Отображения и преобразования множеств. Аналитическое выражение преобразований, группа преобразований. Движения плоскости. Простейшие виды движений

Движения плоскости. Выберем на плоскости некоторую аффинную систему координат. Координаты точки зависят от координат точки : 1 Обратно если заданы функции 1 то можно считать что они определяют некоторое отображение плоскости в себя: каждой точке ставится в соответствие точка . Отображение f задано своими аналитическим выражением Выяснить является ли оно преобразованием плоскости.

2015-02-09

154.91 KB

26 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция 9. Отображения и преобразования множеств. Аналитическое выражение преобразований, группа преобразований. Движения плоскости. Простейшие виды движений

Литература. [1] § 39, 40.

Пусть дано отображение . Если для любого элемента y из  существует только один прообраз, то отображение называется инъективным или однозначным. В этом случае нельзя найти два элемента  и  множества X, для которых . Если при отображении f выполнено условие: , т.е. для любого элемента из Y существует по крайней мере один прообраз, то отображение называется сюръективным или отображением X на Y. Отображение, которое одновременно является сюръективным и инъективным, носит название биективного или взаимно однозначного отображения. Таким образом, отображение  тогда и только тогда является биективным, когда для любого элемента y из множества Y существует один и только один элемент x из X, для которого .

Пусть  взаимно однозначное отображение множества X на множество Y. Поставим в соответствие каждому элементу y из Y его прообраз x из множества X. Мы построили отображение , которое носит название обратного к отображению . Оно обычно обозначается через . Легко показать, что  также биективное отображение. Действительно, в силу того, что  взаимно однозначное отображение, для любого элемента y из Y существует один и только один прообраз x в множестве X. Таким образом, каждому элементу y из Y ставится в соответствие один и только один элемент  из X.

Определение 1. Взаимно однозначное отображение множества X на себя называется преобразованием этого множества.

Если дана некоторая плоскость, то её отображение в себя можно задать в координатной форме. Выберем на плоскости  некоторую аффинную систему координат. Рассмотрим отображение . Будем считать, что точке ставится в соответствие точка . Координаты  точки  зависят от , координат точки :

                                                    (1)

Обратно, если заданы функции (1), то можно считать что они определяют некоторое отображение  плоскости  в себя: каждой точке  ставится в соответствие точка . Соотношения (1) называются аналитическим выражением или формулами отображения f.

Пример 1. Отображение f задано своими аналитическим выражением  Выяснить, является ли оно преобразованием плоскости.

Решение. Проверим условия инъективности и сюръективности. Пусть  и  - точки, удовлетворяющие условию . Тогда:  Отсюда:  Мы получили систему уравнений относительно  и . Легко видеть, она совместна и имеет единственное решение . Таким образом, из условия  следует, что точки  и  совпадают. Отображение f является инъективным.

Пусть   произвольная точка плоскости. Для того чтобы существовала такая точка A, для которой , достаточно, чтобы её координаты  удовлетворяли системе уравнений:  Так как определитель этой системы отличен от нуля, то она всегда имеет единственное решение. Нетрудно выразить x и y через x' и y'. Для этого сложим уравнения системы и вычтем из первого удвоенное второе. После преобразований получим:  Сюръективность отображения f доказана. Таким образом, f  преобразование плоскости.

Пример 2. Дано аналитическое представление преобразования f плоскости:

Найти формулы обратного преобразования.

Решение. Отображение  каждой точке  плоскости ставит в соответствие точку , для которой . Обозначим координаты точек  и  через x, y и x', y'. Из данного аналитического представления следует:  Выразим отсюда x', y' через x, y: , . Таким образом, формулы обратного преобразования имеют вид:

Рассмотрим примеры необходимых нам преобразований плоскости и выведем их аналитические выражения.

Определение 2. Пусть дан вектор . Отображение плоскости на себя, которое каждой точке M ставит в соответствие такую точку M', для которой  называется параллельным переносом плоскости на вектор .

