких функція правдоподібності досягає максимуму. Отже, треба знайти точку максимуму функції L від k змінних  і координати цієї точки М() і будуть шуканими оцінками. Вони будуть залежати від елементів вибірки .

Для знаходження критичної точки складаємо систему рівнянь:

                                                                                                            

                                                                                                                      ...

                                                                                                            

Але, оскільки функція правдоподібності є добутком, то зручніше шукати максимум ln L(x,). Точки максимуму L і ln L співпадають, бо ln x зростаюча функція.:  

                                                                                                                    

                                                                                                                                ...

                                                                                                                                                  

Метод Гауса можна застосовувати лише тоді, коли функція правдоподібності має один максимум.         

Теорема. Оцінки отримані цим методом є ефективними (якщо взагалі існують ефективні оцінки) і сильно конзистентними (без доведення).

Приклад. Щоб зателефонувати до деякої установи необхідно було набрати номер  разів відповідно протягом n днів. Оцінити ймовірність додзвонювання з першого разу.

Кількість промахів до першого успіху – X – геометричний розподіл. Цей розподіл має 1 параметр – ймовірність успіху в одному випробуванні: p.  В нашому випадку кількість набирань номеру до першого додзвонювання –    K =X+1. Потрібно оцінити параметр p.

Функція правдоподібності:  L(, p)==

=.

Прологарифмуємо:     ln L(, p)=.

    Шукаємо точку max. Тут одна змінна  p.               ,  .

Це буде точка максимуму, бо при меншому p похідна додатна, а при більшому – від'ємна .

Отже,    .                                       Для порівняння, методом моментів отримаємо:  

, тобто оцінки параметра геометричного розподілу p, отримані методом максимальної правдоподібності та методом моментів, співпали.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
6512. Принципи побудови багатоканальних систем передачі з ЧРК 74.11 KB
  Вивчити задачі навчальної дисципліни, роль і місце багатоканальних систем передачі в мережах звязку. Вивчити види сигналів електрозвязку і їхніх характеристик. Ознайомити студентів з перспективами розвитку мереж звязку України.
7107. ОСНОВИ ПОБУДОВИ БУХГАЛТЕРСЬКОГО ОБЛІКУ В БЮДЖЕТНИХ УСТАНОВАХ 1.04 MB
  В бухгалтерському балансі бюджетних установ реалізується принцип двосторонності, який полягає в тому, що господарські засоби установи відображаються в двох розрізах: за їх речовим складом (основні засоби, грошові кошти, матеріали і продукти харчування тощо) та за джерелами їх формування, які можуть бути власними і залученими.
7688. Застосування ризик орієнтованого підходу для побудови імовірнісних структурно-логічних моделей виникнення та розвитку НС 41.22 KB
  Важливою характеристикою небезпеки є шкода якісна або кількісна оцінка збитків заподіяних небезпекою. Чисельно ризик визначається за формулою R = РА де Р ймовірність виникнення небезпеки; А очікуваний розмір шкоди збитку щоможе завдати реалізована небезпека. Ризик смертельної небезпеки коли шкода є найтяжчою смерть людини розраховується як частота за формулою R = де n кількість подій із смертельними наслідками; N максимально можлива кількість цих подій кількості подій n і N обов'язково визначаються за однаковий...
13659. Вивчення принципу побудови силової схеми привода постійного струму SIMOREG і принципів керування тиристорами,зняття регулювальної характеристики 952.25 KB
  На лабораторній установці електропривода SIMOREG вивчити принцип керування тиристорами,досліджувати поведінку перетворювача постійного струму в різних режимах роботи.Зняти регулювальну характеристику перетворювача.
6511. Принципи побудови систем АРП кабельного лінійного тракту систем передачі з ЧРК 123.51 KB
  Пристрої автоматичного регулювання посилення призначені для регулювання рівнів передачі підсилювачів магістралі в заданих межах і для стабілізації залишкового загасання каналів звязку.
8407. Константный метод 17.82 KB
  Говорят, что метод объекта обладает свойством неизменности (константности), если после его выполнения состояние объекта не изменяется.Если не контролировать свойство неизменности, то его обеспечение будет целиком зависеть от квалификации программиста. Если же неизменный метод в процессе выполнения будет производить посторонние эффекты, то результат может быть самым неожиданным,отлаживать и поддерживать такой код очень тяжело.
9035. Метод рекуррентных соотношений 146.69 KB
  Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. Основные определения и примеры рекуррентных соотношений Часто решение одной комбинаторной задачи удается свести к решению аналогичных задач меньшей размерности с помощью некоторого соотношения называемого рекуррентным от латинского слова recurrere – возвращаться. Тем самым решение сложной задачи можно получить последовательно находя решение более легких задач и далее пересчитывая по рекуррентным соотношениям находить решение трудной задачи. Рекуррентным соотношением го...
12947. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ 338.05 KB
  Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации будем считать что исследуемая нелинейная система приведена к виду показанному на. Нелинейный элемент может иметь любую характеристику лишь бы она была интегрируемой без разрывов второго рода. Преобразование данной переменной для примера нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис.
9870. Сказкотерапия как метод в психологии 39.06 KB
  Однако до сих пор это чарующее слово сказкотерапия понимается психологами очень поразному и смыслы которые в него вкладываются отличаются порой не меньше чем скажем бытовые сказки и волшебные. Постараюсь затем все методы применять на практике читать детям сказки воспитывать тем самым доброе и вечное . Главным средством психологического воздействия в сказкотерапии выступает метафора как ядро любой сказки...
9514. Метод бухгалтерського обліку 1002.23 KB
  Бухгалтерські рахунки та їх побудова. Він складається з ряду елементів головні з яких: документація; інвентаризація; рахунки; подвійний запис; оцінка; калькуляція; баланс; звітність. Рахунки бухгалтерські призначені для обліку наявності активів і пасивів. Бухгалтерські рахунки та їх побудова.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.