Движения первого и второго родов. Аналитическое выражение движения. Леммы о инвариантных точках и прямых пространства

Два репера имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода от одного репера ко второму положителен. Их ориентации различны, если такой определитель меньше нуля.

2015-02-09

128.96 KB

15 чел.


Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск


Лекция 11. Движения первого и второго родов. Аналитическое выражение движения. Леммы о инвариантных точках и прямых пространства

Литература. [1] § 42, 43.

Напомним введенное понятие ориентации базисов. Под матрицей перехода от базиса I:  к базису II:  плоскости понимается матрица

,

столбцы которой равны координатам векторов второго базиса относительно первого. Поэтому в наших обозначениях:  Два базиса имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода от первого базиса ко второму положителен. Их ориентации различны, если этот определитель меньше нуля. Напомним одно из свойств матриц перехода. Если даны три базиса I, II и III, то

(IIII)=(III)(IIIII)                                               (1)

В предыдущем параграфе было введено понятие репера. Каждому реперу была однозначно поставлена в соответствие система координат. Под матрицей перехода (RR') от репера R к реперу R' будем понимать матрицу перехода от базиса системы координат, соответствующей реперу R, к базису системы, соответствующей R'. Пусть , . Реперу R соответствует система координат I: , а реперу R - система координат II: . Если в первой системе координаты точек второго репера равны: , то матрица перехода (RR') имеет вид:

                                   (2)

Ясно, что для матриц перехода от одного репера к другому справедливо свойство, аналогичное (1). Если даны реперы , то

                                      (3)

В соответствии с определением ориентации базисов, введем аналогичное понятие для реперов.

 Определение 1. Два репера имеют одинаковую ориентацию, если определитель матрицы перехода от одного репера ко второму положителен. Их ориентации различны, если такой определитель меньше нуля.

И так, два репера имеют одну и ту же ориентацию в том и только в том случае, когда одинаково ориентированы базисы соответствующих им систем координат.

Пусть даны реперы  и . Обозначим через  и  их образы при некотором движении . Выясним, как связаны между собой ориентации реперов  и ,  и . Если, например,  и  имеют одинаковую ориентацию, будет ли ориентация реперов  и  также одинакова? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Пусть d - движение плоскости,  и  - реперы,  - их образы при этом движении. Тогда ориентации реперов  и   совпадают в том и только в том случае, когда совпадают ориентации реперов и .

 Доказательство. Рассмотрим матрицы перехода  и . Как следует из соотношения (2), матрица  образована координатами точек репера  относительно , a матрица  - координатами точек репера  относительно . Из следствия основного свойства движения вытекает, что координаты точек репера  относительно  совпадают с координатами соответствующих точек  относительно . Отсюда следует, что рассматриваемые матрицы перехода равны между собой:

=                                                     (4)

Воспользуемся равенством (3) и найдем матрицу перехода от репера  к реперу . Получим: . С другой стороны: . Таким образом: ,. Если равны две матрицы, то равны их определители. Используя свойство определителей произведения матриц, получим . И, наконец, из равенства (4) вытекает, что  Поэтому: . Следовательно, определители матриц перехода от  к  и от  к  одновременно либо положительны, либо отрицательны. Следовательно, эти реперы одновременно либо одинаково ориентированы, либо имеют различные ориентации. Теорема доказана.

Теорема 1 позволяет ввести следующее определение.

 Определение 2. Движение g плоскости называется движением первого рода, если ориентация любого репера R совпадает с ориентацией его образа R' = g(R). Это движение называется движением второго рода, если ориентация любого репера R противоположна ориентации его образа R'.

Из теоремы 1 следует, что для определения рода движения достаточно проверить ориентации какого-либо одного репера и его образа.

Определим род параллельного переноса, вращения и осевой симметрии. Пусть дан некоторый параллельный перенос , определенный вектором . Рассмотрим ортонормированный репер . Пусть координаты вектора  в этом репере равны {a; b}. Тогда формулы параллельного переноса имеют вид :  Координаты точек репера R равны: . Поэтому их образы имеют координаты:   Для определения матрицы перехода от репера R к реперу  воспользуемся соотношением (30.2). Получим: =. Отсюда следует, что RR'=1. Параллельный перенос является движением первого рода.