Легко видеть, параллельный перенос является преобразованием плоскости, его будем обозначать через . Найдем аналитическое выражение параллельного переноса. Пусть в выбранной системе координаты вектор  равны . Предположим, что точка M имеет координаты x и y, a её образ   x' и y'. Так как , то . Отсюда получим формулы параллельного переноса:

                                                     (2)

Рассмотрим еще одно преобразование  вращение плоскости.

Определение 3. Пусть на ориентированной плоскости даны точка O и ориентированный угол . Преобразование, которое точке O ставит в соответствие ту же точку O, а любой точке A, отличной от O, - точку A', удовлетворяющую условиям: . называется вращением плоскости с центром в точке O на угол .

Преобразование вращения будем обозначать через . Найдем его аналитическое выражение, при условии, что на плоскости дана прямоугольная декартова система координат, а центр вращения совпадает с ее началом.

 Решение. Пусть точка A имеет координаты x и y, а её образ  - x' и y'. Обозначим через  ориентированный угол между положительным направлением оси абсцисс и вектором  (рис. 125). Тогда ориентированный угол между векторами  и  равен . Как было показано, ,  и , . Так как OA=OA', то

==,==

Таким образом:

                                            (3)

Соотношения (3) представляют собой аналитическое выражение вращения.

При  формулы вращения имеют вид:  В этом случае преобразование представляет собой центральную симметрию относительно центра вращения.

Определение 4. Пусть дана прямая l. Отображение, которое каждой точке прямой l ставит в соответствие ту же точку, a точке A, не принадлежащей l, - точку A', удовлетворяющую условиям: прямая AA' перпендикулярна l и середина отрезка AA' принадлежит l, называется осевой симметрией плоскости с осью l.

Осевую симметрию будем обозначать через . Докажите самостоятельно, что осевая симметрия – преобразование плоскости. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная декартовая система координат. Найдем аналитическое выражение осевой симметрии, при условии, что ее ось совпадает с осью абсцисс. Обозначим координаты точки A через x и y, а её образа A' при указанной симметрии  x' и y' (рис. 126). Тогда вектор  параллелен оси ординат, a середина M отрезка AA' лежит на оси абсцисс. Координаты вектора  и точки M соответственно равны , . Используя условие параллельности вектора  оси Оу, получим:  или . Так как точка M лежит на оси Ох, то . Таким образом:

                                                     (4)

Формулы (4) являются искомым аналитическим выражением осевой симметрии.

 Определение 5. Пусть f и g – два преобразования множества Х. Под произведением  преобразования f на преобразование g будем понимать отображение, определяемое формулой , где х – произвольный элемент множества Х.

Покажем, что произведение преобразований также является преобразованием множества Х. Пусть . Так как f и g  биективные отображения множества X на себя, то из  следует  и . Поэтому h инъективное отображение. Докажем его сюръективность. Пусть y - произвольный элемент из X. Тогда существует такой элемент z, что . Аналогично, существует такой элемент x из множества X, для которого . Отсюда вытекает, что . Таким образом, h  сюръективное отображение. Биективность h доказана.

Пример 3. Найти формулы произведения , если даны аналитические выражения преобразований f и g:  

Решение. Возьмем произвольную точку . Пусть , тогда координаты M' равны . Обозначим через M" образ точки M' при преобразовании g: . Используя формулы преобразования g, найдем координаты этой точки: , или . Таким образом, аналитическое выражение преобразования имеет вид:

Замечание. Если мы определим формулы произведения , то получим:  (проведите вычисления самостоятельно). Отсюда видно, что произведение преобразований, вообще говоря, не обладает свойством коммутативности. 

Определение 6. Преобразование, которое каждому элементу множества X ставит в соответствие тот же самый элемент, называется тождественным.

