Механика абсолютно твёрдого тела. Вращательное движение абсолютно твёрдого тела

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела. Центр масс абсолютно твёрдого тела центр инерции движение центра масс теорема о движении центра масс. Кинетическая энергия вращающегося тела.

2015-02-09

282.51 KB

7 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Механика абсолютно твёрдого тела.

Вращательное движение абсолютно твёрдого тела.

План

1. Центр масс абсолютно твёрдого тела, центр инерции, движение центра масс, теорема о движении центра масс

2. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции материальной точки и тела

3. Момент инерции сплошного диска

4. Момент силы

Момент импульса

5. Уравнение вращательного движения твёрдого тела

6. Гироскопы

 

1. Центр масс твёрдого тела, центр инерции, движение центра масс.

Разбив тело на элементарные массы  его можно представить как сумму материальных точек;  – радиус вектор, определяемый положением этой элементарной массы.

Центр масс твёрдого тела – точка с радиусом-вектором

= ;

Можно показать, что для системы материальных точек выполняется уравнение:

 = ;

– суммарный импульс; сумма всех сил. Продифференцируем  по t; найдём скорость центра масс:

=   =   =   = = ;

и   - скорость и импульс частицы.

- импульс системы.

Полный импульс системы можно представить в виде произведения массы на системы на скорость движения центра масс:

= m; тогда  = m;

По третьему закону Ньютона:

m = ; m = ;

Теорема о движении центра масс твёрдого тела

Центр масс твёрдого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных сил (центр масс совпадает с центром тяжести тела в однородном поле сил тяжести).

Уравнение даёт возможность установить движение центра масс твёрдого тела, если известна масса тела и действующие на него силы.

2 Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции материальной точки твёрдого тела.

Мысленно разобьём тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  на элементарнее массы ;  – расстояние от массы до оси;  - линейная скорость i-той массы.

, , , модуль.

Тогда кинетическая энергия i-той точки:

= ;

=;

=  =  = ;

Моментом инерции i-той массы тела относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат её расстояния от оси вращения.

=;

Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения складывается из суммы моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело относительно этой оси.

Y= ;

Тогда:

=  → = ;

Момент инерции играет роль массы при вращательном движении, то есть это мера инертности тела.

Y= = ;

3 Момент инерции сплошного диска.

 Рисунок

Y=dm;

ρ – поверхностная плотность(кг/м3)

возьмём тонкое кольцо:

dm=ρds;

ds=2πrdr → dm=ρ2πrdr;

Y==2πρ=2πρ│R/0 =│R/0 = = ;

Сплошной цилиндр                             = ;

Кольцо, полый цилиндр                       Y= m;

4 Момент силы, момент импульса.

Момент силы относительно точки опоры можно представить в виде векторного произведения радиус-вектора точки приложения силы на силу.

= [×];

Вектор  направлен плоскости, в которой лежат  и , а направление вектора  по правилу правого винта.

||= rF ||;

Когда сила приложена к одной из  точек твёрдого тела, вектор  характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берётся. Поэтому момент силы называется также вращающим моментом.

×];

= [ ] + [] = [×];

= [×]= ∑;

Момент импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина:

=[×],

где  - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О , а = – импульс частицы.

||= rP;

Вектор  перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора  и , а направление его по правилу правого винта

 L=Yw      по аналогии с   P=mv

5 Уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Продифференцируем по t =[×]:

= [×] + [×] ;                = ;

= ,  ║,   = 0;

= [×];

= ;

Производная по времени момента импульса материальной точки О равна моменту действующей силы относительно точки О .

Для системы материальных точек:

| = |;

Для твёрдого тела как и для системы материальных точек: производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил, действующих на тело.

 =∑ внешн.;

Это уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

d = dt;

Изменение момента импульса равно импульсу момента всех сил

=M;    = M;    = M;

M=Yξ;    L=Yw;

M=  = Y = Yξ;

Поступательное движение

Вращательное движение

=

=

a=; = ; =

ξ=  =

m

Y=m

Eк.r=

Eк=

= ma2

=[×]

P=m

= [×]

=

=

6 Гироскоп

Гироскопом (волчёк) называется симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии

У симметричного тела направление  совпадает с  .

Гироскоп вращается относительно z сила  втечение  dt .

Момент импульса  получает приращение: d=dt , где  - момент силы  относительно точки О.

Новое значение момента импульса равно +d .

Наряду с прецессией, возникает нутация оси, размахи у быстро вращающихся волчков малы, ею пренебрегают.

Когда угловая скорость вращения волчка становится меньше определённой величины, он теряет устойчивость и падает.

У медленно вращающегося волчка нутация зыбка. На морских судах и винтовыз самолётах имеется много вращающихся частей: вал двигателя, ротор турбины…

При разворотах судна и качке на подшипники действует гироскопическая сила, это учитывают.

Угловая скорость прецессии оказывается пропорциональной величине внешнего момента силы.

Гироскоп (от греческого гирос – круг ) – быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять своё направление в пространстве.