Рассмотрим теперь произвольное вращение  вокруг точки О на ориентированный угол . Выберем ортонормированный репер R так, чтобы его первая точка совпадала с центром вращения O: . Тогда в этом репере аналитическое выражение вращения имеет вид:  Репер R преобразуется в репер , координаты точек которого равны: O(0;0), ,  Из соотношения (2) следует, что матрица перехода от R к R имеет вид: . Её определитель равен 1, т.е. числу положительному. Вращение так же, как и параллельный перенос, является движением первого рода.

Рассмотрим, наконец, осевую симметрию  с осью l. Покажем, что она служит примером движения второго рода. Выберем ортонормированный репер  так, чтобы его первые две точки принадлежали оси l. Тогда формулы симметрии имеют вид  Самостоятельно определите, что матрица перехода от репера R к реперу  равна: . Таким образом, RR'= -1 < 0. Осевая симметрия представляет собой движение второго рода.

Движения первого рода обладают групповым свойством.

 Теорема 2. Движения первого рода образуют подгруппу в группе движений плоскости.

 Доказательство. Выше отмечалось, что для доказательства теоремы достаточно проверить, что для любых движений f и g первого рода их произведение  и обратное преобразование  также являются движениями первого рода. Пусть R - произвольный репер, . Так как g - преобразование первого рода, то ориентации реперов R и R' совпадают. Аналогично, f - также движение первого рода, отсюда следует, что ориентации реперов R' и R" одинаковы. Поэтому ориентации реперов R и R" совпадают, движение имеет первый род.

Обозначим через  прообраз репера R при движении f первого рода. Предположим, что - движение второго рода. Тогда реперы  и R имеют различные ориентации. Но . Так как f - движение первого рода, то ориентации этих реперов совпадают. Мы пришли к противоречию. Поэтому  - движение первого рода. Теорема доказана.

Легко видеть, что произведение двух движений второго рода является движением первого рода. Действительно, пусть f и g - движения второго рода, а R - некоторый репер. Если , то ориентация репера R' противоположна ориентации репера R а репера R' - репера R". Поэтому реперы R и R" имеют одинаковые ориентации, т.е. движение  имеет первый род. Таким образом, множество движений второго рода не образует группу преобразований.

Для нахождения аналитического выражения движения используем формулы перехода от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой. Напомним их. Пусть даны две прямоугольные декартовые системы координат I:  и II: . Известны координаты точки  в первой системе координат, a также ориентированный угол между векторами  и . Тогда координаты одной и той же точки M относительно этих двух систем: ,  связаны между собой соотношениями:

                                      (5)

где = 1, если ориентации систем координат одинаковы и = - 1, если их ориентации различны. Если на плоскости даны ортонормированные реперы  и , то координаты одной и той же точки M относительно этих двух реперов: ,  также связаны друг с другом соотношениями (5). В силу правила соответствия ортонормированного репера и прямоугольной декартовой системы координат параметры в формулах (5) имеют следующий смысл: - ориентированный угол между векторами  и , a и b  координаты точки  в первом репере, = 1, если ориентации реперов совпадают и = -1, если они различны.

Пусть d  некоторое движение. Выберем произвольный ортонормированный репер . Рассмотрим произвольную точку M плоскости и обозначим через M' её образ при движении . Если х, у и х', у' координаты точек M и M' относительно репера R: , то искомые аналитические выражения движения d представляют собой зависимости координат x и y от x и y. Обозначим через R' образ репера R при движении d: . Ориентации реперов R и R' одинаковы, если d  движение первого рода, эти ориентации различны, если движение имеет второй род. Согласно следствию основного свойства движения, точка M' имеет те же координаты относительно репера R', что и точка M относительно R: . Применим формулы (5) перехода от репера R к реперу R' для координат точки M':

                                               (6)

Полученные соотношения являются искомыми. Здесь = 1, если движение имеет первый род, и = -1, если оно второго рода, a и b - координаты точки  относительно репера R: , - величина ориентированного угла между векторами  и . Легко видеть, что аналитические выражения параллельного переноса, вращения и осевой симметрии, являются частными случаями формул (6).