Тождественное преобразование обычно обозначается через e. Легко видеть, что аналитическое выражение тождественного преобразования плоскости имеет вид:  Тождественное преобразование является нейтральным элементом относительно операции произведения преобразований, что означает, что для любого преобразования :. Действительно, возьмем произвольный элемент x множества X: .

Выберем произвольное преобразование  и найдем произведение . Пусть y произвольный элемент множества X. Согласно определению обратного преобразования, элемент  удовлетворяет условию: . Поэтому . Отсюда следует, что . Возьмем произвольный элемент х множества Х. Пусть , тогда . Таким образом, . Или: . Мы показали, что преобразование  - обратное к преобразованию  относительно операции произведения преобразований. И так, операция произведения преобразований обладает свойством обратимости. Она же, как отмечалось выше, не удовлетворяет свойству коммутативности. Докажем ее ассоциативность.

Теорема 1. Для любых трех преобразований f, g и h множества X справедливо равенство: .

Доказательство. Пусть x произвольный элемент множества X. Тогда из определения произведения преобразований получим:  С другой стороны,  Таким образом, для любого элемент x справедливо равенство: . Теорема доказана.

Из курса алгебры известно, что множество G называется группой, если на нем определена ассоциативная и обратимая алгебраическая операция. Если эта операция коммутативна, то G называется абелевой группой. Пусть F совокупность всех преобразований множества X. Произведение преобразований является ассоциативной и обратимой алгебраической операцией на F. Поэтому F  группа относительно операции произведения преобразований. Она, вообще говоря, не является абелевой.

Определение 7. Любая подгруппа группы F называется группой преобразований множества X.

Пусть G - подмножество F. В силу теоремы 1, G тогда и только тогда группа преобразований, когда операция произведения преобразований алгебраически замкнута и обратима на G. Поэтому G группа преобразований в том и только в том случае, когда для любых двух элементов f и g из G их произведение  принадлежит G, и для любого элемента f этому же множеству принадлежит и обратное преобразование .

Пример 4. Доказать, что множество, состоящее из четырех преобразований f, g, h и e образуют группу преобразований плоскости.

f:       g:       h:       e:  

Решение. Составим таблицу произведений элементов из G:

I \ II

e

f

g

h

e

e

f

g

h

f

f

e

h

g

g

g

h

e

f

h

h

g

f

e

В таблице на пересечении соответствующей строки и столбца помещен результат произведения , те произведение элемента строки, умноженной слева на элемент столбца. Проверим, например, что. Пусть точка M имеет координаты x и y, . Точка M' имеет координаты . Поэтому координаты точки  равны . Отсюда следует, что . Результаты остальных произведений проверьте самостоятельно. Из таблицы следует, операция произведения преобразований алгебраически замкнута на G. Легко видеть, что e  тождественное преобразование в G. Каждый элемент из G имеет обратный, причем он совпадает с самим элементом: . Нами проверено, что G  группа преобразований.

Определение 1. Преобразование плоскости называется движением, если расстояние между образами любых двух точек совпадает с расстоянием между самими точками.

Таким образом, f движение плоскости в том и только в том случае, когда для любых двух её точек A и В выполнено равенство: .

Покажем, что параллельный перенос, вращение и осевая симметрия, введенные нами в предыдущем параграфе,  движения плоскости.

Рассмотрим параллельный перенос плоскости на вектор . Пусть A и В две произвольные точки, ,   их образы при рассматриваемом параллельном переносе. Следует доказать, что . Из определения параллельного переноса (см. § 28) получим: . Представим вектор  в виде:  (рис. 127). Отсюда следует, что . Так как векторы равны, то их длины совпадают. Параллельный перенос является движением.

Рассмотрим осевую симметрию с осью l. Пусть A и В - две произвольные точки,  - их образы при данной осевой симметрии. Докажем, что . Выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось абсцисс содержала прямую l (рис. 128). Если в этой системе точки А и В имеют координаты: , то из формулы осевой симметрии (см § 28) следует, что координаты точек A, и B равны: ). Найдем расстояния между этими точками: . Осевая симметрия – движение плоскости.