Гироскоп обладает рядом интересны свойств, наблюдаемых у небесных тел, роторов турбин, установленных на судах и т.д…

Свойства гироскопа проявляются при  выполнении двух условий: 1) ось вращения должна иметь возможность менять направление в пространстве.  2) угловая скорость вращения гироскопа много больше скорости оси при изменении направления.

        Гироскопический эффект используют в технике (использование кардановой подвески).

При свободной оси гироскоп обладает двумя основными свойствами:

  1.  Если ось вращения направить на какую-нибудь звезду, то при любых случайных толчках она будет продолжать указывать на эту звезду, меняя свою ориентацию относительно других осей.
  2.  Под действием силы, стремящейся изменить положение оси, она будет отклоняться внаправлении перпендикулярном действию силы, при этом возникает вращение с постоянной угловой скоростью – прецессия.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
6338. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 149.75 KB
  Поворот тела Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка длина которого равна а направление совпадает с осью вокруг которой происходит поворот. Путь проходимый любой точкой тела при очень малом повороте можно считать прямолинейным рис. Угловая скорость Если очень малые повороты совершаются за очень малое время то векторная величина 2 называется угловой скоростью тела причем .
12919. Ионика твёрдого тела 83.84 KB
  Ионика твёрдого тела междисциплинарное направление науки и техники на стыке электрохимии материаловедения неорганической химии кристаллохимии приборостроения и энергетики.1 Общие замечания Метод низкотемпературного ионного обмена в готовой кристаллической структуре позволяет получать термически неустойчивые соединения например кислоты и соединения аммония со слоистыми или каркасными структурами и метастабильные фазы не образующиеся при прямом высокотемпературном...
13506. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 1.31 MB
  Планк предположил для объяснения кривой излучения черного тела что свет может излучаться или поглощаться лишь в виде некоторых порций энергии получивших название квантов или фотонов. разумеется такие же соотношения справедливы и для измерений по остальным координатам и их можно выписать для произведений и . В другой формулировке этот принцип устанавливает связь между ошибками измерений энергии частицы Е и временным промежутком требуемым для измерения:...
7121. Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. Закон сохранения момента импульса 262.41 KB
  Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела. План Вращение твердого тела. Законы динамики вращательного движения твердого тела. Кинетическая энергия тела которое вращается.
7655. Рабочие тела и их свойства 62.14 KB
  Химические реакции окисления компонентов топлива количество воздуха. Альтернативные топлива. Рабочим телом называются физические вещества с помощью которых тепловая энергия топлива превращается в механическую работу. В тепловых двигателях рабочим телом являются газы образующиеся при сгорании окислении топлива.
396. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА 162.43 KB
  Действие электрического тока на организм человека Действие электрического тока на организм человека носит своеобразный и разносторонний характер. Можно выделить четыре основных вида действия электрического тока на организм человека: термическое электролитическое биологическое и механическое. Биологическое действие электрического тока проявляется в нарушении внутренних биоэлектрических процессов в раздражении и возбуждении живых тканей организма что может сопровождаться судорожными сокращениями мышц нарушением и даже прекращением...
3571. Вестибулярные ощущения и их роль в ориентировке тела в пространстве 10.58 KB
  Вестибулярные ощущения отражают изменение положения тела относительно плоскости Земли а также перемену ускорения. Статикодинамические ощущения вестибулярные ощущения равновесия – это ощущения которые правильно ориентирует человека при наличии земного притяжения возникают в результате деятельности вестибулярного анализатора. Рецептор: вестибулярный аппарат волосковые клетки Функции: отражает информацию о состоянии тела в пространстве его позы его пассивных и активных движений равно как и движений отдельных частей тела...
3700. Кинестетические ощущения и их роль в построении образа тела 17.05 KB
  Благодаря кинестетическим ощущениям человек и с закрытыми глазами может определить положение и движение своих частей тела. Взаимодействие: тактильные зрительные Собираемая информация: отражение положения частей тела отражение – анализ пассивных движений особенно при статическом напряжении мышц анализ и синтез активных движений. Ощущения движения отдельных частей тела кинестетические ощущения вызываются...
9776. ОСОБЕННОСТИ ОБРАЗА ТЕЛА У ЮНОШЕЙ С ГОМОСЕКСУАЛЬНОЙ НАПРАВЛЕННОСТЬЮ 159.18 KB
  Гомосексуальность как альтернативный или атипичный вариант направленности сексуального влечения представляет собой не произвольный выбор человеком объекта любви, а выражение его личностной (а иногда и природной) сущности, часто формирующейся в результате врожденной предрасположенности.
65. Эффективность аэробных нагрузок для коррекции массы тела у женщин зрелого возраста 300.03 KB
  Все большее количество женщин сталкивается с проблемой избыточной массы тела. Цель работы обосновать эффективность аэробных нагрузок для коррекции массы тела у женщин зрелого возраста. Задачи работы: 1​ Изучить на основе анализа научнометодической литературы причины низкой двигательной активности и повышения массы тела и влияние аэробных нагрузок на жировой обмен и все системы организма. Предмет исследования – методика применения аэробных нагрузок для снижения массы тела увеличения двигательных качеств улучшение мускулатуры и...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.