Определение 1. Фигура P называется инвариантной относительно преобразования f, если её образ совпадает с P: f(P)=P.

Точку, инвариантную относительно преобразования, часто называют неподвижной.

 Лемма 1. Если движение имеет три инвариантные точки, не лежащие на одной прямой, то оно совпадает с тождественным преобразованием.

 Доказательство. Пусть ,  и  - неподвижные точки движения g. Рассмотрим флаг  где l - луч с началом в точке , содержащий , a  - полуплоскость, граница которой совпадает с прямой , включающая в себя точку . Так как точки инвариантны относительно движения g, то g(F) = F. С другой стороны тождественное преобразование также переводит флаг F в себя. В силу теоремы 3, (см.  33) существует единственное движение, переводящее один флаг в другой. Поэтому движение g совпадает с тождественным преобразованием. Лемма доказана.

 Лемма 2. Если движение g имеет две неподвижные точки O1 и O2, то каждая точка прямой O1O2 является инвариантной.

 Доказательство. Обозначим через h луч  с началом в точке . Прямая  разбивает плоскость на две полуплоскости  и . Поэтому существуют только два флага  и ,  точки и лучи которых совпадают с  и h. Так как  и  неподвижны при движении g, то  и     g(h) = h. Отсюда следует, что образом флага  при данном движении является либо сам флаг , либо флаг . С другой стороны, флаг  отображается сам в себя при тождественном преобразовании, и  переходит в  при осевой симметрии с осью . Поэтому в силу теоремы 3,  32 движение g совпадает либо с тождественным преобразованием, либо с указанной осевой симметрией. И в первом и во втором случае прямая  является инвариантной. Лемма доказана.

 Лемма 3. Если при движении g образы точек P и Q принадлежат прямой PQ, то эта прямая инвариантна относительно данного движения.

 Доказательство. Справедливость леммы непосредственно вытекает из второго свойства движений (см.  33). Действительно, прямая l = (PQ) преобразуется в прямую g(l) = (g(P) g(Q)). Так как g(P)  l и g(Q)  l, то g(l) = l.

Докажем теперь свойство движения, у которого нет неподвижных точек.

 Лемма 4. Если движение не имеет неподвижных точек, то оно имеет инвариантную прямую.

  Доказательство. Пусть дано движение g, которое не имеет инвариантных точек. Возьмем произвольную точку A и обозначим через  и  Предположим, что либо точки , либо  лежат на одной прямой. Тогда согласно лемме 3 либо прямая , либо  является инвариантной. В этом случае лемма доказана.

Рассмотрим случай, когда точки  и  находятся в вершинах двух треугольников. Так как , то эти треугольники равны между собой. Отсюда следует, что:

Возможны следующие два случая расположения точек A и  относительно прямой : указанные точки лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой и точки лежат в различных полуплоскостях.

Покажем, что в первом случае движение g обладает инвариантной точкой. Пусть точки A и  лежат в одной полуплоскости относительно прямой . Обозначим через M, N и P соответственно середины отрезков  и , a через m, n и p серединные перпендикуляры этих отрезков (рис. 155). Из указанных выше равенств отрезков и углов вытекает, что треугольники  и  симметричны относительно перпендикуляра n. Отсюда следует, что серединные перпендикуляры m, n и p пересекаются в одной точке O. Покажем, что эта точка - инвариантна относительно движения g. Так как при движении сохраняются величины отрезков и углов, то середина любого отрезка преобразуется в середину его образа, а серединный перпендикуляр - в серединный перпендикуляр к образу этого отрезка. Следовательно, g(m) = n, g(n) = p. Точка О совпадает с пересечением m и n. Поэтому g(O) совпадает с пересечением g(m) и g(n). Но g(m) = n, g(n) = p и n  p = O. Вследствие этого g(O) = O, О - инвариантная точка движения g. Но мы предположили, что g не имеет неподвижных точек. Отсюда вытекает, что точки A и  лежат в различных полуплоскостях относительно прямой .