Наконец, рассмотрим вращение плоскости и покажем, что оно также является движением плоскости. Пусть A и B - две произвольные точки,   их образы при вращении вокруг точки О на ориентированный угол  (рис. 129). Воспользуемся аналитическими выражением вращения (см. § 28). Выберем прямоугольную декартовую систему координат так, чтобы её начало совпадало с центром О вращения. Пусть точки A, B, A', B' в этой системе имеют координаты: . Из формул вращения следует:  Вычислим расстояние между точками A' и B':

Таким образом, при вращении сохраняется расстояние между точками. Утверждение доказано.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
9399. Аффинные преобразования и их свойства. Группа аффинных преобразований 101.41 KB
  Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит коллинеарные точки в коллинеарные и сохраняет простое отношение точек.
9395. Движения первого и второго родов. Аналитическое выражение движения. Леммы о инвариантных точках и прямых пространства 128.96 KB
  Два репера имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода от одного репера ко второму положителен. Их ориентации различны, если такой определитель меньше нуля.
9400. Аффинно - эквивалентные фигуры. Перспективно-аффинные преобразования, сжатие, родство. Аффинные преобразования пространства. Применение аффинных преобразований к решению задач 138.88 KB
  Если f перспективно-аффинное преобразование, A и В - его инвариантные точки, то произвольная точка прямой АВ является неподвижной, а любая инвариантная точка преобразования f принадлежит прямой АВ.
13591. Сравнение процессов преобразований в Турции и Китае 20.8 KB
  Актуальность данного исследования определяется тем что в советском и даже в современном российском востоковедении вопросы модернизации Османской империи и Китая исследованы недостаточно и на современном этапе отсутствуют работы способные выйти за узкоспециальные рамки исследования преодолеть имеющиеся “разрывы†в понимании процессов общественного развития Османской империи и Китая. Территориальные рамки данной работы – это территория Османской империи в границах...
16556. Устойчивое развитие лесной отрасли: роль институциональных преобразований 27.43 KB
  Глобальный финансово-экономический кризис затронул развитие и лесной отрасли. Так считают работники эксперты и аналитики лесной отрасли. Главная задача сегодня это преодоление кризиса в стране нормализация экономической обстановки и создание условий благоприятных для инвестирования в том числе и зарубежного а также...
13572. Анализ революционных преобразований на Востоке в Новое и Новейшее время 20.24 KB
  Научная значимость работы заключается в том что в ходе написания данной работы мы отходим от широко распространенного в отечественной историографии образа чистой или классической революции представленного в марксистской парадигме в силу его слабой применимости к изучению преобразований в Турции...
9439. Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований 197.27 KB
  На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.
3192. Проекты преобразований в середине – второй половине XVII в. Б.И.Морозов, Ф.М.Ртищев, А.Л.Ордин-Нащокин 31.62 KB
  В 1615 году Морозов был взят на житьё во дворец. До конца жизни Морозов оставался самым близким и влиятельным человеком при царском дворе. Тёмным пятном в биографии Морозова являются злоупотребления послужившие одной из причин Соляного бунта 1648 года. В это время Морозов был начальником нескольких важных приказов Большой Казны и др.
3222. Идеология преобразований гражданского общества и русской православной церкви в первой четверти XVIII в. Ф.Прокопович 29.93 KB
  К началу XVIII в. тенденция к превращению сословно-представительной монархии в абсолютную стала определяющей в практике реализации верховной власти и построении бюрократического аппарата. Организация государственной власти и система управления подверглись существенным изменениям: Боярская дума прекратила свое существование и ее заменил
9396. Классификация движений первого и второго родов. Движения пространства 81.01 KB
  Рассмотрим первый случай, движение g имеет, по крайней мере, две инвариантные точки. Тогда, согласно лемме 2, прямая, проходящая через них целиком состоит из неподвижных точек.
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.