В силу равенства треугольников  и  в случае, когда точки A и  расположены по разные стороны от прямой , четырех-угольник  представляет собой параллелограмм (рис. 156). Середины M, N и P отрезков ,  и  лежат на одной прямой l, параллельной стороне  параллелограмма. Как отмечалось выше, точки M и N при движении g преобразуются соответственно в N и P: g(M) = N, g(N) = P. Отсюда и из леммы 3 следует, что прямая l инвариантна при движении g. Лемма доказана.



 

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.
9396. Классификация движений первого и второго родов. Движения пространства 81.01 KB
  Рассмотрим первый случай, движение g имеет, по крайней мере, две инвариантные точки. Тогда, согласно лемме 2, прямая, проходящая через них целиком состоит из неподвижных точек.
9392. Отображения и преобразования множеств. Аналитическое выражение преобразований, группа преобразований. Движения плоскости. Простейшие виды движений 154.91 KB
  Движения плоскости. Выберем на плоскости некоторую аффинную систему координат. Координаты точки зависят от координат точки : 1 Обратно если заданы функции 1 то можно считать что они определяют некоторое отображение плоскости в себя: каждой точке ставится в соответствие точка . Отображение f задано своими аналитическим выражением Выяснить является ли оно преобразованием плоскости.
8669. Криволинейные интегралы первого и второго рода 58.67 KB
  Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Криволинейные интегралы первого рода Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f определенную в каждой точке этой кривой. Назовем λ длину наибольшего отрезка кривой. Если существует конечный предел интегральной суммы не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки ни от выбора точек Mi то он называется криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L и обозначается .
8441. Кинематика вращательного движения 343.87 KB
  Тангенциальное и нормальное ускорение Две составляющие ускорения: тангенциальное ускорение и нормальное ускорение. Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории Нормальное ускорение направлено по нормали к траектории Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
17710. Новые религиозные движения 38.57 KB
  Феномен новых религиозных движений сейчас невозможно обойти стороной. Сам по себе термин широко используется в обиходе как специалиста, так и читателя-любителя. В послевоенный период на западе возникла волна религиозно-мистической направленности, которую невозможно было оставить без внимания.
1947. Уравнения движения механизма 311.72 KB
  Закон движения модели такой же как и закон движения начального звена механизма см. Основой для составления уравнения движения механизма с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии: 7. Уравнение движения в энергетической форме.
9200. Мехатронные модули движения 7.64 KB
  Мехатронные модули движения. Рассмотрим основные виды однокоординатных модулей движения разработанных для решения задач автоматизированного машиностроения Мехатронные модули движения ММД являются функциональными кубиками из которых затем можно компоновать сложные мехатронные системы. Мехатронные модули вращательного движения на базе высокомоментных двигателей Следующим шагом в развитии приводной техники стало появление высокомоментных двигателей вращательного движения применение которых позволило...
1948. Основные режимы движения механизма 597.11 KB
  Из этого заключения следует что приращения кинематической энергии за цикл не происходит и угловая скорость в начале и конце цикла одинакова. Для динамической модели: Тогда используя уравнение теоремы об изменении кинетической энергии можно записать: с достаточной степенью точности Принибрегая маленькими значениями и членами с этими значениями т.5 предназначается для расчета маховых масс по Мерцалову Способ Мерцалова основан на определении кинетической энергии всех звеньев механизма и последующим выделением из этой кинематической...
9203. Интеллектуальные мехатронные модули движения 13.48 KB
  Интеллектуальные мехатронные модули движения Главной особенностью современного этапа развития мехатронных модулей является интеллектуализация процессов управления их функциональными движениями. Техническая реализация интеллектуальных мехатронных модулей движения ИММД стала возможной благодаря бурному развитию в последние годы микропроцессорных систем ориентированных на задачи управления движением. Создание интеллектуальных силовых модулей управления путем интеграции управляющих контроллеров и силовых преобразователей. Рассмотрим тенденции и...
5215. Обеспечение безопасности движения поездов 1.11 MB
  Экономический эффект применения автоматической системы движения поездов. Достоинства УСАВП. Факторный анализ состояния безопасности движения. Анализ и ранжирование событий связанных с безопасностью движения поездов...
© "REFLEADER" http://refleader.ru/
Все права на сайт и размещенные работы
защищены законом об авторском праве.